💡 9. Sınıf Matematik: Üslü köklü ifadeler Çözümlü Örnekler

Bu tür ifadelerde taban, üs kadar kendisiyle çarpılır.

• Taban: 3
• Üs: 4

Hesaplama şu şekildedir: \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \) \( 3 \times 3 = 9 \) \( 9 \times 3 = 27 \) \( 27 \times 3 = 81 \) Sonuç: \( 81 \) 💡

Karekök, üssü \( \frac{1}{2} \) olan bir üslü ifadeye eşittir. \( \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}} \) ✅

Üslü sayılarda çarpma işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler toplanır.

• Kural: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Bu kurala göre: \( 5^2 \times 5^3 = 5^{2+3} \) \( 5^{2+3} = 5^5 \) Şimdi bu ifadeyi hesaplayalım: \( 5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \) \( 5 \times 5 = 25 \) \( 25 \times 5 = 125 \) \( 125 \times 5 = 625 \) \( 625 \times 5 = 3125 \) Sonuç: \( 3125 \) 🚀

Üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.

• Kural: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Bu kurala göre: \( \frac{10^6}{10^4} = 10^{6-4} \) \( 10^{6-4} = 10^2 \) \( 10^2 = 10 \times 10 = 100 \) Sonuç: \( 100 \) 👍

Üslü sayılarda üssün üssü alınırken üsler çarpılır.

• Kural: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

Bu kurala göre: \( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} \) \( 2^{3 \times 2} = 2^6 \) Şimdi bu ifadeyi hesaplayalım: \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \) \( 2 \times 2 = 4 \) \( 4 \times 2 = 8 \) \( 8 \times 2 = 16 \) \( 16 \times 2 = 32 \) \( 32 \times 2 = 64 \) Sonuç: \( 64 \) ✨

Öncelikle her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayalım.

• \( \sqrt{16} \): Hangi sayının karesi 16'dır? Cevap: 4. Çünkü \( 4^2 = 16 \)
• \( \sqrt{25} \): Hangi sayının karesi 25'tir? Cevap: 5. Çünkü \( 5^2 = 25 \)

Şimdi bu sonuçları toplayalım: \( 4 + 5 = 9 \) Sonuç: \( 9 \) 🎉

Bu problem, üslü ifadelerle modellenebilir.

• Başlangıçtaki bakteri sayısı: 5
• Katlanma oranı: Her saat 2 katına çıkıyor.
• Geçen süre: 4 saat

Her saat sonunda bakteri sayısı \( 5 \times 2 \) olur.

• 1. saat sonunda: \( 5 \times 2^1 \)
• 2. saat sonunda: \( 5 \times 2^2 \)
• 3. saat sonunda: \( 5 \times 2^3 \)
• 4. saat sonunda: \( 5 \times 2^4 \)

Şimdi \( 5 \times 2^4 \) işlemini hesaplayalım: \( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \) \( 5 \times 16 = 80 \) Sonuç: 4 saat sonra 80 bakteri olur. 🦠

Bu problemde de üslü ifadeler ve oranlar kullanılır.

• İlk yıl ürün miktarı: 10 ton
• Artış oranı: \( \frac{3}{2} \) katı
• Hedeflenen yıl: 3. yıl

Her yıl ürün miktarı bir önceki yılın \( \frac{3}{2} \) katı olacağı için:

• 1. yıl: 10 ton
• 2. yıl: \( 10 \times \frac{3}{2} \) ton
• 3. yıl: \( (10 \times \frac{3}{2}) \times \frac{3}{2} = 10 \times (\frac{3}{2})^2 \) ton

Şimdi \( 10 \times (\frac{3}{2})^2 \) işlemini hesaplayalım: \( (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \) \( 10 \times \frac{9}{4} = \frac{90}{4} \) Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{90}{4} = \frac{45}{2} = 22.5 \) Sonuç: 3. yıl sonunda 22.5 ton ürün elde edilmiş olur. 🌾