✅ 9. Sınıf Matematik: İspat algoritması Test Çöz

Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Bir $ p \Rightarrow q $ teoreminde $ p $ önermesine ne ad verilir?

Aşağıdakilerden hangisi doğruluğu ispatlanmaya gerek duyulmadan kabul edilen temel önermelere verilen addır?

"İki tek sayının toplamı bir çift sayıdır." ifadesinin ispatı yapılırken $ n $ ve $ m $ tam sayı olmak üzere sayılar $ 2n+1 $ ve $ 2m+1 $ olarak seçiliyor. Bu iki ifadenin toplanıp $ 2(n+m+1) $ şeklinde yazılması hangi ispat yöntemine örnektir?

"$ x $ bir tam sayı olmak üzere; $ x $ çift sayı ise $ x^2 $ çift sayıdır." teoreminin hipotezi aşağıdakilerden hangisidir?

"$ x $ bir tam sayı olmak üzere; $ x^2 $ tek sayı ise $ x $ tek sayıdır." teoremini karşıt ters yöntemi ile ispatlamak isteyen bir öğrenci, ispatına hangi varsayımla başlamalıdır?

"Tüm asal sayılar tek sayıdır." önermesinin yanlış olduğunu ispatlamak için aşağıdaki sayılardan hangisi "aksine örnek" olarak gösterilebilir?

Çelişki yöntemi kullanılarak yapılan bir ispatın adımları karışık olarak verilmiştir:
I. Varsayımın hipotez veya bilinen gerçeklerle çeliştiği görülür.
II. Teoremin hükmünün olumsuzu doğru kabul edilir.
III. Yapılan varsayımın yanlış olduğu, dolayısıyla teoremin hükmünün doğru olduğu sonucuna varılır.
IV. Mantıksal adımlar kullanılarak bir çelişki elde edilir.
Bu adımların doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

"$ n $ bir tam sayı olmak üzere; $ n $ tek sayı ise $ n^2 + 1 $ çift sayıdır." teoreminin doğrudan ispatında, $ n = 2k+1 $ ($ k $ tam sayı) yazıldıktan sonraki adım aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

$ p \Rightarrow q $ teoreminin ispatı yerine $ \neg q \Rightarrow \neg p $ önermesinin ispatının yapılmasına ne ad verilir?

İki rasyonel sayının toplamının yine bir rasyonel sayı olduğu ispatlanırken; $ x = \frac{a}{b} $ ve $ y = \frac{c}{d} $ ($ a, b, c, d $ tam sayı ve $ b, d \neq 0 $) seçiliyor. $ x+y = \frac{ad+bc}{bd} $ ifadesinde sonucun rasyonel olduğunu belirleyen temel gerekçe aşağıdakilerden hangisidir?

"$ x $ ve $ y $ çift sayılar ise $ x \cdot y $ sayısı $ 4 $ ile tam bölünür." teoreminin doğrudan ispatında $ x = 2k $ ve $ y = 2m $ ($ k, m \in \mathbb{Z} $) olarak alınıyor. İspatın son adımında elde edilen $ 4 \cdot (k \cdot m) $ ifadesi için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Bir öğrenci $ 2 = 1 $ olduğunu ispatlamak için şu adımları izliyor:
1. $ a = b $ olsun.
2. Her iki tarafı $ a $ ile çarpalım: $ a^2 = ab $.
3. Her iki taraftan $ b^2 $ çıkaralım: $ a^2 - b^2 = ab - b^2 $.
4. Çarpanlara ayıralım: $ (a-b)(a+b) = b(a-b) $.
5. Her iki tarafı $ (a-b) $ ile bölelim: $ a+b = b $.
6. $ a = b $ olduğundan $ b+b = b \Rightarrow 2b = b \Rightarrow 2 = 1 $.
Bu ispat algoritmasındaki hata ilk kez kaçıncı adımda yapılmıştır?

"$ \sqrt{2} $ rasyonel bir sayı değildir." teoreminin çelişki yöntemi ile ispatı yapılırken, başlangıçta $ \sqrt{2} = \frac{a}{b} $ ($ a $ ve $ b $ aralarında asal tam sayılar) varsayımı yapılır. İspatın devamında hem $ a $'nın hem de $ b $'nin çift sayı olduğu sonucuna ulaşılır. Bu durumun bir çelişki oluşturma sebebi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir matematiksel ispat algoritmasında şu kural uygulanmaktadır: "Eğer bir önermenin karşıt tersi doğruysa, önermenin kendisi de doğrudur."
Buna göre; "$ x+y $ toplamı rasyonel ise $ x $ ve $ y $ rasyoneldir." önermesinin yanlışlığını ispatlamak isteyen bir araştırmacı;
I. $ x = \sqrt{2} $ ve $ y = -\sqrt{2} $ seçerse,
II. $ x = 1 $ ve $ y = 2 $ seçerse,
III. $ x = \pi $ ve $ y = 3 $ seçerse
hangisi veya hangilerini "aksine örnek" olarak kullanabilir?