💡 9. Sınıf Matematik: Yansıma Öteleme Dönme Hareketleri Çözümlü Örnekler

Bir noktanın x-eksenine göre yansıması alındığında, noktanın x-koordinatı aynı kalır, y-koordinatının ise işareti değişir.

Verilen A noktasının koordinatları \( (3, 5) \) şeklindedir. Burada \( x = 3 \) ve \( y = 5 \)'tir.

x-eksenine göre yansıma kuralını uygulayalım: \( (x, y) \rightarrow (x, -y) \).

Bu durumda A noktasının x-eksenine göre yansıması \( A' \) noktasının koordinatları \( (3, -5) \) olur.

A noktasının x-eksenine göre yansıması \( A' \) noktasının koordinatları \( (3, -5) \)'tir. ✅

Bir noktanın y-eksenine göre yansıması alındığında, noktanın y-koordinatı aynı kalır, x-koordinatının ise işareti değişir.

Verilen B noktasının koordinatları \( (-2, 4) \)'tür. Burada \( x = -2 \) ve \( y = 4 \)'tür.

y-eksenine göre yansıma kuralı \( (x, y) \rightarrow (-x, y) \)'dir.

Bu kuralı B noktasına uyguladığımızda, yansıyan nokta \( B' \) olur ve koordinatları \( (-(-2), 4) = (2, 4) \)'tür.

B noktasının y-eksenine göre yansıması \( B' \) noktasının koordinatları \( (2, 4) \)'tür. ✅

Bir noktanın orijine göre yansıması alındığında, hem x-koordinatının hem de y-koordinatının işareti değişir.

Orijine göre yansıma kuralı \( (x, y) \rightarrow (-x, -y) \)'dir.

Bize yansıyan noktanın koordinatları \( C'(-1, -3) \) verilmiş. Bu, \( -x = -1 \) ve \( -y = -3 \) anlamına gelir.

Bu denklemleri çözerek C noktasının orijinal koordinatlarını bulabiliriz: \( x = 1 \) ve \( y = 3 \).

Orijine göre yansıması \( C'(-1, -3) \) olan C noktasının koordinatları \( (1, 3) \)'tür. ✅

Bir noktayı bir vektör kadar ötelemek, noktanın koordinatlarına vektörün bileşenlerini eklemek anlamına gelir.

Ötelenecek nokta \( P(2, 1) \)'dir. Öteleme vektörü \( \vec{v} = (3, -2) \)'dir.

Yeni P noktasının koordinatları \( P'(x', y') \) olsun. Öteleme formülü şöyledir: \( x' = x + v_x \) ve \( y' = y + v_y \).

Burada \( x = 2 \), \( y = 1 \), \( v_x = 3 \) ve \( v_y = -2 \)'dir.

\( x' = 2 + 3 = 5 \)

\( y' = 1 + (-2) = -1 \)

P noktasının \( \vec{v} = (3, -2) \) vektörü kadar ötelenmesiyle elde edilen P' noktasının koordinatları \( (5, -1) \)'dir. ✅

Bir noktayı orijin etrafında belirli bir açıda döndürmek, noktanın hem konumunu hem de uzaklığını koruyarak yerini değiştirmektir.

Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( 90^\circ \) saat yönünde döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatları \( (-y, x) \) olur.

Verilen A noktasının koordinatları \( (1, 2) \)'dir. Burada \( x = 1 \) ve \( y = 2 \)'dir.

Kuralı uyguladığımızda, \( A' \) noktasının koordinatları \( (-2, 1) \) olur.

\( A(1, 2) \) noktasının orijin etrafında \( 90^\circ \) saat yönünde döndürülmesiyle elde edilen \( A' \) noktasının koordinatları \( (-2, 1) \)'dir. ✅

Bir noktayı orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürmek, noktanın hem x hem de y koordinatlarının işaretini değiştirmekle aynıdır.

Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatları \( (-x, -y) \) olur.

Verilen B noktasının koordinatları \( (-3, 4) \)'tür. Burada \( x = -3 \) ve \( y = 4 \)'tür.

Kuralı uyguladığımızda, \( B' \) noktasının koordinatları \( (-(-3), -4) = (3, -4) \) olur.

\( B(-3, 4) \) noktasının orijin etrafında \( 180^\circ \) döndürülmesiyle elde edilen \( B' \) noktasının koordinatları \( (3, -4) \)'tür. ✅

Bu problem, sabit bir artış miktarının tekrarlandığı bir öteleme hareketini temsil eder.

İlk hafta fiyatı (başlangıç noktası): \( 1200 \) TL.

Her hafta artış miktarı (öteleme vektörü): \( 50 \) TL.

5. haftadaki fiyatı soruyor. Bu, ilk haftadan sonra \( 5 - 1 = 4 \) hafta daha geçmesi demektir.

Toplam artış miktarı = (Hafta sayısı) \( \times \) (Haftalık artış)

Toplam artış = \( 4 \times 50 \) TL = \( 200 \) TL.

5. haftadaki fiyat = İlk hafta fiyatı + Toplam artış

5. haftadaki fiyat = \( 1200 \) TL + \( 200 \) TL = \( 1400 \) TL.

Telefonun 5. haftadaki fiyatı \( 1400 \) TL olacaktır. Bu, her hafta \( 50 \) TL'lik bir öteleme ile bulunur. ✅

Bu problem, ardışık öteleme hareketlerini içerir. Evden okula ulaşmak için iki farklı vektör kadar hareket ediyoruz.

Ev \( E(4, 6) \)'dır. İlk öteleme vektörü \( \vec{v_1} = (2, -3) \)'tür.

İlk hareket sonrası konum \( E_1(x_1, y_1) \) olsun:

\( x_1 = 4 + 2 = 6 \)

\( y_1 = 6 + (-3) = 3 \)

İlk hareket sonrası konum \( E_1(6, 3) \)'tür.

Şimdi \( E_1(6, 3) \) noktasından ikinci öteleme vektörü \( \vec{v_2} = (-5, 1) \) kadar hareket ediyoruz.

Okulun bulunduğu nokta \( O(x_{okul}, y_{okul}) \) olsun:

\( x_{okul} = 6 + (-5) = 1 \)

\( y_{okul} = 3 + 1 = 4 \)

İki öteleme vektörünü toplayarak toplam öteleme vektörünü bulabiliriz: \( \vec{v_{toplam}} = \vec{v_1} + \vec{v_2} \).

\( \vec{v_{toplam}} = (2, -3) + (-5, 1) = (2 + (-5), -3 + 1) = (-3, -2) \).

Şimdi başlangıç noktamız olan ev \( E(4, 6) \)'yı bu toplam vektör kadar öteleyelim:

\( x_{okul} = 4 + (-3) = 1 \)

\( y_{okul} = 6 + (-2) = 4 \)

Okulun bulunduğu noktanın koordinatları \( (1, 4) \)'tür. ✅