💡 9. Sınıf Matematik: İspat algoritması Çözümlü Örnekler

• Tanımlama: Ardışık çift sayılar, aralarında 2 fark bulunan çift sayılardır. Bir çift sayıyı genel olarak \( 2n \) şeklinde ifade edebiliriz.
• İfade Etme: O halde, ardışık iki çift sayıyı \( 2n \) ve \( 2n + 2 \) olarak alabiliriz. Burada \( n \) bir tam sayıdır.
• Toplama: Bu iki sayının toplamını hesaplayalım: \( 2n + (2n + 2) \).
• Sadeleştirme: Toplamı sadeleştirdiğimizde \( 4n + 2 \) elde ederiz.
• İnceleme: Elde ettiğimiz \( 4n + 2 \) ifadesi, her zaman 4'ün katı değildir. Bu ifade, 4'ün katının 2 fazlasıdır. 💡
• Düzeltme ve Tekrar İspat: Soruda bir hata olabilir. İki ardışık çift sayının toplamı her zaman 4'ün katı DEĞİLDİR. Örneğin, 2 ve 4'ün toplamı 6'dır, bu 4'ün katı değildir. Ancak, iki ardışık çift sayının toplamı HER ZAMAN 2'nin katıdır (çift sayıdır).
• Sonuç: Dolayısıyla, iki ardışık çift sayının toplamının 4'ün katı olduğunu ispatlayamayız, çünkü bu ifade genel olarak doğru değildir. ✅

Yöntem 1: Doğrudan İspat

• Varsayım: Bir sayının karesi tek sayıdır. Bu sayıyı \( x \) ile gösterelim. O halde \( x^2 \) tek sayıdır.
• Tek Sayı Tanımı: Bir sayının tek olması demek, \( 2k + 1 \) şeklinde yazılabilmesi demektir, burada \( k \) bir tam sayıdır.
• İfade Etme: O halde \( x^2 = 2k + 1 \) diyebiliriz.
• Kök Alma: Her iki tarafın karekökünü alırsak, \( x = \sqrt{2k + 1} \) olur.
• İnceleme: Bu ifade, \( x \) 'in tek sayı olduğunu doğrudan göstermez. Bu yöntem biraz karmaşık olabilir.

Yöntem 2: Dolaylı İspat (Çelişki Yöntemi)

• Önerme: Bir sayının karesi tek ise, sayının kendisi de tektir.
• Karşıt Önerme: Bir sayının karesi tek ise, sayının kendisi çift olsaydı ne olurdu?
• Varsayım: \( x \) bir tam sayı olsun ve \( x^2 \) tek sayı olsun.
• Çelişki Varsayımı: \( x \) 'in çift olduğunu varsayalım.
• Çift Sayı Tanımı: Çift bir sayıyı \( 2m \) şeklinde ifade edebiliriz, burada \( m \) bir tam sayıdır.
• Karesini Alma: Eğer \( x \) çift ise, \( x = 2m \) olur. O halde \( x^2 = (2m)^2 = 4m^2 = 2(2m^2) \) olur.
• Sonuç: \( x^2 = 2(2m^2) \) ifadesi, \( x^2 \) 'nin çift olduğunu gösterir.
• Çelişki: Bu durum, başlangıçtaki varsayımımızla çelişir. Biz \( x^2 \) 'nin tek olduğunu kabul etmiştik, ancak \( x \) çift olduğunda \( x^2 \) çift çıkıyor.
• Nihai Sonuç: Bu çelişki, \( x \) 'in çift olamayacağını gösterir. Dolayısıyla, \( x^2 \) tek ise, \( x \) kesinlikle tek olmalıdır. ✅

• Son Durum: En son sepette 10 elma kalmış.
• Bir Önceki Adım: Bu 10 elma, kalan elmaların yarısıydı. Demek ki bu adımdan önce \( 10 \times 2 = 20 \) elma vardı.
• İlk Adım: Bu 20 elma, başlangıçtaki elmaların yarısıydı. Demek ki başlangıçta \( 20 \times 2 = 40 \) elma vardı.
• Kontrol Edelim:
  • Başlangıç: 40 elma
  • İlk sepet: \( 40 / 2 = 20 \) elma koyuldu. Kalan: \( 40 - 20 = 20 \) elma.
  • İkinci sepet: Kalanların yarısı, yani \( 20 / 2 = 10 \) elma konuldu. Kalan: \( 20 - 10 = 10 \) elma.
  Bu sonuç, soruda verilen bilgiyle uyuşmaktadır.
• Sonuç: Manavın başlangıçta 40 elması vardı. 👉

