🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ve Köklü Sayılarda İşlemler Çözümlü Örnekler
Üslü ve Köklü Sayılarda İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 - 2^3 \)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 - 2^3 \)
Çözüm:
Bu soruda, aynı tabana ve aynı üsse sahip üslü ifadelerin toplama ve çıkarma işlemlerini uygulayacağız. 💡
Öncelikle \( 2^3 \) ifadesinin değerini hesaplayalım:
Bu soruda, aynı tabana ve aynı üsse sahip üslü ifadelerin toplama ve çıkarma işlemlerini uygulayacağız. 💡
Öncelikle \( 2^3 \) ifadesinin değerini hesaplayalım:
- \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
- \( 3 \cdot 8 + 5 \cdot 8 - 8 \)
- \( 8 \cdot (3 + 5 - 1) \)
- \( 8 \cdot (8 - 1) \)
- \( 8 \cdot 7 \)
- \( 56 \)
✅ Sonuç: İşlemin sonucu 56'dır.
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu üslü biçimde yazınız:
\[ \frac{(2^4)^3 \cdot 4^2}{8^3} \]
Aşağıdaki işlemin sonucunu üslü biçimde yazınız:
\[ \frac{(2^4)^3 \cdot 4^2}{8^3} \]
Çözüm:
Bu soruda, üslü sayılarda çarpma, bölme ve üssün üssü özelliklerini kullanacağız. 📌 Tüm sayıları 2'nin kuvveti olarak yazmak işimizi kolaylaştıracaktır.
Bu soruda, üslü sayılarda çarpma, bölme ve üssün üssü özelliklerini kullanacağız. 📌 Tüm sayıları 2'nin kuvveti olarak yazmak işimizi kolaylaştıracaktır.
- Öncelikle, \( 4 \) ve \( 8 \) sayılarını \( 2 \) tabanında yazalım:
\( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \) - Şimdi bu değerleri ana ifadede yerine koyalım:
\[ \frac{(2^4)^3 \cdot (2^2)^2}{(2^3)^3} \] - Üssün üssü kuralını uygulayalım (\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)):
\( (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \)
\( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \)
\( (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \) - İfadeyi yeniden düzenleyelim:
\[ \frac{2^{12} \cdot 2^4}{2^9} \] - Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım (tabanlar aynıysa üsler toplanır):
\( 2^{12} \cdot 2^4 = 2^{12+4} = 2^{16} \) - Şimdi bölme işlemini yapalım (tabanlar aynıysa üsler çıkarılır):
\[ \frac{2^{16}}{2^9} = 2^{16-9} = 2^7 \]
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 2^7 \) olarak bulunur.
Örnek 3:
Aşağıdaki köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız:
\( \sqrt{72} \)
Aşağıdaki köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız:
\( \sqrt{72} \)
Çözüm:
Bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmak için, kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını bulmamız gerekir. 👉
Bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmak için, kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını bulmamız gerekir. 👉
- \( 72 \) sayısını tam kare çarpanları cinsinden yazmaya çalışalım. \( 72 \) sayısının çarpanları arasında en büyük tam kare sayı \( 36 \) 'dır.
\( 72 = 36 \times 2 \) - Şimdi bu çarpımı kök içine yazalım:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \) - Köklü sayılarda çarpma özelliğini kullanalım (\( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \)):
\( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \) - \( \sqrt{36} \) bir tam kare olduğundan, kök dışına \( 6 \) olarak çıkar:
\( \sqrt{36} = 6 \) - Sonuç olarak ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmış oluruz:
\( 6\sqrt{2} \)
✅ Sonuç: \( \sqrt{72} \) ifadesi \( 6\sqrt{2} \) şeklinde yazılır.
