🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Zort Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Zort Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen ifadelerden hangilerinin bir önerme olduğunu belirleyiniz.
a) "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır."
b) "Bugün hava çok güzel mi?"
c) "En küçük asal sayı \( 2 \)'dir."
d) "Lütfen kapıyı kapat."
Çözüm:
Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin bir doğru veya yanlış hüküm bildirmesi gerekir.
- a) "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." ifadesi kesin bir hüküm bildirir ve doğrudur. Bu yüzden bir önermedir. ✅
- b) "Bugün hava çok güzel mi?" bir soru cümlesidir, hüküm bildirmez. Bu yüzden önerme değildir. ❌
- c) "En küçük asal sayı \( 2 \)'dir." ifadesi kesin bir hüküm bildirir ve doğrudur. Bu yüzden bir önermedir. ✅
- d) "Lütfen kapıyı kapat." bir emir/istek cümlesidir, hüküm bildirmez. Bu yüzden önerme değildir. ❌
Örnek 2:
\( p \equiv 1 \), \( q \equiv 0 \) ve \( r \equiv 1 \) olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermenin doğruluk değerini bulunuz:
\[ (p \wedge q) \vee (q' \wedge r) \]
Çözüm:
Verilen değerleri adım adım yerlerine koyalım:
- Öncelikle \( q \equiv 0 \) ise \( q' \equiv 1 \) olur. 💡
- Parantez içlerini hesaplayalım:
- Birinci parantez: \( p \wedge q \equiv 1 \wedge 0 \equiv 0 \)
- İkinci parantez: \( q' \wedge r \equiv 1 \wedge 1 \equiv 1 \)
- Şimdi bu iki sonucu "veya" (\( \vee \)) bağlacı ile birleştirelim:
- \( 0 \vee 1 \equiv 1 \)
Örnek 3:
Aşağıdaki koşullu önermenin (ise bağlacı) karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız:
"Kar yağıyorsa hava soğuktur."
Çözüm:
Önermemizi sembolik olarak ifade edelim: \( p \Rightarrow q \)
\( p \): Kar yağıyor.
\( q \): Hava soğuktur.
- Karşıtı (\( q \Rightarrow p \)): "Hava soğuksa kar yağıyordur." 🔄
- Tersi (\( p' \Rightarrow q' \)): "Kar yağmıyorsa hava soğuk değildir." 🚫
- Karşıt Tersi (\( q' \Rightarrow p' \)): "Hava soğuk değilse kar yağmıyordur." ⚖️
Örnek 4:
De Morgan kurallarını kullanarak aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz:
\[ (p' \vee q)' \wedge (p \wedge q')' \]
Çözüm:
Adım adım De Morgan kuralını uygulayalım:
- 1. Adım: Birinci parantezin değilini alalım: \( (p' \vee q)' \equiv p \wedge q' \)
- 2. Adım: İkinci parantezin değilini alalım: \( (p \wedge q')' \equiv p' \vee q \)
- 3. Adım: İfadeleri birleştirelim: \( (p \wedge q') \wedge (p' \vee q) \)
- 4. Adım: Dağılma özelliğini kullanalım:
- \( (p \wedge q' \wedge p') \vee (p \wedge q' \wedge q) \)
- Burada \( p \wedge p' \equiv 0 \) ve \( q' \wedge q \equiv 0 \) olduğunu biliyoruz.
- İfade şuna dönüşür: \( (0 \wedge q') \vee (p \wedge 0) \)
- \( 0 \vee 0 \equiv 0 \)
Örnek 5:
Bir akıllı ev sisteminde alarmın çalması için şu mantıksal koşul tanımlanmıştır:
"Gece modu aktifse (\( p \)) VE (Kapı açılırsa (\( q \)) VEYA Hareket sensörü tetiklenirse (\( r \))) alarm çalar."
Sistemde gece modunun aktif olduğu (\( p \equiv 1 \)), kapının kapalı kaldığı (\( q \equiv 0 \)) ancak bir hareketin algılandığı (\( r \equiv 1 \)) bir durumda alarm çalar mı?
