🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Ve baglacı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Ve baglacı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bularak ve (\( \wedge \)) bağlacı ile yapılan bileşik önermenin sonucunu bulunuz.
p: "Bir hafta 7 gündür."
q: "En küçük asal sayı 1'dir."
Buna göre \( p \wedge q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? 💡
Çözüm:
- Öncelikle p önermesini inceleyelim: Bir hafta gerçekten 7 gündür. Bu nedenle p önermesi doğrudur. Yani \( p \equiv 1 \) olur.
- Şimdi q önermesini inceleyelim: En küçük asal sayı 1 değil, 2'dir. Bu nedenle q önermesi yanlıştır. Yani \( q \equiv 0 \) olur.
- Bizden istenen \( p \wedge q \) ifadesidir.
- Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak: \( 1 \wedge 0 \) elde ederiz.
- Ve (\( \wedge \)) bağlacının kuralına göre, bileşenlerden en az biri 0 ise sonuç 0 olur.
- Sonuç: \( 1 \wedge 0 \equiv 0 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 1 \) olmak üzere, aşağıda verilen bileşik önermenin doğruluk değerini bulunuz:
\[ (p \wedge q) \wedge p \]
Çözüm:
- Verilen değerleri yerleştirelim: \( p \) yerine 1, \( q \) yerine 1 yazalım.
- İşlem şu hale gelir: \( (1 \wedge 1) \wedge 1 \)
- Parantez içindeki işlemi yapalım: Ve bağlacında her iki önerme de doğru (1) ise sonuç 1'dir.
- \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \) olur.
- Şimdi dışarıdaki işlemle devam edelim: \( 1 \wedge 1 \)
- Sonuç tekrar 1 çıkar.
- Yani, \( (p \wedge q) \wedge p \equiv 1 \) bulunur. 🎯
Örnek 3:
Aşağıdaki ifadelerin en sade hallerini bulunuz:
I. \( p \wedge 1 \)
II. \( p \wedge 0 \)
III. \( p \wedge p' \)
Çözüm:
Ve (\( \wedge \)) bağlacının özelliklerini kullanarak çözelim:
- I. \( p \wedge 1 \): Eğer \( p \equiv 1 \) ise sonuç \( 1 \wedge 1 = 1 \) olur. Eğer \( p \equiv 0 \) ise sonuç \( 0 \wedge 1 = 0 \) olur. Sonuç her zaman \( p \)'nin değerine bağlıdır. Bu yüzden \( p \wedge 1 \equiv p \) olur.
- II. \( p \wedge 0 \): Ve bağlacında içinde bir tane bile 0 varsa sonuç daima 0'dır (Yutan eleman özelliği). Bu yüzden \( p \wedge 0 \equiv 0 \) olur.
- III. \( p \wedge p' \): Bir önerme ile değilinin (olumsuzunun) ve bağlacı ile işleme girmesidir. Eğer \( p \equiv 1 \) ise \( p' \equiv 0 \) olur. Eğer \( p \equiv 0 \) ise \( p' \equiv 1 \) olur. Her iki durumda da çarpanlardan biri mutlaka 0 olacağı için sonuç daima 0'dır. Yani \( p \wedge p' \equiv 0 \) olur. 📌
Örnek 4:
\( (p \wedge q') \wedge r \equiv 1 \) olduğuna göre; \( p \), \( q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz. 🔍
Çözüm:
- Ve (\( \wedge \)) bağlacı ile bağlanmış bir bileşik önermenin sonucunun 1 (doğru) olabilmesi için, tüm bileşenlerin ayrı ayrı 1 olması gerekir.
- Bu durumda: \( (p \wedge q') \equiv 1 \) ve \( r \equiv 1 \) olmalıdır.
- \( r \equiv 1 \) olduğunu doğrudan bulduk.
- Şimdi \( (p \wedge q') \equiv 1 \) kısmına bakalım. Buranın da 1 olması için her iki tarafın 1 olması şarttır.
- Yani \( p \equiv 1 \) ve \( q' \equiv 1 \) olmalıdır.
- Eğer \( q' \equiv 1 \) ise, \( q \equiv 0 \) olur.
