💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimleri İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler

Bu örnekte, üslü bir sayının tekrar üssünü alma kuralını kullanacağız. 💡

• Kural şuydu: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• Burada \( a=2 \), \( m=3 \) ve \( n=4 \) değerlerini görüyoruz.
• Bu kuralı uygulayalım: \( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} \)
• Üsleri çarptığımızda: \( 2^{12} \) sonucunu elde ederiz.

✅ Yani, \( (2^3)^4 \) ifadesinin en sade hali \( 2^{12} \) olur.

Bu soruda hem üslü bir sayının üssünü alma hem de negatif üs kurallarını kullanacağız. 📌

• Öncelikle parantez içindeki ifadeyi düzenleyelim: \( 1/3 \) ifadesini \( 3^{-1} \) olarak yazabiliriz.
• Şimdi ifade şu hale gelir: \( ( (3^{-1})^2 )^{-3} \)
• İlk olarak içteki üslü ifadeyi çözelim: \( (3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2} \)
• İfademiz şimdi: \( (3^{-2})^{-3} \)
• Tekrar üssün üssü kuralını uygulayalım: \( 3^{-2 \cdot (-3)} \)
• Üsleri çarptığımızda: \( 3^6 \) sonucunu elde ederiz.

✅ İşlemin sonucu \( 3^6 \) olarak bulunur.

Köklü bir ifadeyi üslü ifadeye çevirirken kullandığımız temel kuralı hatırlayalım. 💡

• Kural şuydu: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \)
• Burada \( a=7 \), kökün derecesi \( n=5 \) ve içerideki sayının üssü \( m=3 \).
• Bu kuralı uygulayalım: \( \sqrt[5]{7^3} = 7^{3/5} \)

✅ Yani, \( \sqrt[5]{7^3} \) ifadesinin üslü gösterimi \( 7^{3/5} \) şeklindedir.

Bu soruda üslü ifadeyi köklüye çevirecek ve çıkan köklü ifadeyi sadeleştireceğiz. 👇

• Üslü ifadeyi köklüye çevirme kuralı: \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \)
• Burada \( a=64 \), \( m=1 \) ve \( n=3 \).
• İfadeyi köklü hale getirelim: \( 64^{1/3} = \sqrt[3]{64^1} = \sqrt[3]{64} \)
• Şimdi \( \sqrt[3]{64} \) ifadesini sadeleştirmemiz gerekiyor. Hangi sayının küpü 64'tür?
• \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \) olduğundan, \( 4^3 = 64 \) diyebiliriz.
• Yani, \( \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4 \) olur.

✅ \( 64^{1/3} \) ifadesinin köklü gösterimi ve sadeleşmiş hali \( 4 \)tür.

Bu soruda farklı gösterimlerdeki üslü sayıları çarpmamız gerekiyor. Her iki ifadeyi de aynı gösterime getirelim. 👉

• İlk ifade zaten üslü biçimde: \( 5^{1/2} \)
• İkinci ifade köklü biçimde: \( \sqrt{5^3} \). Hatırlayalım, karekök demek kök derecesi 2 demektir. Yani \( \sqrt{5^3} = \sqrt[2]{5^3} \).
• Bu köklü ifadeyi üslüye çevirelim: \( \sqrt[2]{5^3} = 5^{3/2} \)
• Şimdi çarpma işlemini yapabiliriz: \( 5^{1/2} \cdot 5^{3/2} \)
• Tabanları aynı olan üslü sayıları çarparken üsler toplanır kuralını uygulayalım:
• \( 5^{1/2 + 3/2} \)
• Üsleri toplayalım: \( 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2 \)
• Sonuç: \( 5^2 \)
• \( 5^2 = 25 \)

✅ İşlemin sonucu \( 25 \) olarak bulunur.

