🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üslü İfadeler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üslü İfadeler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Üslü İfadelerin Değerini Hesaplama 💡
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini hesaplayınız:
a) \( (-3)^2 \)
b) \( -3^2 \)
c) \( (1/2)^{-3} \)
d) \( 5^0 \)
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini hesaplayınız:
a) \( (-3)^2 \)
b) \( -3^2 \)
c) \( (1/2)^{-3} \)
d) \( 5^0 \)
Çözüm:
Bu örnekte, üslü ifadelerin temel özelliklerini ve işaret kurallarını hatırlayacağız. 📌
- a) \( (-3)^2 \): Taban negatif olsa bile, üs çift sayı olduğunda sonuç pozitiftir.
\( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) ✅ - b) \( -3^2 \): Burada parantez olmadığı için, üs sadece 3'ü etkiler. Negatif işareti dışarıda kalır.
\( -3^2 = -(3 \times 3) = -9 \) ✅ - c) \( (1/2)^{-3} \): Negatif üs, tabanı ters çevirir.
\( (1/2)^{-3} = (2/1)^3 = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) ✅ - d) \( 5^0 \): Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
\( 5^0 = 1 \) ✅
Örnek 2:
Çarpma ve Bölme İşlemleri 📚
Aşağıdaki üslü ifadeyi en sade şekilde yazınız:
\[ \frac{7^5 \cdot 7^{-2}}{7^3} \]
Aşağıdaki üslü ifadeyi en sade şekilde yazınız:
\[ \frac{7^5 \cdot 7^{-2}}{7^3} \]
Çözüm:
Üslü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerinde tabanlar aynıysa üsler toplanır veya çıkarılır. 👉
- Öncelikle pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız:
\( 7^5 \cdot 7^{-2} = 7^{5 + (-2)} = 7^{5-2} = 7^3 \) - Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
\[ \frac{7^3}{7^3} \] - Pay ve payda aynı olduğu için sonuç 1'dir. Veya tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız:
\( 7^3 / 7^3 = 7^{3-3} = 7^0 = 1 \) ✅
Örnek 3:
Üssün Üssü ve Negatif Üs Uygulamaları 🧐
Aşağıdaki üslü ifadeyi sadeleştiriniz:
\[ \frac{(3^2)^3 \cdot 3^{-4}}{(3^5)^{-1} } \]
Aşağıdaki üslü ifadeyi sadeleştiriniz:
\[ \frac{(3^2)^3 \cdot 3^{-4}}{(3^5)^{-1} } \]
Çözüm:
Bu soruda üssün üssü, çarpma ve bölme kurallarını bir arada kullanacağız. 💡
- İlk olarak pay kısmındaki \((3^2)^3\) ifadesini düzenleyelim. Üssün üssü kuralına göre üsler çarpılır:
\( (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 \) - Şimdi pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım:
\( 3^6 \cdot 3^{-4} = 3^{6 + (-4)} = 3^{6-4} = 3^2 \) - Payda kısmındaki \((3^5)^{-1}\) ifadesini düzenleyelim. Yine üssün üssü kuralını kullanırız:
\( (3^5)^{-1} = 3^{5 \times (-1)} = 3^{-5} \) - Son olarak, bulduğumuz ifadeleri yerine yazarak bölme işlemini yapalım:
\[ \frac{3^2}{3^{-5}} \] Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız:
\( 3^{2 - (-5)} = 3^{2+5} = 3^7 \) ✅
Örnek 4:
Üslü İfadelerde Sıralama 🔢
Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
\( A = 2^{30} \), \( B = 3^{20} \), \( C = 5^{10} \)
Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
\( A = 2^{30} \), \( B = 3^{20} \), \( C = 5^{10} \)
Çözüm:
Üslü ifadeleri sıralarken, ya tabanları ya da üsleri eşitlemeye çalışırız. Burada üsleri eşitlemek daha kolay olacaktır. 📌
- Verilen sayıların üsleri 30, 20 ve 10'dur. Bu sayıların en büyük ortak böleni 10'dur. Bu durumda her sayıyı üssü 10 olacak şekilde yazabiliriz.
- \( A = 2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10} \)
- \( B = 3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10} \)
- \( C = 5^{10} = 5^{10} \) (Bu zaten istediğimiz formda)
- Şimdi üsler eşit olduğu için tabanları karşılaştırabiliriz:
\( 5 < 8 < 9 \) - Dolayısıyla, küçükten büyüğe sıralama şu şekildedir:
\( 5^{10} < 8^{10} < 9^{10} \)
Yani, \( C < A < B \) ✅
Örnek 5:
Üslü Denklem Çözme 🎯
\( 4^{x+1} = 32 \) denklemini sağlayan \(x\) değerini bulunuz.