Çözüm:
Verilen durumu mantıksal bir formüle dökelim:
\[ p \wedge (q \vee r) \]
Değerleri yerine yazalım:- \( p \equiv 1 \) (Gece modu aktif)
- \( q \equiv 0 \) (Kapı kapalı)
- \( r \equiv 1 \) (Hareket var)
- Önce parantez içi: \( q \vee r \equiv 0 \vee 1 \equiv 1 \)
- Sonra dış işlem: \( p \wedge 1 \equiv 1 \wedge 1 \equiv 1 \)
Örnek 6:
Aşağıdaki açık önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
a) \( p(x): \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 > 0 \)
b) \( q(x): \exists x \in \mathbb{N}, x + 3 = 2 \)
Çözüm:
Niceleyicileri inceleyelim:
- a) "Her tam sayının karesi sıfırdan büyüktür."
Ancak \( x = 0 \) bir tam sayıdır ve \( 0^2 = 0 \)'dır. \( 0 > 0 \) ifadesi yanlıştır.
Bu yüzden \( p(x) \equiv 0 \) olur. ❌ - b) "Bazı doğal sayılar için \( x + 3 = 2 \)'dir."
Denklemi çözersek \( x = -1 \) bulunur. Ancak \( -1 \) bir doğal sayı değildir (\( -1 \notin \mathbb{N} \)).
Bu yüzden \( q(x) \equiv 0 \) olur. ❌
Örnek 7:
Bir okulda Ali, Berk ve Can isimli üç öğrencinin sınav sonuçlarıyla ilgili şu bilgiler veriliyor:
\( p \): Ali sınavı geçti.
\( q \): Berk sınavı geçti.
\( r \): Can sınavı geçti.
Çözüm:
\( (p \Rightarrow q) \wedge r' \equiv 1 \) ise "ve" (\( \wedge \)) bağlacı gereği her iki taraf da \( 1 \) olmalıdır:
- 1. Durum: \( r' \equiv 1 \) olmalıdır. Bu durumda \( r \equiv 0 \)'dır. Yani Can sınavı geçememiştir. ❌
- 2. Durum: \( p \Rightarrow q \equiv 1 \) olmalıdır.
- Bu durumun sağlanması için \( (p,q) \) ikilisi \( (1,1), (0,1) \) veya \( (0,0) \) olabilir.
- Ancak soruda "kesinlikle" geçmiştir diyebileceğimiz tek kişi hakkında net bilgi yoktur, sadece Can'ın kaldığı kesindir.
- Eğer soru "Ali geçtiyse Berk de geçmiştir" diyorsa, bu \( p \Rightarrow q \) ifadesini doğrular.
Örnek 8:
Aşağıdaki bileşik önermenin bir totoloji (daima doğru) olduğunu gösteriniz:
\[ [p \wedge (p \Rightarrow q)] \Rightarrow q \]
Çözüm:
İfadeyi sadeleştirerek ilerleyelim:
- 1. Adım: İse bağlacını veya bağlacına çevirelim: \( p \Rightarrow q \equiv p' \vee q \)
- 2. Adım: Köşeli parantez içini düzenleyelim: \( p \wedge (p' \vee q) \)
- 3. Adım: Dağılma özelliğini uygulayalım: \( (p \wedge p') \vee (p \wedge q) \)
- 4. Adım: \( p \wedge p' \equiv 0 \) olduğundan parantez içi: \( 0 \vee (p \wedge q) \equiv p \wedge q \) olur.
- 5. Adım: Şimdi tüm ifadeyi yazalım: \( (p \wedge q) \Rightarrow q \)
- 6. Adım: Tekrar ise bağlacını çevirelim: \( (p \wedge q)' \vee q \)
- 7. Adım: De Morgan uygulayalım: \( p' \vee q' \vee q \)
- 8. Adım: \( q' \vee q \equiv 1 \) olduğundan: \( p' \vee 1 \equiv 1 \) bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-zort/sorular