💡 9. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar Klasik Sorular Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için üslü sayının tanımını hatırlayalım:

• Üslü Sayı Tanımı: \( a^n \) ifadesinde 'a' taban, 'n' ise üs olarak adlandırılır. Tabanın kendisi, üs kadar defa kendisiyle çarpılması anlamına gelir.
• Uygulama: \( 3^4 \) ifadesinde taban 3, üs ise 4'tür.
• Hesaplama: Bu demektir ki, 3 sayısını kendisiyle 4 defa çarpacağız:

\[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \]

• İlk çarpım: \( 3 \times 3 = 9 \)
• İkinci çarpım: \( 9 \times 3 = 27 \)
• Son çarpım: \( 27 \times 3 = 81 \)

Sonuç: \( 3^4 = 81 \) ✅

Negatif üslü sayılar, sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssü olarak ifade edilir. İşte adımlar:

• Negatif Üs Kuralı: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• Uygulama: Soruda \( 5^{-2} \) ifadesi var. Burada taban 5, üs -2'dir.
• Kuralı Uygulama:

\[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} \]

• Şimdi paydadaki \( 5^2 \) işlemini yapalım: \( 5^2 = 5 \times 5 = 25 \)
• Bu değeri yerine koyarsak:

\[ \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

Sonuç: \( 5^{-2} = \frac{1}{25} \) 👍

Aynı tabana sahip üslü sayıların çarpımında üsler toplanır. İşte kural ve çözüm:

• Çarpma Kuralı: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• Uygulama: Soruda tabanlar aynı (2) ve üsler farklı (3 ve 4).
• Kuralı Uygulama:

\[ (2^3) \times (2^4) = 2^{3+4} \]

• Üsleri toplarsak: \( 3 + 4 = 7 \)
• Sonuç olarak: \( 2^7 \)

Sonuç: \( (2^3) \times (2^4) = 2^7 \) 💡

Aynı tabana sahip üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır. Bu kuralı uygulayalım:

• Bölme Kuralı: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• Uygulama: Soruda tabanlar aynı (7) ve üsler farklı (5 ve 2).
• Kuralı Uygulama:

\[ \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} \]

• Üsleri çıkarırsak: \( 5 - 2 = 3 \)
• Sonuç olarak: \( 7^3 \)

Sonuç: \( \frac{7^5}{7^2} = 7^3 \) ✨

Bir üslü sayının üssü alındığında, üsler birbiriyle çarpılır. İşte kural:

• Üssün Üssü Kuralı: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• Uygulama: Soruda \( (4^2)^3 \) ifadesi var. Taban 4, ilk üs 2 ve ikinci üs 3.
• Kuralı Uygulama:

\[ (4^2)^3 = 4^{2 \times 3} \]

• Üsleri çarparsak: \( 2 \times 3 = 6 \)
• Sonuç olarak: \( 4^6 \)

Sonuç: \( (4^2)^3 = 4^6 \) 🎯

Aynı üsse sahip farklı tabanlı üslü sayılar çarpılırken, tabanlar çarpılır ve sonuç ortak üssü alır. Kural şöyle:

• Aynı Üs Kuralı (Çarpma): \( a^n \times b^n = (a \times b)^n \)
• Uygulama: Soruda üsler aynı (3) ve tabanlar farklı (2 ve 5).
• Kuralı Uygulama:

\[ 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 \]

• Tabanları çarparsak: \( 2 \times 5 = 10 \)
• Sonuç olarak: \( 10^3 \)

Sonuç: \( 2^3 \times 5^3 = 10^3 \) 🌟

Bu tür denklemleri çözmek için tabanları eşitlememiz gerekir. İşte adımlar:

• Adım 1: Tabanları Eşitleme
• Denklemimiz: \( 3^{x+1} = 27 \)
• Sağ taraftaki 27 sayısını 3'ün kuvveti olarak yazabilir miyiz? Evet, \( 27 = 3^3 \).
• Denklem şimdi şu hale gelir: \( 3^{x+1} = 3^3 \)
• Adım 2: Üsleri Eşitleme
• Tabanlar eşitlendiğinde (her ikisi de 3), üsler de birbirine eşit olmalıdır.
• Yani: \( x+1 = 3 \)
• Adım 3: x Değerini Bulma
• Bu basit bir denklem. x'i yalnız bırakmak için her iki taraftan 1 çıkarırız.
• \( x = 3 - 1 \)
• \( x = 2 \)

Sonuç: Denklemi sağlayan x değeri 2'dir. ✅

Bu problemi üslü sayılarla kolayca modelleyebiliriz:

• Başlangıç: 1 bakteri.
• 1. Saat Sonunda: Başlangıçtaki bakteri sayısı kadar çoğalır. Yani 1 bakteri, 1 tane daha üretir. Toplam bakteri sayısı \( 1 + 1 = 2 \) olur. Bunu \( 1 \times 2^1 \) veya \( 2^1 \) olarak düşünebiliriz.
• 2. Saat Sonunda: 1. saat sonunda oluşan bakteri sayısı kadar çoğalır. Yani 2 bakteri, 2 tane daha üretir. Toplam bakteri sayısı \( 2 + 2 = 4 \) olur.

Üslü sayılarla gösterimi şu şekildedir:

• Başlangıç: \( 1 = 2^0 \)
• 1. Saat Sonunda: \( 1 \times 2 = 2 = 2^1 \)
• 2. Saat Sonunda: \( 2 \times 2 = 4 = 2^2 \)

Genel kural: n. saat sonunda \( 2^n \) bakteri olur.

Sonuç: 2 saat sonunda toplam 4 bakteri olur. 🦠