💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ve Köklü Sayılarda İşlemler Çözümlü Örnekler

💡 Çözüm:
Bu tarz sorularda öncelikle tüm tabanları en küçük ortak taban olan 2 tabanına çevirmeliyiz.

• \( 8 = 2^{3} \) olduğunu biliyoruz. O halde:
  \( 8^{3} = (2^{3})^{3} = 2^{3 \times 3} = 2^{9} \) olur.
• \( 4 = 2^{2} \) olduğunu biliyoruz. O halde:
  \( 4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{2 \times 8} = 2^{16} \) olur.

Şimdi bulduğumuz bu değerleri orijinal ifademizde yerine yazalım:
\[ \frac{2^{12} \times 2^{9}}{2^{16}} \]

• Pay kısmındaki çarpma işleminde tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır:
  \( 2^{12} \times 2^{9} = 2^{12+9} = 2^{21} \)
• Bölme işleminde tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
  \( \frac{2^{21}}{2^{16}} = 2^{21-16} = 2^{5} \)

✅ Cevap: \( 2^{5} = 32 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm:
Pay kısmındaki ifadeleri en küçük üsse sahip olan \( 3^{x} \) terimine göre parçalayalım:

• \( 3^{x+2} = 3^{x} \times 3^{2} = 9 \times 3^{x} \)
• \( 3^{x+1} = 3^{x} \times 3^{1} = 3 \times 3^{x} \)
• \( 3^{x} = 1 \times 3^{x} \)

Şimdi pay kısmını \( 3^{x} \) ortak parantezine alalım:
\[ 3^{x+2} + 3^{x+1} - 3^{x} = 3^{x} \times (9 + 3 - 1) = 3^{x} \times 11 \] Payda kısmındaki ifadeyi de parçalayalım:
\[ 3^{x-1} = \frac{3^{x}}{3} \] Şimdi bulduğumuz ifadeleri yerlerine yazarak bölme işlemini yapalım:
\[ \frac{3^{x} \times 11}{\frac{3^{x}}{3}} \] Birinci ifadeyi aynen yazıp, ikinci ifadeyi ters çevirip çarparız:
\[ 3^{x} \times 11 \times \frac{3}{3^{x}} \] Burada pay ve paydadaki \( 3^{x} \) ifadeleri birbirini sadeleştirir:
\[ 11 \times 3 = 33 \] ✅ Cevap: \( 33 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm:
Eşitliğin her iki tarafındaki tabanları aynı yapmak için \( 125 \) sayısını \( 5 \) tabanında yazalım.

• \( 125 = 5^{3} \) olduğunu biliyoruz.
• Eşitliğin sağ tarafını düzenleyelim:
  \( 125^{x-3} = (5^{3})^{x-3} = 5^{3 \times (x-3)} = 5^{3x-9} \)

Şimdi yeni eşitliğimizi yazalım:
\[ 5^{2x-4} = 5^{3x-9} \] Tabanlar eşit olduğuna göre, üsler de birbirine eşit olmalıdır:
\[ 2x - 4 = 3x - 9 \] Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım:
\[ 9 - 4 = 3x - 2x \] \[ 5 = x \] ✅ Cevap: \( x = 5 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm:
Adım adım bakterilerin çoğalma sürecini inceleyelim:

• Başlangıçta: \( 2^{4} \) bakteri var.
• Her saatin sonunda bakteri sayısı 2 katına çıkmaktadır. Bu durum her saat \( 2^{1} \) ile çarpmak anlamına gelir.
• 8 saat sonraki bakteri sayısı: Başlangıçtaki miktarın 8 kez 2 ile çarpılmasıyla bulunur.
  Yani bakteri sayısı \( 2^{8} \) katına çıkacaktır.

İşlemi matematiksel olarak ifade edelim:
\[ \text{Son Durum} = 2^{4} \times 2^{8} \] Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız:
\[ 2^{4+8} = 2^{12} \] ✅ Cevap: 8 saatin sonunda tüpte \( 2^{12} \) (yani 4096) adet bakteri bulunur.

💡 Çözüm:
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Sayıları tam kare çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım:

• \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)

Şimdi bu değerleri işlemde yerlerine yazalım:
\[ 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \] Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemlerini yapabiliriz:
\[ (5 - 2 + 3)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] ✅ Cevap: İşlemin sonucu \( 6\sqrt{3} \) olarak bulunur.

💡 Çözüm:
İlk olarak kesirli ifadenin paydasını kökten kurtarmak için paydayı eşleniği olan \( \sqrt{5} + 1 \) ile genişletelim:
\[ \frac{6 \times (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1) \times (\sqrt{5} + 1)} \] Paydadaki iki kare farkı özdeşliğinden yararlanalım:
\[ (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4 \] Şimdi kesrin yeni halini yazalım:
\[ \frac{6(\sqrt{5} + 1)}{4} \] Pay ve paydayı 2 ile sadeleştirelim:
\[ \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{2} = \frac{3\sqrt{5} + 3}{2} \] Şimdi bu ifadeden \( \sqrt{5} \) çıkaralım:
\[ \frac{3\sqrt{5} + 3}{2} - \sqrt{5} \] Payda eşitleyelim:
\[ \frac{3\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{3 \times 0 + 5}}{2} = \frac{3\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5}}{2} \] Pay kısmındaki benzer köklü terimleri çıkaralım:
\[ \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \] ✅ Cevap: İşlemin sonucu \( \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \) olur.

💡 Çözüm:
Bahçenin ve kulübenin alanlarını ayrı ayrı hesaplayıp farkını bulalım.

• Kare Bahçenin Bir Kenarı: \( a = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \) metredir.
• Kare Bahçenin Alanı:
  \( \text{Alan}_{\text{bahçe}} = a^{2} = (6\sqrt{3})^{2} = 36 \times 3 = 108 \) metrekaredir.
• Dikdörtgen Kulübenin Kenarları: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) metre ve \( \sqrt{3} \) metredir.
• Kulübenin Alanı:
  \( \text{Alan}_{\text{kulübe}} = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 2 \times 3 = 6 \) metrekaredir.
• Kalan Boş Alan:
  \( \text{Boş Alan} = \text{Alan}_{\text{bahçe}} - \text{Alan}_{\text{kulübe}} \)
  \( \text{Boş Alan} = 108 - 6 = 102 \) metrekaredir.

✅ Cevap: Kalan boş bölgenin alanı \( 102 \) metrekaredir.

💡 Çözüm:
Köklü ifadeleri üslü sayı biçimine dönüştürerek işlemi kolayca çözelim.

• Sol taraftaki ifadeyi üslü sayıya çevirelim:
  \( \sqrt[3]{2^{x-1}} = 2^{\frac{x-1}{3}} \)
• Sağ taraftaki ifadeyi düzenleyelim:
  \( 8 = 2^{3} \) olduğundan, \( \sqrt{8} = \sqrt{2^{3}} = 2^{\frac{3}{2}} \) olur.

Şimdi bu iki üslü ifadeyi birbirine eşitleyelim:
\[ 2^{\frac{x-1}{3}} = 2^{\frac{3}{2}} \] Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
\[ \frac{x-1}{3} = \frac{3}{2} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \times (x - 1) = 3 \times 3 \] \[ 2x - 2 = 9 \] \[ 2x = 11 \] \[ x = \frac{11}{2} \] ✅ Cevap: \( x = \frac{11}{2} \) olarak bulunur.