Bu karmaşık ifadede, üssün üssü, köklü sayıyı üslüye çevirme ve negatif üs kurallarını adım adım uygulayacağız. 💪

• Pay kısmındaki ilk ifadeyi düzenleyelim: \( (3^2)^{-4} \)
• Üssün üssü kuralı: \( 3^{2 \cdot (-4)} = 3^{-8} \)
• Pay kısmındaki ikinci ifadeyi düzenleyelim: \( \sqrt[3]{3^9} \)
• Köklü ifadeyi üslüye çevirme kuralı: \( 3^{9/3} = 3^3 \)
• Pay kısmını çarpma işlemiyle birleştirelim: \( 3^{-8} \cdot 3^3 \)
• Tabanlar aynı, üsleri toplayalım: \( 3^{-8+3} = 3^{-5} \)
• Şimdi payda kısmını düzenleyelim: \( (1/3)^{-5} \)
• \( 1/3 \) ifadesini \( 3^{-1} \) olarak yazalım: \( (3^{-1})^{-5} \)
• Üssün üssü kuralı: \( 3^{(-1) \cdot (-5)} = 3^5 \)
• Son olarak tüm ifadeyi tekrar yazıp bölme işlemini yapalım:
  \[ \frac{3^{-5}}{3^5} \]
• Tabanları aynı olan üslü sayıları bölerken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır kuralını uygulayalım:
• \( 3^{-5 - 5} = 3^{-10} \)

✅ İfadenin değeri \( 3^{-10} \) olarak bulunur.

Bu yeni nesil soruda, kare alan formülü ile köklü sayıların üslü gösterimini birleştireceğiz. 💡

• Karenin alanı formülü: \( \text{Alan} = (\text{kenar uzunluğu})^2 \)
• Yeni karenin bir kenar uzunluğu \( \sqrt[3]{a^2} \) birim olarak verilmiş.
• Bu kenar uzunluğunu üslü ifadeye çevirelim: \( \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3} \)
• Şimdi bu yeni kenar uzunluğunu kullanarak karenin alanını bulalım:
• \( \text{Alan} = (a^{2/3})^2 \)
• Üslü bir sayının üssünü alma kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• \( \text{Alan} = a^{(2/3) \cdot 2} \)
• Üsleri çarpalım: \( (2/3) \cdot 2 = 4/3 \)
• Yani, yeni karenin alanı \( a^{4/3} \) birimkaredir.
• İstersek bu üslü ifadeyi tekrar köklü biçimde de gösterebiliriz: \( \sqrt[3]{a^4} \)

✅ Yeni karenin alanı \( a^{4/3} \) birimkare veya \( \sqrt[3]{a^4} \) birimkaredir.

Günlük hayatta bilimsel ölçümlerde çok küçük veya çok büyük sayıları ifade etmek için üslü sayılar sıklıkla kullanılır. Bu örnekte verilen ses şiddetini farklı bir biçimde göstermeye çalışalım. 👂

• Verilen ses şiddeti: \( 10^{-5} \) Watt/metrekare.
• Negatif üs kuralını hatırlayalım: \( a^{-n} = 1/a^n \)
• Bu kuralı \( 10^{-5} \) için uygulayalım: \( 10^{-5} = 1/10^5 \)
• Bu ifadeyi açarsak: \( 1/100000 \) olur.
• Bu, "bir metrekareye düşen ses gücünün yüz binde biri" anlamına gelir.
• Peki, bunu köklü bir gösterimle nasıl ifade edebiliriz?
• Mesela, \( 10^{-5} \) ifadesini \( (10^5)^{-1} \) veya \( (10^{-1})^5 \) olarak düşünebiliriz.
• Veya, \( 10^{-5} = 10^{-5/1} \) olduğu için, bunu direkt kök içine almak pek yaygın veya pratik değildir. Ancak teorik olarak \( \sqrt[1]{10^{-5}} \) şeklinde yazılabilir, ki bu da yine \( 10^{-5} \) ile aynıdır.
• Daha anlamlı bir köklü gösterim için, örneğin \( 10^{-5} = 10^{-1} \cdot 10^{-4} = (1/10) \cdot (1/10000) \) gibi parçalayabiliriz.
• Veya, \( 10^{-5} = 10^{-10/2} = \sqrt{10^{-10}} \) şeklinde yazılabilir.
• Bu da \( \sqrt{1/10^{10}} = 1/\sqrt{10^{10}} = 1/10^5 \) sonucunu verir.

✅ Yani, \( 10^{-5} \) Watt/metrekare ses şiddeti, \( 1/10^5 \) Watt/metrekare olarak veya \( \sqrt{10^{-10}} \) Watt/metrekare olarak da ifade edilebilir. Ancak genellikle bilimsel gösterimde \( 10^{-5} \) formu tercih edilir çünkü daha basittir. Bu örnek, farklı gösterimlerin aynı değeri ifade ettiğini anlamak için iyi bir uygulamadır.