🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Yansıma, Öklid, Eşlik, Benzerlik, Pisagor, Açı Kenar Bağıntısı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Yansıma, Öklid, Eşlik, Benzerlik, Pisagor, Açı Kenar Bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 5 cm, BC kenarı 7 cm ve AC kenarı 8 cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunluklarına göre açıları arasındaki sıralamayı bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Açı Kenar Bağıntısı konusunu kullanacağız.
- Kural: Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur ve küçük açının karşısındaki kenar daha kısadır.
- Verilen kenar uzunlukları: AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 8 cm.
- Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: 5 cm < 7 cm < 8 cm.
- Bu sıralamaya karşılık gelen kenarlar: AB < BC < AC.
- Şimdi bu kenarların karşısındaki açıları belirleyelim:
- AB kenarının karşısındaki açı C açısıdır.
- BC kenarının karşısındaki açı A açısıdır.
- AC kenarının karşısındaki açı B açısıdır.
- Kenar uzunluklarının sıralaması (AB < BC < AC) olduğundan, bu kenarların karşısındaki açıların sıralaması da aynı olacaktır: \( \angle C < \angle A < \angle B \).
Örnek 2:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 birim ve 8 birim uzunluğundadır. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) birim, \( b = 8 \) birim.
- Formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) birim.
Örnek 3:
Bir ABCD karesinin bir kenar uzunluğu 7 cm'dir. Bu karenin köşegen uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. ⬜
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Karenin köşegeni, kenar uzunlukları ile dik üçgen oluşturur.
- Karenin kenar uzunluğu \( a = 7 \) cm'dir.
- Köşegen, iki dik kenarı \( a \) olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + a^2 = köşegen^2 \)
- Verilen kenar uzunluğunu yerine koyalım: \( 7^2 + 7^2 = köşegen^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 49 + 49 = köşegen^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 98 = köşegen^2 \)
- Köşegen uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{98} = \sqrt{köşegen^2} \)
- Karekökü sadeleştirelim: \( \sqrt{49 \times 2} = köşegen \Rightarrow 7\sqrt{2} \)
Örnek 4:
Bir noktaya göre yansıma, geometride hangi dönüşüm türüne girer? 🪞
Çözüm:
Bu soru, Yansıma dönüşümünün temel tanımını sormaktadır.
- Yansıma: Bir şeklin veya noktanın, bir doğruya (yansıma doğrusu) göre simetrisinin alınmasıdır.
- Yansıma, bir izometri dönüşümüdür.
- İzometri: Şeklin boyunu ve açısını değiştirmeyen, sadece konumunu değiştiren dönüşümlerdir.
- Diğer izometri dönüşümleri öteleme ve dönmedir.
Örnek 5:
Bir parkta bulunan iki bankın konumları, bir koordinat sisteminde A(2, 3) ve B(6, 7) noktaları ile gösterilmiştir. Bu iki bank arasındaki en kısa mesafeyi, yani kuş uçuşu uzaklığı, analitik geometri kullanarak hesaplayınız. 🌳
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü'nü kullanacağız. Bu formül, Pisagor teoreminin analitik düzleme uyarlanmış halidir.
- İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Verilen noktalar: A(2, 3) ve B(6, 7).
- Burada \( x_1 = 2, y_1 = 3 \) ve \( x_2 = 6, y_2 = 7 \).
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)
- Farkları hesaplayalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} \)
- Kareleri hesaplayalım: \( d = \sqrt{16 + 16} \)
- Toplamı bulalım: \( d = \sqrt{32} \)
- Karekökü sadeleştirelim: \( d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
Örnek 6:
İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ise, bu üçgenler hakkında ne söylenebilir? Bu durumun geometrik adı nedir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, Benzerlik konusunun temel prensiplerinden birini sormaktadır.
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: Eğer iki üçgenin ikişer açısı birbirine eşitse, bu iki üçgen benzerdir.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir ve karşılıklı açıları eşittir.
- Bu duruma geometrik benzerlik adı verilir.
- Benzerlik, eşlikten farklıdır. Eşlikte hem açılar hem de kenarlar birebir eşittir. Benzerlikte ise sadece açılar eşittir, kenarlar orantılıdır.
Örnek 7:
Bir mimar, bir binanın planını çizerken ölçek kullanır. Eğer planda 1 cm, gerçekte 5 metreye karşılık geliyorsa, planda 15 cm uzunluğunda olan bir duvarın gerçek uzunluğu ne kadardır? 📏
Çözüm:
Bu soru, Orantı ve Ölçek kavramlarını kullanarak çözülebilir. Ölçek, aslında bir benzerlik oranıdır.
- Ölçek: Harita veya plandaki bir uzunluğun, gerçekteki karşılığına oranlanmasıdır.
- Verilen ölçek: Plana göre 1 cm, gerçeğe göre 5 metre.
- Plana göre duvar uzunluğu: 15 cm.
- Gerçek uzunluğu bulmak için orantı kurabiliriz:
- \( \frac{1 \text{ cm (plan)}}{5 \text{ m (gerçek)}} = \frac{15 \text{ cm (plan)}}{x \text{ m (gerçek)}} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \times x = 5 \times 15 \)
- Hesaplayalım: \( x = 75 \)
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \) ve \( \angle C = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 60^\circ \) ve \( \angle F = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Eğer ABC üçgeninin çevresi 18 cm ise, DEF üçgeninin çevresi kaç cm olur? 🌍
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Benzerlik ve Eşlik kavramlarını birlikte kullanacağız.
- Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin tüm açıları birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- ABC üçgeninin açıları: \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \).
- DEF üçgeninin açıları: \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \).
- Her iki üçgenin de açıları aynı olduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.
- Ayrıca, açılar birebir eşleştiği için ( \( \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F \) ), bu üçgenler aslında eşittir.
- Eşlik: İki şeklin hem açıları hem de kenarları birebir aynı ise eşittir. Eş üçgenlerin çevreleri ve alanları da eşittir.
- ABC üçgeninin çevresi 18 cm olarak verilmiştir.
- Eş oldukları için, DEF üçgeninin çevresi de ABC üçgeninin çevresine eşit olacaktır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-yansima-oklid-eslik-benzerlik-pisagor-aci-kenar-bagintisi/sorular