Bu problemi çözmek için verilen bilgileri adım adım analiz edelim ve küme teorisi mantığını kullanalım.

• Verilen Koşullar:
  • İngilizce konuşabilen herkes Almanca da konuşabiliyor. Bu, İngilizce konuşanlar kümesinin Almanca konuşanlar kümesinin bir alt kümesi olduğu anlamına gelir (\(I \subseteq A\)).
  • Fransızca ve İngilizce dillerinin ikisini de konuşabilen yoktur. Bu, Fransızca ve İngilizce konuşanlar kümelerinin kesişiminin boş küme olduğu anlamına gelir (\(F \cap I = \emptyset\)).
• Bu koşullara göre, öğrencilerin dil konuşma durumları aşağıdaki gibi gruplandırılabilir:
  • Sadece Fransızca (F): Yalnızca Fransızca konuşanlar.
  • Sadece Almanca (A_sadece): Yalnızca Almanca konuşanlar (Fransızca veya İngilizce bilmeyenler).
  • Fransızca ve Almanca (FA): Fransızca ve Almanca konuşanlar (İngilizce bilmeyenler). Bu grup 2 dil konuşur.
  • İngilizce ve Almanca (IA): İngilizce ve Almanca konuşanlar (Fransızca bilmeyenler). İngilizce bilen herkes Almanca bildiği ve Fransızca bilmediği için, bu grup aslında İngilizce konuşanların tamamıdır ve 2 dil konuşur.
• Verilen Sayısal Bilgiler:
  • Yalnız bir dil konuşabilen öğrenci sayısı: 7.
    Bu, Sadece Fransızca (F) ve Sadece Almanca (A_sadece) konuşanların toplamıdır:
    \(F + A_{sadece} = 7\) (Denklem 1)
  • Almanca konuşabilen öğrenci sayısı: 19.
    Bu, Sadece Almanca (A_sadece), Fransızca ve Almanca (FA) ve İngilizce ve Almanca (IA) konuşanların toplamıdır:
    \(A_{sadece} + FA + IA = 19\) (Denklem 2)
  • İki dil konuşabilen öğrenci sayısı: 15.
    Bu, Fransızca ve Almanca (FA) ve İngilizce ve Almanca (IA) konuşanların toplamıdır:
    \(FA + IA = 15\) (Denklem 3)
• Çözüm Adımları:
  1. Denklem 3'ü (iki dil konuşanlar) Denklem 2'ye (Almanca konuşanlar) yerine koyalım:
     \(A_{sadece} + (FA + IA) = 19\)
     \(A_{sadece} + 15 = 19\)
     \(A_{sadece} = 19 - 15\)
     \(A_{sadece} = 4\)
     Yani, sadece Almanca konuşan 4 öğrenci vardır.
  2. Şimdi Denklem 1'i (yalnız bir dil konuşanlar) kullanarak sadece Fransızca konuşanları bulalım:
     \(F + A_{sadece} = 7\)
     \(F + 4 = 7\)
     \(F = 7 - 4\)
     \(F = 3\)
     Yani, sadece Fransızca konuşan 3 öğrenci vardır.

Cevap A seçeneğidir.