Örnek 4:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{48} \)
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{48} \)
Çözüm:
Bu soruda, köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için öncelikle tüm kök içlerini aynı hale getirmemiz gerekiyor. 💡 Bunun için her bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
Bu soruda, köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için öncelikle tüm kök içlerini aynı hale getirmemiz gerekiyor. 💡 Bunun için her bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
- \( 3\sqrt{12} \) için:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
Dolayısıyla, \( 3\sqrt{12} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) - \( 2\sqrt{27} \) için:
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
Dolayısıyla, \( 2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) - \( \sqrt{48} \) için:
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) - Şimdi bu düzenlenmiş ifadeleri ana işlemde yerine yazalım:
\( 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \) - Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
\( (6 + 6 - 4)\sqrt{3} \)
\( (12 - 4)\sqrt{3} \)
\( 8\sqrt{3} \)
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 8\sqrt{3} \)'tür.
Örnek 5:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \]
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \]
Çözüm:
Bu soruda köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini uygulayacağız. 👉
Bu soruda köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini uygulayacağız. 👉
- Öncelikle pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Köklü sayılarda çarpma kuralı \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) şeklindedir:
\( \sqrt{50} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{50 \times 18} = \sqrt{900} \) - Şimdi \( \sqrt{900} \) ifadesinin değerini bulalım. \( 900 \), \( 30 \)'un karesidir.
\( \sqrt{900} = 30 \) - İfade şimdi şu hale geldi:
\[ \frac{30}{\sqrt{2}} \] - Paydada köklü ifade olmasını istemediğimiz için paydayı rasyonel yapalım. Bunun için hem payı hem de paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarpalım:
\[ \frac{30}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{30\sqrt{2}}{2} \] - Son olarak sadeleştirme işlemini yapalım:
\( \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \)
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 15\sqrt{2} \)'dir.
Örnek 6:
Bir bakteri türü, her 20 dakikada bir ikiye bölünerek çoğalmaktadır. Başlangıçta 50 bakteri bulunan bir deney tüpünde 2 saat sonunda kaç bakteri olur?
(İpuçları: 1 saat = 60 dakika)
Bir bakteri türü, her 20 dakikada bir ikiye bölünerek çoğalmaktadır. Başlangıçta 50 bakteri bulunan bir deney tüpünde 2 saat sonunda kaç bakteri olur?
(İpuçları: 1 saat = 60 dakika)
Çözüm:
Bu bir üslü sayı problemidir. Bakteri sayısı her 20 dakikada bir ikiye katlandığı için üslü ifade kullanarak çoğalma miktarını hesaplayabiliriz. 🔬
Bu bir üslü sayı problemidir. Bakteri sayısı her 20 dakikada bir ikiye katlandığı için üslü ifade kullanarak çoğalma miktarını hesaplayabiliriz. 🔬
- Öncelikle, toplam sürenin kaç tane 20 dakikalık periyot içerdiğini bulalım:
Toplam süre = 2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika. - Çoğalma periyot sayısı = \( \frac{\text{Toplam Süre}}{\text{Çoğalma Süresi}} = \frac{120}{20} = 6 \) periyot.
- Her periyotta bakteri sayısı 2 katına çıktığı için, 6 periyot sonunda bakteri sayısı \( 2^6 \) katına çıkacaktır.
\( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \) - Başlangıçta 50 bakteri olduğu için, 2 saat sonunda toplam bakteri sayısı:
\( \text{Başlangıç Bakteri Sayısı} \times \text{Çoğalma Katsayısı} = 50 \times 64 \) - Çarpma işlemini yapalım:
\( 50 \times 64 = 3200 \)
✅ Sonuç: 2 saat sonunda deney tüpünde 3200 bakteri olur.
Örnek 7:
Kenar uzunlukları \( 4\sqrt{3} \) cm ve \( 2\sqrt{12} \) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir masanın alanı kaç \( \text{cm}^2 \)dir?
Kenar uzunlukları \( 4\sqrt{3} \) cm ve \( 2\sqrt{12} \) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir masanın alanı kaç \( \text{cm}^2 \)dir?
