💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ve Köklü Sayılarla İşlemler Çözümlü Örnekler

Bu örnekte üslü sayıların temel tanımlarını ve kurallarını hatırlayacağız.

• a) \( 3^4 \): Taban 3, üs 4'tür. Tabanın kendisiyle üs kadar çarpılması anlamına gelir. \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]
• b) \( (-2)^3 \): Taban -2, üs 3'tür. Tabanın tek kuvveti alındığında sonuç negatif olur. \[ (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \]
• c) \( 5^0 \): Sıfır hariç tüm sayıların 0. kuvveti 1'e eşittir. \[ 5^0 = 1 \]
• d) \( 10^{-2} \): Negatif üs, sayının tersinin alınması anlamına gelir. \[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \]

💡 Unutmayın: Negatif üsler sayıyı rasyonel yapar, 0. kuvvet ise her zaman 1'dir.

Bu örnekte aynı tabana sahip üslü sayıların çarpma ve bölme kurallarını uygulayacağız.

• a) \( 2^3 \times 2^5 \): Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır. \[ 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 \]
• b) \( 5^7 \div 5^2 \): Tabanlar aynı olduğunda üsler çıkarılır. \[ 5^7 \div 5^2 = 5^{7-2} = 5^5 \]
• c) \( (3^2)^4 \): Üssün üssü alındığında üsler çarpılır. \[ (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 \]

📌 Kural Hatırlatma: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

Bu bölümde karekök alma işleminin temel mantığını anlayacağız.

• a) \( \sqrt{36} \): Hangi sayının karesinin 36 olduğunu bulmalıyız. \[ \sqrt{36} = 6 \] Çünkü \( 6^2 = 36 \) olur.
• b) \( \sqrt{121} \): Hangi sayının karesinin 121 olduğunu bulmalıyız. \[ \sqrt{121} = 11 \] Çünkü \( 11^2 = 121 \) olur.
• c) \( \sqrt{0} \): 0'ın karesi 0'dır. \[ \sqrt{0} = 0 \]
• d) \( \sqrt{-9} \): Gerçel sayılarda, karesi negatif olan bir sayı yoktur. Bu nedenle, gerçel sayılarda \( \sqrt{-9} \) tanımsızdır.

👉 Dikkat: Karekök sembolü ( \( \sqrt{} \) ) her zaman pozitif sonucu ifade eder.

Köklü sayılarda çarpma işleminin kurallarını uygulayacağız.

• a) \( \sqrt{4} \times \sqrt{9} \): Kareköklerin çarpımı, kök içlerinin çarpımının kareköküne eşittir. \[ \sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 \] Ayrıca, ayrı ayrı hesaplayıp çarptığımızda da aynı sonucu buluruz: \( \sqrt{4} = 2 \) ve \( \sqrt{9} = 3 \), dolayısıyla \( 2 \times 3 = 6 \).
• b) \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \): \[ \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 \]
• c) \( 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} \): Katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında çarpılır. \[ 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5} \times \sqrt{3}) = 6 \times \sqrt{5 \times 3} = 6\sqrt{15} \]

📌 Kural: \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) ve \( m\sqrt{a} \times n\sqrt{b} = (m \times n)\sqrt{a \times b} \)

Bu soru, üslü sayılarla bilimsel gösterimi birleştirerek bir bölme işlemi gerektiriyor.

• Adım 1: Problemi Anlama
  Bize iki farklı uzunluk verilmiş ve birinin diğerine oranını bulmamız isteniyor. Bu, bir bölme işlemi anlamına gelir.
• Adım 2: Bölme İşlemini Kurma
  Hidrojen atomunun yarıçapını proton sayısına böleceğiz: \[ \frac{5,3 \times 10^{-11}}{1,6 \times 10^{-15}} \]
• Adım 3: Katsayıları Bölme
  Önce katsayıları bölelim: \[ \frac{5,3}{1,6} \] Bu işlemi yapmak için ondalık gösterimleri tam sayılara çevirebiliriz: \( \frac{53}{16} \). \[ \frac{53}{16} \approx 3,3125 \]
• Adım 4: Üslü İfadeleri Bölme
  Şimdi \( 10 \) tabanlı üslü ifadeleri bölelim. Tabanlar aynı olduğunda üsler çıkarılır: \[ \frac{10^{-11}}{10^{-15}} = 10^{-11 - (-15)} = 10^{-11 + 15} = 10^4 \]
• Adım 5: Sonucu Birleştirme
  Bulduğumuz katsayı ve üslü ifadeyi birleştirelim: \[ 3,3125 \times 10^4 \] Bu da \( 33125 \) sayısına eşittir.