- Sonuç olarak: \( p \equiv 1 \), \( q \equiv 0 \), \( r \equiv 1 \) bulunur. ✅
Örnek 5:
\( [p \wedge (q \wedge 0)] \wedge (p' \wedge 1) \) bileşik önermesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
Adım adım sadeleştirme yapalım:
- İlk parantez içine bakalım: \( (q \wedge 0) \). Ve bağlacında 0 yutan elemandır, bu yüzden \( q \wedge 0 \equiv 0 \) olur.
- İfade şu hale geldi: \( [p \wedge 0] \wedge (p' \wedge 1) \)
- Sol taraftaki köşeli parantezi çözelim: \( p \wedge 0 \equiv 0 \) olur.
- Sağ taraftaki parantezi çözelim: \( p' \wedge 1 \equiv p' \) olur (Çünkü 1 etkisiz eleman gibidir, sonuç \( p' \)'ye bağlıdır).
- Şimdi elimizde kalan son işlem: \( 0 \wedge p' \)
- Ve bağlacında 0 olduğu için sonuç yine 0 olacaktır.
- Cevap: 0 🚀
Örnek 6:
Bir evin koridorundaki ışığın yanması için iki adet seri bağlı anahtarın (A ve B anahtarları) ikisinin de kapalı konumda olması gerekmektedir.
p: "A anahtarı kapalıdır."
q: "B anahtarı kapalıdır."
Işığın yanma durumunu ve (\( \wedge \)) bağlacı ile ifade ederek, sadece A anahtarı kapalıyken ışığın yanıp yanmayacağını açıklayınız. 💡
Çözüm:
- Seri bağlı devrelerde akımın geçmesi için tüm anahtarların kapalı (doğruluk değeri 1) olması gerekir. Bu durum ve bağlacı ile modellenir.
- Işığın yanma durumu = \( p \wedge q \)
- Sadece A anahtarı kapalı ise: \( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) (B açık kalmış) olur.
- Değerleri yerine yazalım: \( 1 \wedge 0 \equiv 0 \)
- Sonuç 0 olduğu için ışık yanmaz.
- Işığın yanması için her iki anahtarın da kapalı olması (\( 1 \wedge 1 \equiv 1 \)) şarttır. 🔌
Örnek 7:
Bir internet sitesine üye girişi yapabilmek için hem "Kullanıcı Adı" hem de "Şifre" bilgilerinin doğru girilmesi gerekmektedir.
p: "Kullanıcı adı doğrudur."
q: "Şifre doğrudur."
Sisteme giriş yapılabiliyorsa bu durum \( p \wedge q \equiv 1 \) ile gösterilir.
Buna göre; kullanıcı adını doğru girip şifresini yanlış giren bir kişinin sisteme giriş yapıp yapamayacağını mantık kuralları ile ispatlayınız. 💻
Çözüm:
- Kullanıcı adı doğru girildiği için \( p \equiv 1 \) olur.
- Şifre yanlış girildiği için \( q \equiv 0 \) olur.
- Sisteme giriş şartı ve (\( \wedge \)) bağlacı ile belirlenmiştir: \( p \wedge q \)
- Değerleri yerine koyduğumuzda: \( 1 \wedge 0 \equiv 0 \) sonucuna ulaşırız.
- Mantıkta 0 "Yanlış" veya "Olumsuz" durumu temsil eder.
- Bu nedenle, sonuç 0 çıktığı için kullanıcı sisteme giriş yapamaz. ❌
Örnek 8:
Bir x tam sayısı için aşağıdaki önermeler veriliyor:
p: "\( x \) sayısı çift sayıdır."
q: "\( x \) sayısı 5 ile tam bölünür."
\( p \wedge q \equiv 1 \) olduğuna göre, x sayısının son basamağındaki rakam kaçtır? 🔢
Çözüm:
- \( p \wedge q \equiv 1 \) olması için hem p'nin hem de q'nun doğru olması gerekir.
- Yani \( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 1 \) olmalıdır.
- \( p \equiv 1 \) ise: x sayısı çifttir. Çift sayıların son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olabilir.
- \( q \equiv 1 \) ise: x sayısı 5 ile tam bölünür. 5 ile bölünebilen sayıların son basamağı 0 veya 5 olabilir.
- Her iki şartın da aynı anda sağlanması (ve bağlacı) gerektiği için ortak olan rakamı bulmalıyız.
- Hem çift olup hem de 5'e bölünen sayıların son basamağı sadece 0 olabilir.
- Cevap: 0 ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ve-baglaci/sorular