• Satranç Kulübü Bilgisi: Satranç kulübündeki öğrenci sayısı 12'dir.
• Satranç Kulübü Üyeleri: Satranç kulübündeki öğrenciler, kalan öğrencilerin üçte biridir.
• Kalan Öğrenci Sayısı: Eğer 12 öğrenci, kalanların üçte biri ise, o zaman kalan öğrenci sayısı \( 12 \times 3 = 36 \) olmalıdır.
• Matematik Kulübü Üyeleri: Bu 36 öğrenci, başlangıçtaki toplam öğrenci sayısının yarısı DEĞİLDİR. Bu 36 öğrenci, matematik kulübüne üye OLMAYAN öğrencilerdir.
• Matematik Kulübüne Üye Olanlar: Başlangıçtaki öğrencilerin yarısı matematik kulübüne üye olduğuna göre, kalan yarısı da matematik kulübüne üye değildir.
• Toplam Öğrenci Sayısı: Demek ki, matematik kulübüne üye olmayan 36 öğrenci, toplam öğrenci sayısının yarısına eşittir.
• Hesaplama: Toplam öğrenci sayısı \( 36 \times 2 = 72 \) olur.
• Kontrol Edelim:
  • Toplam öğrenci: 72
  • Matematik kulübü: \( 72 / 2 = 36 \) öğrenci
  • Kalan öğrenci: \( 72 - 36 = 36 \) öğrenci
  • Satranç kulübü: Kalanların üçte biri, yani \( 36 / 3 = 12 \) öğrenci.
  Bu sonuç, soruda verilen bilgiyle uyuşmaktadır. ✅
• Sonuç: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 72'dir. 💯

• Sayımız: Bir sayıyı \( x \) ile gösterelim.
• İfade 1: "Bir sayının 3 katının 5 fazlasının 2 katı" ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( 2 \times (3x + 5) \).
• İfade 2: "Aynı sayının 6 katından 10 fazla" ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( 6x + 10 \).
• Eşitleme: Soruda bu iki ifadenin birbirine eşit olduğu söyleniyor. O halde: \( 2 \times (3x + 5) = 6x + 10 \).
• İfade 1'i Sadeleştirme: Dağılma özelliğini kullanarak \( 2 \times (3x + 5) \) ifadesini açalım: \( (2 \times 3x) + (2 \times 5) = 6x + 10 \).
• Karşılaştırma: Sadeleştirdiğimiz ifade \( 6x + 10 \) oldu. Bu, ikinci ifadeyle tamamen aynıdır.
• Sonuç: Dolayısıyla, bir sayının 3 katının 5 fazlasının 2 katı, aynı sayının 6 katından 10 fazlasına eşittir. Bu ifade her zaman doğrudur. 👍

• Tanımlama: Ardışık tam sayılar, aralarında 1 fark bulunan tam sayılardır.
• İfade Etme: Üç ardışık tam sayıyı genel olarak \( n-1 \), \( n \) ve \( n+1 \) şeklinde ifade edebiliriz. Burada \( n \) ortanca sayıdır ve bir tam sayıdır.
• Toplamı Hesaplama: Bu üç sayının toplamını bulalım: \( (n-1) + n + (n+1) \).
• Sadeleştirme: Toplamı sadeleştirdiğimizde: \( n - 1 + n + n + 1 = 3n \) elde ederiz.
• Karşılaştırma: Elde ettiğimiz \( 3n \) ifadesi, ortanca sayı olan \( n \)'nin 3 katıdır.
• Sonuç: Dolayısıyla, üç ardışık tam sayının toplamı, ortanca sayının 3 katına eşittir. ✅

• İndirim Oranı: %20 indirim yapılmış.
• Kalan Oran: Bu demektir ki, ürünün fiyatının \( 100% - 20% = 80% \) 'i ödenmiştir.
• İndirimli Fiyat: İndirimli fiyat 80 TL'dir.
• İlişki: Yani, gömleğin orijinal fiyatının %80'i 80 TL'ye eşittir.
• Matematiksel İfade: Orijinal fiyatı \( x \) ile gösterirsek, \( x \times \frac{80}{100} = 80 \) TL olur.
• Sadeleştirme: \( x \times \frac{4}{5} = 80 \) TL.
• Orijinal Fiyatı Bulma: Orijinal fiyatı bulmak için denklemi çözeriz: \( x = 80 \times \frac{5}{4} \).
• Hesaplama: \( x = \frac{400}{4} = 100 \) TL.
• Kontrol Edelim: Orijinal fiyat 100 TL ise, %20 indirim \( 100 \times \frac{20}{100} = 20 \) TL olur. İndirimli fiyat \( 100 - 20 = 80 \) TL olur. Bu, soruda verilen bilgiyle uyuşmaktadır.
• Sonuç: Gömleğin indirimsiz (orijinal) fiyatı 100 TL'dir. 💯

• Toplam Alan: Çiftçinin ektiği toplam alan 1200 metrekaredir.
• İlk Ekim (Domates): Tarlanın \( \frac{1}{3} \) 'ü domates ekimi için kullanılmış.
• Domates Ekilen Alan: \( 1200 \times \frac{1}{3} = 400 \) metrekare.
• Kalan Alan (Biber Öncesi): Domates ekiminden sonra kalan alan \( 1200 - 400 = 800 \) metrekaredir.
• İkinci Ekim (Biber): Kalan alanın \( \frac{1}{2} \) 'si biber ekimi için kullanılmış.
• Biber Ekilen Alan: \( 800 \times \frac{1}{2} = 400 \) metrekare.
• Toplam Ekilen Alan: Domates ve biber ekilen toplam alan \( 400 + 400 = 800 \) metrekaredir.
• Ekinmeyen Alan: Tarlanın ekilmeyen kısmı, toplam alandan ekilen alan çıkarılarak bulunur.
• Hesaplama: Ekilmeyen Alan = Toplam Alan - Toplam Ekilen Alan = \( 1200 - 800 = 400 \) metrekare.
• Sonuç: Çiftçinin tarlasının ekilmeyen kısmı 400 metrekaredir. 🌳