💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ve Köklü Sayılarda İşlemler Çözümlü Örnekler

• \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)

• \( 3 \cdot 8 + 5 \cdot 8 - 8 \)

• \( 8 \cdot (3 + 5 - 1) \)
• \( 8 \cdot (8 - 1) \)
• \( 8 \cdot 7 \)
• \( 56 \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu 56'dır.

• Öncelikle, \( 4 \) ve \( 8 \) sayılarını \( 2 \) tabanında yazalım:
  \( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \)
• Şimdi bu değerleri ana ifadede yerine koyalım:
  \[ \frac{(2^4)^3 \cdot (2^2)^2}{(2^3)^3} \]
• Üssün üssü kuralını uygulayalım (\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)):
  \( (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \)
  \( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \)
  \( (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \)
• İfadeyi yeniden düzenleyelim:
  \[ \frac{2^{12} \cdot 2^4}{2^9} \]
• Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım (tabanlar aynıysa üsler toplanır):
  \( 2^{12} \cdot 2^4 = 2^{12+4} = 2^{16} \)
• Şimdi bölme işlemini yapalım (tabanlar aynıysa üsler çıkarılır):
  \[ \frac{2^{16}}{2^9} = 2^{16-9} = 2^7 \]

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 2^7 \) olarak bulunur.

• \( 72 \) sayısını tam kare çarpanları cinsinden yazmaya çalışalım. \( 72 \) sayısının çarpanları arasında en büyük tam kare sayı \( 36 \) 'dır.
  \( 72 = 36 \times 2 \)
• Şimdi bu çarpımı kök içine yazalım:
  \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \)
• Köklü sayılarda çarpma özelliğini kullanalım (\( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \)):
  \( \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \)
• \( \sqrt{36} \) bir tam kare olduğundan, kök dışına \( 6 \) olarak çıkar:
  \( \sqrt{36} = 6 \)
• Sonuç olarak ifadeyi \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazmış oluruz:
  \( 6\sqrt{2} \)

✅ Sonuç: \( \sqrt{72} \) ifadesi \( 6\sqrt{2} \) şeklinde yazılır.

• \( 3\sqrt{12} \) için:
  \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
  Dolayısıyla, \( 3\sqrt{12} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
• \( 2\sqrt{27} \) için:
  \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
  Dolayısıyla, \( 2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{48} \) için:
  \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
• Şimdi bu düzenlenmiş ifadeleri ana işlemde yerine yazalım:
  \( 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \)
• Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
  \( (6 + 6 - 4)\sqrt{3} \)
  \( (12 - 4)\sqrt{3} \)
  \( 8\sqrt{3} \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 8\sqrt{3} \)'tür.

• Öncelikle pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Köklü sayılarda çarpma kuralı \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) şeklindedir:
  \( \sqrt{50} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{50 \times 18} = \sqrt{900} \)
• Şimdi \( \sqrt{900} \) ifadesinin değerini bulalım. \( 900 \), \( 30 \)'un karesidir.
  \( \sqrt{900} = 30 \)
• İfade şimdi şu hale geldi:
  \[ \frac{30}{\sqrt{2}} \]
• Paydada köklü ifade olmasını istemediğimiz için paydayı rasyonel yapalım. Bunun için hem payı hem de paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarpalım:
  \[ \frac{30}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{30\sqrt{2}}{2} \]
• Son olarak sadeleştirme işlemini yapalım:
  \( \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 15\sqrt{2} \)'dir.

• Öncelikle, toplam sürenin kaç tane 20 dakikalık periyot içerdiğini bulalım:
  Toplam süre = 2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika.
• Çoğalma periyot sayısı = \( \frac{\text{Toplam Süre}}{\text{Çoğalma Süresi}} = \frac{120}{20} = 6 \) periyot.
• Her periyotta bakteri sayısı 2 katına çıktığı için, 6 periyot sonunda bakteri sayısı \( 2^6 \) katına çıkacaktır.
  \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \)
• Başlangıçta 50 bakteri olduğu için, 2 saat sonunda toplam bakteri sayısı:
  \( \text{Başlangıç Bakteri Sayısı} \times \text{Çoğalma Katsayısı} = 50 \times 64 \)
• Çarpma işlemini yapalım:
  \( 50 \times 64 = 3200 \)

✅ Sonuç: 2 saat sonunda deney tüpünde 3200 bakteri olur.

• Dikdörtgenin kenar uzunlukları:
  Kısa kenar = \( 4\sqrt{3} \) cm
  Uzun kenar = \( 2\sqrt{12} \) cm
• Öncelikle uzun kenarı daha sade bir köklü ifade şeklinde yazalım. \( \sqrt{12} \) ifadesini \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazabiliriz:
  \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
• Şimdi uzun kenar uzunluğunu yeniden hesaplayalım:
  Uzun kenar = \( 2\sqrt{12} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \) cm
• Görüyoruz ki, aslında bu bir kareymiş! (Kenar uzunlukları eşit çıktı.) Alanı hesaplamak için iki kenarı çarpalım:
  Alan = Kısa kenar \( \times \) Uzun kenar
  Alan = \( 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} \)
• Köklü ifadelerde çarpma işlemini yapalım:
  Alan = \( (4 \times 4) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \)
  Alan = \( 16 \times \sqrt{3 \times 3} \)
  Alan = \( 16 \times \sqrt{9} \)
  Alan = \( 16 \times 3 \)
• Son çarpma işlemini yapalım:
  Alan = \( 48 \)

✅ Sonuç: Masanın alanı \( 48 \text{ cm}^2 \)'dir.

• Başlangıç Değerini Belirleme: Diyelim ki arsanın başlangıçtaki değeri \( A \) olsun.
• Yıllık Artış Oranını Anlama: Değer her yıl %10 artıyorsa, yeni değeri eski değerin \( (1 + 0.10) = 1.10 \) katı olur. Bu, artış çarpanımızdır.
• Üslü İfade Kullanımı:
  • 1 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10)^1 \)
  • 2 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10) \times (1.10) = A \times (1.10)^2 \)
  • 3 yıl sonraki değer: \( A \times (1.10) \times (1.10) \times (1.10) = A \times (1.10)^3 \)
• Genel Formül: \( n \) yıl sonraki değer için genel formül \( A \times (1 + \text{artış oranı})^n \) şeklinde üslü bir ifadeyle gösterilir.

Bu örnekte, emlakçı 3 yıl sonraki değeri hesaplamak için arsanın başlangıç değerini \( (1.10)^3 \) ile çarpar. \( (1.10)^3 = 1.10 \times 1.10 \times 1.10 = 1.331 \) olduğundan, arsanın değeri 3 yıl sonra başlangıç değerinin 1.331 katına (yani %33.1 artmış) ulaşmış olacaktır. Bu tür hesaplamalar, yatırım getirilerini veya enflasyonun etkisini anlamak için oldukça önemlidir. 💡