💡 9. Sınıf Matematik: Üslü sayılarla işlemler Çözümlü Örnekler

Bu soruda taban 3, üs ise 4'tür.
Üslü sayılarda tabanın kendisiyle, üssün gösterdiği kadar çarpılması anlamına gelir.

1. \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
2. \( 3 \times 3 = 9 \)
3. \( 9 \times 3 = 27 \)
4. \( 27 \times 3 = 81 \)

Sonuç olarak, \( 3^4 = 81 \) olur. ✅

Negatif üsler, sayının tersinin pozitif üssü şeklinde yazılmasını gerektirir.

1. \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} \)
2. Şimdi \( 2^3 \) ifadesini hesaplayalım: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
3. Bu durumda, \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \) olarak bulunur.

Unutmayın, \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) kuralı burada geçerlidir. 💡

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken, üsler toplanır.
Kural: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

1. Verilen ifade: \( 5^2 \times 5^3 \)
2. Tabanlar aynı (5), bu yüzden üsleri toplarız: \( 2 + 3 = 5 \)
3. Sonuç: \( 5^{2+3} = 5^5 \)

\( 5^5 \) ifadesini de açarsak: \( 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 3125 \) olur. 👉

Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
Kural: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

1. Verilen ifade: \( \frac{7^5}{7^2} \)
2. Tabanlar aynı (7), bu yüzden payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız: \( 5 - 2 = 3 \)
3. Sonuç: \( 7^{5-2} = 7^3 \)

\( 7^3 \) ifadesini de açarsak: \( 7 \times 7 \times 7 = 343 \) olur. 💯

Bir üslü ifadenin üssü alındığında, üsler birbiriyle çarpılır.
Kural: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

1. Verilen ifade: \( (4^2)^3 \)
2. Üsleri çarparız: \( 2 \times 3 = 6 \)
3. Sonuç: \( 4^{2 \times 3} = 4^6 \)

\( 4^6 \) ifadesini hesaplamak için \( 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \) işlemini yapabiliriz, bu da 4096'ya eşittir. 🚀

Bu problem, üslü sayılarla modelleyerek çözülebilir.
Başlangıç sayısı: 10 bakteri.
Her saat sonunda 2 katına çıkıyor, yani çarpı 2.
5 saat sonraki bakteri sayısı, başlangıç sayısı ile 5 kez 2 ile çarpımına eşittir.

1. Başlangıç: \( 10 \)
2. 1 saat sonra: \( 10 \times 2^1 \)
3. 2 saat sonra: \( 10 \times 2^2 \)
4. ...
5. 5 saat sonra: \( 10 \times 2^5 \)

Şimdi \( 2^5 \) hesaplayalım: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
Toplam bakteri sayısı: \( 10 \times 32 = 320 \) bakteri olur. 🦠

Bu soruda birim dönüşümü için üslü sayılar kullanılmaktadır.
Bize verilen bilgi: 1 MB = \( 2^{10} \) KB.
Dosya boyutu: 128 MB.
Bu boyutu KB'ye çevirmek için 128 sayısını \( 2^{10} \) ile çarpmalıyız.
Öncelikle 128 sayısını 2'nin kuvveti şeklinde yazalım:
\( 128 = 2 \times 64 = 2 \times 2 \times 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7 \)
Şimdi çarpma işlemini yapalım:
\( 128 \text{ MB} = 2^7 \times 2^{10} \text{ KB} \)
Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 7 + 10 = 17 \)
Sonuç: \( 2^{17} \) KB olur. 💾

Bu soruyu çözmek için tüm ifadeleri aynı tabana (3) getirmemiz gerekiyor.

1. İlk terim: \( (3^4)^2 \). Üssün üssü kuralını kullanarak \( 3^{4 \times 2} = 3^8 \) olur.
2. İkinci terim: \( 9^3 \). Tabanı 3'e çevirelim: \( 9 = 3^2 \). Bu durumda \( (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 \) olur.
3. Pay kısmını birleştirelim: \( 3^8 \times 3^6 \). Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 3^{8+6} = 3^{14} \).
4. Şimdi ifadeyi yeniden yazalım: \( \frac{3^{14}}{3^5} \).
5. Paydanın üssünü payın üssünden çıkaralım: \( 3^{14-5} = 3^9 \).

En sade hali \( 3^9 \) olarak bulunur. ✨