💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Çözümlü Örnekler

Adım adım çözümümüzü gerçekleştirelim:

• 1. Adım: Negatif üs kuralını uygulayalım. \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) kuralına göre;
  \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) olur.
• 2. Adım: Sıfırıncı üs kuralını uygulayalım. Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti \( 1 \) e eşittir.
  \( 5^0 = 1 \) olur.
• 3. Adım: Negatif sayıların çift kuvveti kuralını uygulayalım. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
  \( (-1)^{100} = 1 \) olur.
• 4. Adım: Bulduğumuz değerleri yerine yazarak işlemi tamamlayalım:
  \( A = \frac{1}{8} + 1 - 1 \)
  \( A = \frac{1}{8} \) olarak bulunur.

✅ Doğru Cevap: \( \frac{1}{8} \)

Bu tarz sorularda tüm tabanları ortak bir tabana (en küçük asal tabana) çevirmek işimizi kolaylaştırır:

• 1. Adım: Tabanları \( 3 \) tabanında yazalım.
  \( 27 = 3^3 \) olduğundan, \( 27^4 = (3^3)^4 = 3^{3 \times 4} = 3^{12} \) olur.
  \( 9 = 3^2 \) olduğundan, \( 9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 \) olur.
• 2. Adım: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı ise üsler toplanır:
  \( 3^{12} \times 3^6 = 3^{12 + 6} = 3^{18} \)
• 3. Adım: Bölme işlemini gerçekleştirelim. Tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
  \( \frac{3^{18}}{3^{15}} = 3^{18 - 15} = 3^3 \)
• 4. Adım: Sonucu hesaplayalım:
  \( 3^3 = 27 \) olarak bulunur.

✅ Doğru Cevap: \( 27 \)

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma yaparken ortak çarpan parantezini kullanırız:

• 1. Adım: Pay kısmındaki ifadeleri parçalayarak yazalım:
  \( 2^{x+2} = 2^x \times 2^2 = 4 \times 2^x \)
  \( 2^{x+1} = 2^x \times 2^1 = 2 \times 2^x \)
• 2. Adım: Payı \( 2^x \) parantezine alalım:
  \( 2^{x+2} + 2^{x+1} = 2^x \times (4 + 2) = 6 \times 2^x \)
• 3. Adım: Paydadaki ifadeyi de parçalayalım:
  \( 2^{x-1} = 2^x \times 2^{-1} = \frac{2^x}{2} \)
• 4. Adım: İfadeleri oranlayalım:
  \( \frac{6 \times 2^x}{\frac{2^x}{2}} \)
• 5. Adım: Birinci ifadeyi aynen yazıp, ikinciyi ters çevirip çarpalım. Bu sırada \( 2^x \) terimleri sadeleşir:
  \( 6 \times 2^x \times \frac{2}{2^x} = 6 \times 2 = 12 \)

✅ Doğru Cevap: \( 12 \)

Üslü denklemlerde tabanlar eşitlendiğinde üsler de birbirine eşit olur:

• 1. Adım: Sağ taraftaki \( 125 \) sayısını \( 5 \) tabanında yazalım.
  \( 125 = 5^3 \) olduğundan;
  \( 125^{x-3} = (5^3)^{x-3} \) olur.
• 2. Adım: Üssün üssü kuralını uygulayarak üsleri dağıtalım:
  \( (5^3)^{x-3} = 5^{3 \times (x-3)} = 5^{3x-9} \)
• 3. Adım: Tabanlar eşit olduğuna göre üsleri birbirine eşitleyelim:
  \( 2x - 4 = 3x - 9 \)
• 4. Adım: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayarak denklemi çözelim:
  \( 9 - 4 = 3x - 2x \)
  \( 5 = x \)

✅ Doğru Cevap: \( x = 5 \)

Günlük hayattaki artış ve büyüme sorularını üslü sayılarla modelleyebiliriz:

