Verilen kümelerin elemanlarını adım adım belirleyelim ve istenen kartezyen çarpımın eleman sayısını bulalım.
- A kümesini belirleyelim:
\(A = \{x | x = a^2, a \in \mathbb{Z}^+\}\) tanımına göre, \(a\) pozitif tam sayılar kümesinden (\(1, 2, 3, ...\)) değerler alır. Bu durumda \(x\) değerleri pozitif tam sayıların kareleri olacaktır:
\(A = \{1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, ...\} = \{1, 4, 9, 16, 25, ...\}\)
- B kümesini belirleyelim:
\(B = \{x | x = \sqrt{b}, b \in \{0, 1, 2, ..., 20\}\}\) tanımına göre, \(b\) değerleri \(0\) ile \(20\) arasındaki tam sayılardır. Bu durumda \(x\) değerleri bu sayıların karekökleri olacaktır:
\(B = \{\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, ..., \sqrt{20}\}\)
B kümesinin eleman sayısı \(|B| = 20 - 0 + 1 = 21\)'dir.
- \(B \cap \mathbb{Z}\) kümesini bulalım:
Bu küme, B kümesindeki elemanlardan tam sayı olanları içerir. \(\sqrt{b}\) ifadesinin tam sayı olması için \(b\)'nin bir tam kare olması gerekir.
\(b \in \{0, 1, 2, ..., 20\}\) aralığındaki tam kareler şunlardır:
- \(0^2 = 0 \implies \sqrt{0} = 0\)
- \(1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1\)
- \(2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2\)
- \(3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3\)
- \(4^2 = 16 \implies \sqrt{16} = 4\)
- \(5^2 = 25\) (20'den büyük olduğu için dahil değil)
Bu durumda, \(B \cap \mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4\}\)'tür.
\(|B \cap \mathbb{Z}| = 5\)'tir.
- \(B-A\) kümesini bulalım:
\(B-A\) kümesi, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları içerir. Önce \(A \cap B\) kümesini bulmalıyız. \(A \cap B\), hem A kümesinde (pozitif tam kare) hem de B kümesinde (\(\sqrt{b}\) formunda, \(b \in \{0, ..., 20\}\)) olan elemanlardır.
Bir elemanın hem \(a^2\) hem de \(\sqrt{b}\) olması için, \(a^2 = \sqrt{b}\) olmalıdır. Buradan \(a^4 = b\) elde ederiz. \(b \in \{0, ..., 20\}\) ve \(a \in \mathbb{Z}^+\) olduğundan:
- \(a=1 \implies b = 1^4 = 1\). Bu durumda \(x = 1^2 = 1\). (\(1 \in A\) ve \(1 = \sqrt{1} \in B\))
- \(a=2 \implies b = 2^4 = 16\). Bu durumda \(x = 2^2 = 4\). (\(4 \in A\) ve \(4 = \sqrt{16} \in B\))
- \(a=3 \implies b = 3^4 = 81\). Bu değer 20'den büyük olduğu için dahil değildir.
Dolayısıyla, \(A \cap B = \{1, 4\}\)'tür.
\(|A \cap B| = 2\)'dir.
Şimdi \(B-A\) kümesinin eleman sayısını bulabiliriz:
\(|B-A| = |B| - |A \cap B| = 21 - 2 = 19\)'dur.
- Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplayalım:
İstenen \((B-A) \times (B \cap \mathbb{Z})\) kümesinin eleman sayısı, bu iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir:
\(|(B-A) \times (B \cap \mathbb{Z})| = |B-A| \times |B \cap \mathbb{Z}| = 19 \times 5 = 95\)
Cevap E seçeneğidir.