💡 9. Sınıf Matematik: Üslü sayılarda üs alma işlemi Çözümlü Örnekler

Bu soruda, tabanımız 3 ve üssümüz 4'tür. Bu, 3 sayısını kendisiyle 4 defa çarpmamız gerektiği anlamına gelir.

• Adım 1: Tabanı ve üssü belirleyelim. Taban = 3, Üs = 4.
• Adım 2: Tabanı üs sayısı kadar kendisiyle çarpalım.

\( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:
\( 3 \times 3 = 9 \)
\( 9 \times 3 = 27 \)
\( 27 \times 3 = 81 \)

💡 Sonuç: \( 3^4 = 81 \)

Burada tabanımız negatif bir sayıdır. Taban negatif olduğunda, üssün tek mi çift mi olduğuna dikkat etmeliyiz.

• Adım 1: Tabanı ve üssü belirleyelim. Taban = -2, Üs = 3.
• Adım 2: Üs tek sayı olduğu için, sonuç negatif olacaktır.
• Adım 3: Tabanın mutlak değerini üs sayısı kadar kendisiyle çarpalım.

\( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) \)
Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:
\( (-2) \times (-2) = +4 \)
\( (+4) \times (-2) = -8 \)

💡 Sonuç: \( (-2)^3 = -8 \)

Bu tür durumlarda, üslü sayılarda üs alma kuralını kullanırız. Kural şöyledir: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

• Adım 1: Sorudaki ifadeyi kurala göre yeniden yazalım.

\( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} \)

• Adım 2: Üsleri çarpalım.

\( 2 \times 3 = 6 \)

• Adım 3: Elde ettiğimiz yeni üslü ifadeyi hesaplayalım.

\( 5^6 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
\( 5 \times 5 = 25 \)
\( 25 \times 5 = 125 \)
\( 125 \times 5 = 625 \)
\( 625 \times 5 = 3125 \)
\( 3125 \times 5 = 15625 \)

💡 Sonuç: \( (5^2)^3 = 15625 \)

Bölme işleminde tabanlar aynıysa, üsler çıkarılır. Kural şöyledir: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

• Adım 1: Tabanların aynı olduğunu kontrol edelim. Tabanımız 7.
• Adım 2: Üsleri kurala göre çıkaralım.

\( \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} \)

• Adım 3: Çıkarma işlemini yapalım.

\( 5 - 2 = 3 \)

💡 Sonuç: \( \frac{7^5}{7^2} = 7^3 \)

Bu problem, üslü sayılarla modellenen bir artış örneğidir.

• Adım 1: Başlangıçtaki bakteri sayısını belirleyelim. Başlangıç = 10.
• Adım 2: Her saat sayının 2 katına çıktığını ifade edelim. Bu, tabanı 2 olan bir üslü ifade ile gösterilir.
• Adım 3: Geçen saat sayısını üs olarak kullanalım. 5 saat sonra dediği için üs 5 olacaktır.

Her saat sonunda bakteri sayısı: \( 10 \times 2^n \), burada \( n \) geçen saat sayısıdır.

• Adım 4: 5 saat sonraki bakteri sayısını hesaplayalım.

\( 10 \times 2^5 \)

Şimdi \( 2^5 \) işlemini hesaplayalım:
\( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)

• Adım 5: Sonucu başlangıç sayısı ile çarpalım.

\( 10 \times 32 = 320 \)

💡 Sonuç: 5 saat sonra 320 adet bakteri olur.

Bu soruda ondalık sayının karesini alacağız. Ondalık sayılarla işlem yaparken dikkatli olmalıyız.

• Adım 1: Tabanı ve üssü belirleyelim. Taban = 0.5, Üs = 2.
• Adım 2: Tabanı üs sayısı kadar kendisiyle çarpalım.

\( (0.5)^2 = 0.5 \times 0.5 \)

Şimdi ondalık sayı çarpma işlemini yapalım:
\( 0.5 \times 0.5 = 0.25 \)
(Virgülden sonraki basamak sayılarını toplarız: 1 + 1 = 2 basamak. Sonucu 2 basamaklı olacak şekilde yazarız.)

💡 Sonuç: \( (0.5)^2 = 0.25 \)

Çarpma işleminde tabanlar aynı olduğunda, üsler toplanır. Kural şöyledir: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

• Adım 1: Tabanın aynı olduğunu kontrol edelim. Tabanımız \( x \).
• Adım 2: Üsleri kurala göre toplayalım.

\( x^3 \times x^5 = x^{3+5} \)

• Adım 3: Toplama işlemini yapalım.

\( 3 + 5 = 8 \)

💡 Sonuç: \( x^3 \times x^5 = x^8 \)

Bu problem, üslü sayılarla azalan miktarı modellemeye örnektir.

• Adım 1: Başlangıçtaki dosya boyutunu belirleyelim. Başlangıç boyutu = 2 GB.
• Adım 2: Her sıkıştırmada boyutun yarısı kadar kaldığını ifade edelim. Bu, tabanı \( \frac{1}{2} \) olan bir üslü ifade ile gösterilir.
• Adım 3: Yapılan sıkıştırma işleminin sayısını üs olarak kullanalım. 3 sıkıştırma işlemi dediği için üs 3 olacaktır.

Her sıkıştırma sonunda dosya boyutu: \( 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \), burada \( n \) sıkıştırma sayısıdır.

• Adım 4: 3 sıkıştırma işlemi sonundaki dosya boyutunu hesaplayalım.

\( 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)

Şimdi \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) işlemini hesaplayalım:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \)

• Adım 5: Sonucu başlangıç boyutu ile çarpalım.

\( 2 \times \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

💡 Sonuç: 3 sıkıştırma işlemi sonunda dosyanın boyutu \( \frac{1}{4} \) GB (veya 0.25 GB) olur.