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. 📐
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. 📐
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları:
Kısa kenar = \( 4\sqrt{3} \) cm
Uzun kenar = \( 2\sqrt{12} \) cm - Öncelikle uzun kenarı daha sade bir köklü ifade şeklinde yazalım. \( \sqrt{12} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazabiliriz:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) - Şimdi uzun kenar uzunluğunu yeniden hesaplayalım:
Uzun kenar = \( 2\sqrt{12} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \) cm - Görüyoruz ki, aslında bu bir kareymiş! (Kenar uzunlukları eşit çıktı.) Alanı hesaplamak için iki kenarı çarpalım:
Alan = Kısa kenar \( \times \) Uzun kenar
Alan = \( 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} \) - Köklü ifadelerde çarpma işlemini yapalım:
Alan = \( (4 \times 4) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \)
Alan = \( 16 \times \sqrt{3 \times 3} \)
Alan = \( 16 \times \sqrt{9} \)
Alan = \( 16 \times 3 \) - Son çarpma işlemini yapalım:
Alan = \( 48 \)
✅ Sonuç: Masanın alanı \( 48 \text{ cm}^2 \)'dir.
Örnek 8:
Bir emlakçı, her yıl değeri %10 artan bir arsanın 3 yıl sonraki değerini hesaplamak istiyor. Bu durumda üslü sayılar bilgisini nasıl kullanırız?
Bir emlakçı, her yıl değeri %10 artan bir arsanın 3 yıl sonraki değerini hesaplamak istiyor. Bu durumda üslü sayılar bilgisini nasıl kullanırız?
Çözüm:
Bu senaryo, bileşik faiz veya bileşik büyüme prensibiyle çalıştığı için üslü sayılar günlük hayatta karşımıza çıkar. 📈 Arsanın değeri her yıl bir önceki yılın değerine göre arttığı için, artış katlanarak devam eder.
Bu senaryo, bileşik faiz veya bileşik büyüme prensibiyle çalıştığı için üslü sayılar günlük hayatta karşımıza çıkar. 📈 Arsanın değeri her yıl bir önceki yılın değerine göre arttığı için, artış katlanarak devam eder.
- Başlangıç Değerini Belirleme: Diyelim ki arsanın başlangıçtaki değeri \( A \) olsun.
- Yıllık Artış Oranını Anlama: Değer her yıl %10 artıyorsa, yeni değeri eski değerin \( (1 + 0.10) = 1.10 \) katı olur. Bu, artış çarpanımızdır.
- Üslü İfade Kullanımı:
- 1 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10)^1 \)
- 2 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10) \times (1.10) = A \times (1.10)^2 \)
- 3 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10) \times (1.10) \times (1.10) = A \times (1.10)^3 \)
- Genel Formül: \( n \) yıl sonraki değer için genel formül \( A \times (1 + \text{artış oranı})^n \) şeklinde üslü bir ifadeyle gösterilir.
Bu örnekte, emlakçı 3 yıl sonraki değeri hesaplamak için arsanın başlangıç değerini \( (1.10)^3 \) ile çarpar. \( (1.10)^3 = 1.10 \times 1.10 \times 1.10 = 1.331 \) olduğundan, arsanın değeri 3 yıl sonra başlangıç değerinin 1.331 katına (yani %33.1 artmış) ulaşmış olacaktır. Bu tür hesaplamalar, yatırım getirilerini veya enflasyonun etkisini anlamak için oldukça önemlidir. 💡
1
Çözümlü Örnek
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 - 2^3 \)
\( 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 - 2^3 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, aynı tabana ve aynı üsse sahip üslü ifadelerin toplama ve çıkarma işlemlerini uygulayacağız. 💡
Öncelikle \( 2^3 \) ifadesinin değerini hesaplayalım:
Öncelikle \( 2^3 \) ifadesinin değerini hesaplayalım:
- \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
- \( 3 \cdot 8 + 5 \cdot 8 - 8 \)
- \( 8 \cdot (3 + 5 - 1) \)
- \( 8 \cdot (8 - 1) \)
- \( 8 \cdot 7 \)
- \( 56 \)
✅ Sonuç: İşlemin sonucu 56'dır.
2
Çözümlü Örnek
Aşağıdaki işlemin sonucunu üslü biçimde yazınız:
\[ \frac{(2^4)^3 \cdot 4^2}{8^3} \]
\[ \frac{(2^4)^3 \cdot 4^2}{8^3} \]
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, üslü sayılarda çarpma, bölme ve üssün üssü özelliklerini kullanacağız. 📌 Tüm sayıları 2'nin kuvveti olarak yazmak işimizi kolaylaştıracaktır.
