💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Toplama Ve Çıkarma Çözümlü Örnekler

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için tabanların ve üslerin aynı olması gerekir. Bu durumda katsayılar toplanır veya çıkarılır. 😊

• 👉 İşlemde her iki terimin de tabanı \( 5 \) ve üssü \( 2 \) olduğu için, katsayıları toplayabiliriz.
• \( 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^2 = (3+4) \cdot 5^2 \)
• \( = 7 \cdot 5^2 \)
• \( = 7 \cdot 25 \)
• \( = 175 \)

✅ Cevap: \( 175 \)

Bu örnekte de tüm üslü ifadelerin tabanları ve üsleri aynıdır. 💡 Unutmayın, bir üslü ifadenin önünde katsayı yoksa, katsayısı \( 1 \) olarak kabul edilir.

• 👉 Tüm terimlerde taban \( 7 \) ve üs \( 3 \) olduğu için, katsayılar üzerinden işlem yapabiliriz.
• \( 8 \cdot 7^3 - 2 \cdot 7^3 - 1 \cdot 7^3 \)
• \( = (8 - 2 - 1) \cdot 7^3 \)
• \( = 5 \cdot 7^3 \)
• \( = 5 \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \)
• \( = 5 \cdot 343 \)
• \( = 1715 \)

✅ Cevap: \( 1715 \)

Bu soruda başlangıçta tabanlar farklı gibi görünüyor, ancak ikinci terimdeki \( 4 \) tabanını \( 2 \) tabanına dönüştürebiliriz. 📌 Hatırlayalım: \( 4 = 2^2 \).

• 👉 İkinci terimi düzenleyelim: \( 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot (2^2)^2 \)
• 👉 Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). Yani \( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \).
• Şimdi işlemimiz şu hale geldi: \( 5 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^4 \)
• Tabanlar ve üsler aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz: \( (5 + 3) \cdot 2^4 \)
• \( = 8 \cdot 2^4 \)
• \( = 8 \cdot 16 \)
• \( = 128 \)

✅ Cevap: \( 128 \)

Bu tür sorularda üsleri eşitlemek için üslü sayı özelliklerini kullanırız. 💡 Hatırlayalım: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \).

• 👉 İlk terimi düzenleyelim: \( 6 \cdot 3^{x+1} = 6 \cdot 3^x \cdot 3^1 \)
• \( = 6 \cdot 3 \cdot 3^x \)
• \( = 18 \cdot 3^x \)
• Şimdi işlemimiz şu hale geldi: \( 18 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x \)
• Tabanlar ve üsler aynı olduğu için katsayıları çıkarabiliriz: \( (18 - 2) \cdot 3^x \)
• \( = 16 \cdot 3^x \)

✅ Cevap: \( 16 \cdot 3^x \)

Negatif üsler de olsa, üslü sayılarda toplama ve çıkarma kuralı değişmez: tabanlar ve üsler aynıysa katsayılar toplanır/çıkarılır.

• 👉 Her iki terimin de tabanı \( 10 \) ve üssü \( -2 \) olduğu için, katsayıları toplayabiliriz.
• \( (9 + 4) \cdot 10^{-2} \)
• \( = 13 \cdot 10^{-2} \)
• 👉 İsteğe bağlı olarak ondalık sayıya çevirebiliriz: \( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \)
• \( = 13 \cdot 0.01 \)
• \( = 0.13 \)

✅ Cevap: \( 13 \cdot 10^{-2} \) veya \( 0.13 \)

Dikdörtgenin çevresi, kısa kenar ile uzun kenarın toplamının 2 katıdır. Çevre = \( 2 \cdot (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \).

• 👉 Kısa kenar: \( 3^a \)
• 👉 Uzun kenar: \( 2 \cdot 3^a \)
• Önce kısa ve uzun kenarı toplayalım: \( 3^a + 2 \cdot 3^a \)
• \( 3^a \) teriminin katsayısı \( 1 \) olduğu için: \( (1 + 2) \cdot 3^a = 3 \cdot 3^a \)
• Üslü sayıların çarpım kuralı gereği: \( 3^1 \cdot 3^a = 3^{1+a} \)
• Şimdi çevreyi bulmak için bu ifadeyi \( 2 \) ile çarpalım: \( 2 \cdot 3^{1+a} \)

✅ Cevap: Dikdörtgenin çevresi \( 2 \cdot 3^{1+a} \) birimdir.

Bu problemde depodaki elma kolisi sayısındaki değişimleri üslü ifadelerle takip edeceğiz.

• 👉 Başlangıçtaki koli sayısı: \( 5 \cdot 2^k \)
• 👉 Satılan koli sayısı: \( 3 \cdot 2^k \)
• 👉 Gelen koli sayısı: \( 2^{k+1} \)
• Önce satılan kolileri çıkaralım: \( 5 \cdot 2^k - 3 \cdot 2^k = (5-3) \cdot 2^k = 2 \cdot 2^k \)
• Çarpma kuralından: \( 2^1 \cdot 2^k = 2^{1+k} \)
• Şimdi gelen kolileri ekleyelim: \( 2^{1+k} + 2^{k+1} \)
• Gördüğümüz gibi, iki terim de aynıdır! \( 2^{1+k} + 2^{1+k} \)
• Katsayıları toplayalım: \( (1+1) \cdot 2^{1+k} = 2 \cdot 2^{1+k} \)
• Yine çarpma kuralından: \( 2^1 \cdot 2^{1+k} = 2^{1+(1+k)} = 2^{2+k} \)

✅ Cevap: Son durumda depoda \( 2^{2+k} \) adet elma kolisi kalmıştır.

Bu problemde farklı üslü ifadeler var. Hepsini aynı tabanda ve aynı üste (veya ortak paranteze alınabilecek şekilde) düzenlememiz gerekiyor. En küçük üs \( 2^3 \) olduğu için diğerlerini de \( 2^3 \) cinsinden yazmaya çalışabiliriz veya hepsini aynı tabanda en küçük üsse göre düzenleyebiliriz. Genelde en küçük üslü ifadeye benzetmek kolaylık sağlar. Veya hepsini \( 2^5 \) veya \( 2^6 \) gibi bir üsse dönüştürebiliriz. Hepsini aynı tabanda yazalım.

• 👉 İlk terim: \( 4 \cdot 2^5 \). \( 4 = 2^2 \) olduğu için: \( 2^2 \cdot 2^5 = 2^{2+5} = 2^7 \)
• 👉 İkinci terim: \( 3 \cdot 2^6 \)
• 👉 Üçüncü terim: \( 16 \cdot 2^3 \). \( 16 = 2^4 \) olduğu için: \( 2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 \)
• Şimdi işlemimiz şu hale geldi: \( 2^7 + 3 \cdot 2^6 - 2^7 \)
• Gördüğümüz gibi, \( 2^7 - 2^7 \) birbirini götürür.
• Geriye sadece \( 3 \cdot 2^6 \) kalır.
• Hesaplarsak: \( 3 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 3 \cdot 64 \)
• \( = 192 \)

✅ Cevap: \( 3 \cdot 2^6 \) veya \( 192 \)