✅ Sonuç: Hidrojen atomunun yarıçapı, proton sayısının yaklaşık \( 3,3125 \times 10^4 \) katıdır.

Bu örnekte, basit faiz hesaplamasında üslü sayılarla doğrudan bir işlem olmasa da, faiz oranlarının ve sürelerin üslü büyümelerle ilişkisi düşünülebilir. Ancak bu sorunun çözümü basit bir çarpma işlemiyle yapılacaktır.

• Adım 1: Yıllık Faiz Miktarını Bulma
  Ana para 1000 TL ve faiz oranı %10. Yıllık faiz miktarı: \[ 1000 \text{ TL} \times \frac{10}{100} = 1000 \text{ TL} \times 0,10 = 100 \text{ TL} \]
• Adım 2: Toplam Faiz Miktarını Hesaplama
  Faiz oranı basit faiz olduğu için, her yıl aynı miktar faiz kazanılır. 2 yıl için toplam faiz: \[ 100 \text{ TL/yıl} \times 2 \text{ yıl} = 200 \text{ TL} \]

💡 Not: Eğer bileşik faiz olsaydı, hesaplama daha karmaşık olur ve üslü sayılar devreye girerdi. Örneğin, 2 yıl sonraki toplam para \( Ana Para \times (1 + \text{faiz oranı})^süre \) formülüyle hesaplanırdı.

Bu denklemde, tabanları eşitleyerek \( x \) değerini bulacağız.

• Adım 1: Tabanları Eşitleme
  Hem 4 hem de 8, 2'nin kuvvetleri olarak yazılabilir: \( 4 = 2^2 \) \( 8 = 2^3 \) Denklemimizi bu tabanlarla yeniden yazalım: \[ (2^2)^{x+1} = (2^3)^{2x-1} \]
• Adım 2: Üssün Üssünü Alma
  Üssün üssü alındığında üsler çarpılır: \[ 2^{2(x+1)} = 2^{3(2x-1)} \] \[ 2^{2x+2} = 2^{6x-3} \]
• Adım 3: Üsleri Eşitleme
  Tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmalıdır: \[ 2x+2 = 6x-3 \]
• Adım 4: \( x \) Değerini Çözme
  Denklemi \( x \) için çözelim: \[ 2+3 = 6x-2x \] \[ 5 = 4x \] \[ x = \frac{5}{4} \]

✅ Sonuç: Denklemi sağlayan \( x \) değeri \( \frac{5}{4} \)'tür.

Bu soruda, köklü ifadeleri sadeleştirerek toplama ve çıkarma işlemlerini yapacağız.

• Adım 1: Kökleri Sadeleştirme
  Her bir köklü ifadeyi tam kare çarpanlarını bularak sadeleştirelim:
  • \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
  • \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
  • \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
• Adım 2: Sadeleştirilmiş İfadeleri Yerine Koyma
  Orijinal ifadede sadeleştirilmiş hallerini yazalım: \[ 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \]
• Adım 3: Benzer Terimleri Toplama/Çıkarma
  Kök içleri aynı olduğunda, katsayıları toplayıp çıkarabiliriz: \[ (5 + 3 - 4)\sqrt{2} \] \[ (8 - 4)\sqrt{2} \] \[ 4\sqrt{2} \]

📌 Önemli: Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir.

Bu problemde, hız, uzaklık ve zaman arasındaki ilişkiyi kullanarak üslü sayılarla bir bölme işlemi yapacağız.

• Adım 1: Formülü Hatırlama
  Temel fizik formülü: Uzaklık = Hız \( \times \) Zaman. Buradan zamanı bulmak için formülü yeniden düzenleriz: Zaman = Uzaklık / Hız.
• Adım 2: Değerleri Yerine Koyma
  Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \text{Zaman} = \frac{9 \times 10^{10} \text{ km}}{3 \times 10^5 \text{ km/s}} \]
• Adım 3: Katsayıları Bölme
  Önce katsayıları bölelim: \[ \frac{9}{3} = 3 \]
• Adım 4: Üslü İfadeleri Bölme
  Şimdi \( 10 \) tabanlı üslü ifadeleri bölelim. Tabanlar aynı olduğunda üsler çıkarılır: \[ \frac{10^{10}}{10^5} = 10^{10-5} = 10^5 \]
• Adım 5: Sonucu Birleştirme
  Bulduğumuz katsayı ve üslü ifadeyi birleştirerek zamanı bulalım: \[ 3 \times 10^5 \text{ saniye} \]

✅ Sonuç: Uzay aracının gezegene ulaşması \( 3 \times 10^5 \) saniye sürer. Bu da 300.000 saniye demektir.