Bu problem, küme teorisi prensiplerini kullanarak bir gruptaki dil konuşanların sayılarını bulmayı gerektirir. Verilen bilgileri adım adım analiz edelim:
- Toplam Kişi Sayısı: Grupta 40 kişi bulunmaktadır ve herkes en az bir dil (İngilizce veya Almanca) konuşmaktadır. Bu, İngilizce konuşanlar kümesi (\(İ\)) ve Almanca konuşanlar kümesi (\(A\)) için \(|İ \cup A| = 40\) anlamına gelir.
- Dil Konuşanların İlişkisi: İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların sayısının 3 katıdır. Yani, \(|İ| = 3|A|\).
- Aranan: Sadece Almanca konuşabilenlerin sayısı.
Şimdi, bu bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
Değişkenleri tanımlayalım:
- \(S_A\): Sadece Almanca konuşanların sayısı. (\( |A \setminus İ| \))
- \(S_İ\): Sadece İngilizce konuşanların sayısı. (\( |İ \setminus A| \))
- \(H\): Hem Almanca hem İngilizce konuşanların sayısı. (\( |İ \cap A| \))
Verilen bilgilere göre denklemleri oluşturalım:
- Toplam kişi sayısı: \[ S_A + S_İ + H = 40 \]
- İngilizce konuşanlar (\(S_İ + H\)) ve Almanca konuşanlar (\(S_A + H\)) arasındaki ilişki: \[ S_İ + H = 3(S_A + H) \] \[ S_İ + H = 3S_A + 3H \] \[ S_İ = 3S_A + 2H \]
Şimdi, ikinci denklemdeki \(S_İ\) ifadesini birinci denkleme yerine koyalım:
\[ S_A + (3S_A + 2H) + H = 40 \] \[ 4S_A + 3H = 40 \]Bu denklemde \(S_A\) (sadece Almanca konuşanlar) ve \(H\) (her iki dili konuşanlar) birer tam sayı ve negatif olamazlar (\(S_A \ge 0, H \ge 0\)). Seçeneklerde verilen \(S_A\) değerlerini deneyerek \(H\) için bir tam sayı değeri bulmaya çalışalım:
- A) \(S_A = 3\): \(4(3) + 3H = 40 \Rightarrow 12 + 3H = 40 \Rightarrow 3H = 28 \Rightarrow H = \frac{28}{3}\) (Tam sayı değil)
- B) \(S_A = 5\): \(4(5) + 3H = 40 \Rightarrow 20 + 3H = 40 \Rightarrow 3H = 20 \Rightarrow H = \frac{20}{3}\) (Tam sayı değil)
- C) \(S_A = 7\): \(4(7) + 3H = 40 \Rightarrow 28 + 3H = 40 \Rightarrow 3H = 12 \Rightarrow H = 4\) (Tam sayı! Bu bir çözüm olabilir.)
- D) \(S_A = 9\): \(4(9) + 3H = 40 \Rightarrow 36 + 3H = 40 \Rightarrow 3H = 4 \Rightarrow H = \frac{4}{3}\) (Tam sayı değil)
- E) \(S_A = 11\): \(4(11) + 3H = 40 \Rightarrow 44 + 3H = 40 \Rightarrow 3H = -4\) (H negatif olamaz)
Sadece \(S_A = 7\) değeri için \(H\) bir tam sayı ve pozitif bir değer almaktadır. Bu durumda \(H=4\) olur.
Bu değerleri kontrol edelim:
- Sadece Almanca konuşanlar (\(S_A\)) = 7
- Hem Almanca hem İngilizce konuşanlar (\(H\)) = 4
- Sadece İngilizce konuşanlar (\(S_İ\)) = \(3S_A + 2H = 3(7) + 2(4) = 21 + 8 = 29\)
- Toplam kişi sayısı: \(S_A + S_İ + H = 7 + 29 + 4 = 40\). (Doğru)
- Almanca konuşanlar: \(S_A + H = 7 + 4 = 11\)
- İngilizce konuşanlar: \(S_İ + H = 29 + 4 = 33\)
- İngilizce konuşanlar, Almanca konuşanların 3 katı mı? \(33 = 3 \times 11\). (Doğru)
Tüm koşullar sağlandığına göre, sadece Almanca konuşabilenlerin sayısı 7 olabilir.
Cevap C seçeneğidir.