• 1. Adım: Toplam sürenin içinde kaç kez çoğalma gerçekleşeceğini bulalım.
  Her 3 saatte bir çoğalma oluyorsa, 24 saat içinde:
  \( \frac{24}{3} = 8 \) kez iki katına çıkma işlemi gerçekleşir.
• 2. Adım: Her iki katına çıkma işlemi, mevcut bakteri sayısını \( 2 \) ile çarpmak demektir. 8 kez iki katına çıkıyorsa, başlangıçtaki sayı \( 2^8 \) ile çarpılır.
• 3. Adım: Başlangıçtaki bakteri sayısı \( 2^5 \) olduğuna göre, son durumdaki bakteri sayısını hesaplayalım:
  Son Durum = Başlangıç \( \times 2^8 \)
  Son Durum = \( 2^5 \times 2^8 \)
  Son Durum = \( 2^{5+8} = 2^{13} \)

✅ Doğru Cevap: \( 2^{13} \) adet bakteri olur.

Adım adım katlama işleminin alan üzerindeki etkisini inceleyelim:

• 1. Adım: Başlangıçtaki karenin alanını bulalım.
  Bir kenarı \( a \) olan karenin alanı \( a^2 \) formülüyle bulunur.
  Kenar = \( 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} \) mm.
  Alan = \( (2^{12})^2 = 2^{24} \) \(\text{mm}^2\).
• 2. Adım: Bir kağıt her ikiye katlandığında alanı yarıya (\( \frac{1}{2} \) oranına) düşer.
• 3. Adım: Kağıt ardışık olarak 4 kez katlandığına göre, alanı 4 kez yarıya düşecektir. Yani alan \( 2^4 \) sayısına bölünecektir:
  Son Alan = \( \frac{\text{İlk Alan}}{2^4} \)
• 4. Adım: İşlemi yapalım:
  Son Alan = \( \frac{2^{24}}{2^4} = 2^{24-4} = 2^{20} \) \(\text{mm}^2\) olur.

✅ Doğru Cevap: \( 2^{20} \) \(\text{mm}^2\)

Birimleri birbirine çevirerek bölme işlemi yapmalıyız:

• 1. Adım: Toplam boş alanı KB cinsine çevirelim.
  Boş Alan = \( 16^5 \) MB
  \( 16 = 2^4 \) olduğundan, \( 16^5 = (2^4)^5 = 2^{20} \) MB olur.
  Bunu KB'ye çevirmek için \( 2^{10} \) ile çarparız:
  Boş Alan = \( 2^{20} \times 2^{10} = 2^{30} \) KB.
• 2. Adım: Bir fotoğrafın boyutunu \( 2 \) tabanında yazalım.
  Fotoğraf Boyutu = \( 4^4 \) KB
  \( 4 = 2^2 \) olduğundan, \( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \) KB olur.
• 3. Adım: Toplam boş alanı bir fotoğrafın boyutuna bölerek kaç fotoğraf sığacağını bulalım:
  Fotoğraf Sayısı = \( \frac{2^{30}}{2^8} = 2^{30-8} = 2^{22} \)

✅ Doğru Cevap: \( 2^{22} \) adet fotoğraf yüklenebilir.

Bu tarz sorularda tabanları alt alta gelecek şekilde düzenleyerek pratik bir kural uygulayabiliriz:

• 1. Adım: İkinci denklemdeki \( 32 \) sayısını \( 2 \) tabanında yazalım:
  \( 3^b = 2^5 \)
• 2. Adım: Denklem sistemini aynı tabanlar alt alta gelecek şekilde hizalayalım:
  \( 2^a = 3^1 \)
  \( 2^5 = 3^b \)
• 3. Adım: Tabanları aynı olan üslü ifadelerin üslerinin oranı birbirine eşittir kuralını uygulayalım:
  \( \frac{a}{5} = \frac{1}{b} \)
• 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak sonucu bulalım:
  \( a \times b = 5 \times 1 \)
  \( a \times b = 5 \)

✅ Doğru Cevap: \( 5 \)