- Öncelikle, \( 4 \) ve \( 8 \) sayılarını \( 2 \) tabanında yazalım:
\( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \) - Şimdi bu değerleri ana ifadede yerine koyalım:
\[ \frac{(2^4)^3 \cdot (2^2)^2}{(2^3)^3} \] - Üssün üssü kuralını uygulayalım (\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)):
\( (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \)
\( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \)
\( (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \) - İfadeyi yeniden düzenleyelim:
\[ \frac{2^{12} \cdot 2^4}{2^9} \] - Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım (tabanlar aynıysa üsler toplanır):
\( 2^{12} \cdot 2^4 = 2^{12+4} = 2^{16} \) - Şimdi bölme işlemini yapalım (tabanlar aynıysa üsler çıkarılır):
\[ \frac{2^{16}}{2^9} = 2^{16-9} = 2^7 \]
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 2^7 \) olarak bulunur.
3
Çözümlü Örnek
Aşağıdaki köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazınız:
\( \sqrt{72} \)
\( \sqrt{72} \)
Çözüm ve Açıklama
Bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmak için, kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını bulmamız gerekir. 👉
- \( 72 \) sayısını tam kare çarpanları cinsinden yazmaya çalışalım. \( 72 \) sayısının çarpanları arasında en büyük tam kare sayı \( 36 \) 'dır.
\( 72 = 36 \times 2 \) - Şimdi bu çarpımı kök içine yazalım:
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \) - Köklü sayılarda çarpma özelliğini kullanalım (\( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \)):
\( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \) - \( \sqrt{36} \) bir tam kare olduğundan, kök dışına \( 6 \) olarak çıkar:
\( \sqrt{36} = 6 \) - Sonuç olarak ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmış oluruz:
\( 6\sqrt{2} \)
✅ Sonuç: \( \sqrt{72} \) ifadesi \( 6\sqrt{2} \) şeklinde yazılır.
4
Çözümlü Örnek
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{48} \)
\( 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{48} \)
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için öncelikle tüm kök içlerini aynı hale getirmemiz gerekiyor. 💡 Bunun için her bir köklü ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
- \( 3\sqrt{12} \) için:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
Dolayısıyla, \( 3\sqrt{12} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) - \( 2\sqrt{27} \) için:
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
Dolayısıyla, \( 2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) - \( \sqrt{48} \) için:
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) - Şimdi bu düzenlenmiş ifadeleri ana işlemde yerine yazalım:
\( 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \) - Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
\( (6 + 6 - 4)\sqrt{3} \)
\( (12 - 4)\sqrt{3} \)
\( 8\sqrt{3} \)
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 8\sqrt{3} \)'tür.
5
Çözümlü Örnek
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \]
\[ \frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \]
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini uygulayacağız. 👉
- Öncelikle pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Köklü sayılarda çarpma kuralı \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) şeklindedir:
\( \sqrt{50} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{50 \times 18} = \sqrt{900} \) - Şimdi \( \sqrt{900} \) ifadesinin değerini bulalım. \( 900 \), \( 30 \)'un karesidir.
\( \sqrt{900} = 30 \) - İfade şimdi şu hale geldi:
\[ \frac{30}{\sqrt{2}} \] - Paydada köklü ifade olmasını istemediğimiz için paydayı rasyonel yapalım. Bunun için hem payı hem de paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarpalım:
\[ \frac{30}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{30\sqrt{2}}{2} \] - Son olarak sadeleştirme işlemini yapalım:
\( \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \)
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 15\sqrt{2} \)'dir.
6
Çözümlü Örnek
Bir bakteri türü, her 20 dakikada bir ikiye bölünerek çoğalmaktadır. Başlangıçta 50 bakteri bulunan bir deney tüpünde 2 saat sonunda kaç bakteri olur?
(İpuçları: 1 saat = 60 dakika)
(İpuçları: 1 saat = 60 dakika)
Çözüm ve Açıklama
Bu bir üslü sayı problemidir. Bakteri sayısı her 20 dakikada bir ikiye katlandığı için üslü ifade kullanarak çoğalma miktarını hesaplayabiliriz. 🔬
- Öncelikle, toplam sürenin kaç tane 20 dakikalık periyot içerdiğini bulalım:
Toplam süre = 2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika. - Çoğalma periyot sayısı = \( \frac{\text{Toplam Süre}}{\text{Çoğalma Süresi}} = \frac{120}{20} = 6 \) periyot.
- Her periyotta bakteri sayısı 2 katına çıktığı için, 6 periyot sonunda bakteri sayısı \( 2^6 \) katına çıkacaktır.
\( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \) - Başlangıçta 50 bakteri olduğu için, 2 saat sonunda toplam bakteri sayısı:
\( \text{Başlangıç Bakteri Sayısı} \times \text{Çoğalma Katsayısı} = 50 \times 64 \) - Çarpma işlemini yapalım:
\( 50 \times 64 = 3200 \)
✅ Sonuç: 2 saat sonunda deney tüpünde 3200 bakteri olur.
7
Çözümlü Örnek
Kenar uzunlukları \( 4\sqrt{3} \) cm ve \( 2\sqrt{12} \) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir masanın alanı kaç \( \text{cm}^2 \)dir?
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. 📐
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları:
Kısa kenar = \( 4\sqrt{3} \) cm
Uzun kenar = \( 2\sqrt{12} \) cm - Öncelikle uzun kenarı daha sade bir köklü ifade şeklinde yazalım. \( \sqrt{12} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazabiliriz:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) - Şimdi uzun kenar uzunluğunu yeniden hesaplayalım:
Uzun kenar = \( 2\sqrt{12} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \) cm - Görüyoruz ki, aslında bu bir kareymiş! (Kenar uzunlukları eşit çıktı.) Alanı hesaplamak için iki kenarı çarpalım:
Alan = Kısa kenar \( \times \) Uzun kenar
Alan = \( 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} \) - Köklü ifadelerde çarpma işlemini yapalım:
Alan = \( (4 \times 4) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \)
Alan = \( 16 \times \sqrt{3 \times 3} \)
Alan = \( 16 \times \sqrt{9} \)
Alan = \( 16 \times 3 \) - Son çarpma işlemini yapalım:
Alan = \( 48 \)
✅ Sonuç: Masanın alanı \( 48 \text{ cm}^2 \)'dir.
8
Çözümlü Örnek
Bir emlakçı, her yıl değeri %10 artan bir arsanın 3 yıl sonraki değerini hesaplamak istiyor. Bu durumda üslü sayılar bilgisini nasıl kullanırız?
Çözüm ve Açıklama
Bu senaryo, bileşik faiz veya bileşik büyüme prensibiyle çalıştığı için üslü sayılar günlük hayatta karşımıza çıkar. 📈 Arsanın değeri her yıl bir önceki yılın değerine göre arttığı için, artış katlanarak devam eder.
- Başlangıç Değerini Belirleme: Diyelim ki arsanın başlangıçtaki değeri \( A \) olsun.
- Yıllık Artış Oranını Anlama: Değer her yıl %10 artıyorsa, yeni değeri eski değerin \( (1 + 0.10) = 1.10 \) katı olur. Bu, artış çarpanımızdır.
- Üslü İfade Kullanımı:
- 1 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10)^1 \)
- 2 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10) \times (1.10) = A \times (1.10)^2 \)
- 3 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10) \times (1.10) \times (1.10) = A \times (1.10)^3 \)
- Genel Formül: \( n \) yıl sonraki değer için genel formül \( A \times (1 + \text{artış oranı})^n \) şeklinde üslü bir ifadeyle gösterilir.
Bu örnekte, emlakçı 3 yıl sonraki değeri hesaplamak için arsanın başlangıç değerini \( (1.10)^3 \) ile çarpar. \( (1.10)^3 = 1.10 \times 1.10 \times 1.10 = 1.331 \) olduğundan, arsanın değeri 3 yıl sonra başlangıç değerinin 1.331 katına (yani %33.1 artmış) ulaşmış olacaktır. Bu tür hesaplamalar, yatırım getirilerini veya enflasyonun etkisini anlamak için oldukça önemlidir. 💡
İçerik Hazırlanıyor...
Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.