\( 4^{x+1} = 32 \) denklemini sağlayan \(x\) değerini bulunuz.
Çözüm:
Üslü denklemleri çözerken, genellikle tabanları eşitlemeye çalışırız. 💡
- Denklemdeki tabanlar 4 ve 32'dir. Her iki sayıyı da 2'nin kuvveti olarak yazabiliriz:
\( 4 = 2^2 \)
\( 32 = 2^5 \) - Bu değerleri denklemde yerine yazalım:
\( (2^2)^{x+1} = 2^5 \) - Üssün üssü kuralını uygulayalım:
\( 2^{2 \cdot (x+1)} = 2^5 \)
\( 2^{2x+2} = 2^5 \) - Tabanlar eşit olduğuna göre, üsler de eşit olmalıdır:
\( 2x+2 = 5 \) - Denklemi çözelim:
\( 2x = 5 - 2 \)
\( 2x = 3 \)
\( x = \frac{3}{2} \) ✅
Örnek 6:
Bakteri Çoğalması 🦠
Bir laboratuvarda başlangıçta 8 bakteri bulunmaktadır. Bu bakteri türü her 15 dakikada bir iki katına çıkmaktadır. Buna göre, 1 saat sonunda laboratuvardaki toplam bakteri sayısı kaç olur?
Bir laboratuvarda başlangıçta 8 bakteri bulunmaktadır. Bu bakteri türü her 15 dakikada bir iki katına çıkmaktadır. Buna göre, 1 saat sonunda laboratuvardaki toplam bakteri sayısı kaç olur?
Çözüm:
Bu tür problemler, belirli bir zaman aralığında katlanarak artan veya azalan durumları üslü ifadelerle modellemek için idealdir. 📌
- Başlangıçtaki bakteri sayısı: \( 8 \)
- Bakteriler her 15 dakikada bir iki katına çıkıyor.
- Toplam süre: 1 saat = 60 dakika.
- 60 dakika içinde kaç tane 15 dakikalık periyot olduğunu bulalım:
\( 60 \text{ dakika} / 15 \text{ dakika/periyot} = 4 \text{ periyot} \) - Her periyotta bakteri sayısı 2 katına çıktığına göre, 4 periyot sonunda bakteri sayısı \( 2^4 \) katına çıkacaktır.
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \) - Başlangıçtaki bakteri sayısını bu katlanma oranıyla çarpalım:
\( \text{Toplam bakteri} = \text{Başlangıç sayısı} \times \text{Katlanma oranı} \)
\( \text{Toplam bakteri} = 8 \times 16 \) - Hesaplayalım:
\( 8 \times 16 = 128 \) - Yani, 1 saat sonunda laboratuvarda 128 bakteri olur. ✅
Örnek 7:
Alan Değişimi 🏞️
Bir kenar uzunluğu \(a\) birim olan kare şeklindeki bir tarlanın kenar uzunlukları 3 katına çıkarılırsa, tarlanın alanı kaç katına çıkar?
Bir kenar uzunluğu \(a\) birim olan kare şeklindeki bir tarlanın kenar uzunlukları 3 katına çıkarılırsa, tarlanın alanı kaç katına çıkar?
Çözüm:
Bu örnek, geometrik şekillerin boyutları değiştiğinde alanlarının veya hacimlerinin nasıl değiştiğini üslü ifadelerle açıklamamıza yardımcı olur. 📐
- Başlangıçtaki tarlanın kenar uzunluğu: \( a \) birim.
- Başlangıçtaki tarlanın alanı: \( \text{Alan}_1 = a \times a = a^2 \) birimkare.
- Tarlanın kenar uzunlukları 3 katına çıkarılıyor. Yeni kenar uzunluğu: \( 3a \) birim.
- Yeni tarlanın alanı: \( \text{Alan}_2 = (3a) \times (3a) \).
- Üslü ifade kurallarına göre, çarpımın kuvveti kuralını uygulayabiliriz:
\( (3a)^2 = 3^2 \times a^2 = 9a^2 \) birimkare. - Şimdi yeni alanı eski alana oranlayarak kaç katına çıktığını bulalım:
\[ \frac{\text{Alan}_2}{\text{Alan}_1} = \frac{9a^2}{a^2} = 9 \] - Yani, tarlanın kenar uzunlukları 3 katına çıkarıldığında, tarlanın alanı 9 katına çıkar. ✅
Örnek 8:
Karmaşık Üslü İfade Sadeleştirme 🤯
Aşağıdaki üslü ifadeyi en sade şekilde yazınız:
\[ \frac{(27^2 \cdot 9^{-3})^2 }{(3^5)^{-1} } \]
Aşağıdaki üslü ifadeyi en sade şekilde yazınız:
\[ \frac{(27^2 \cdot 9^{-3})^2 }{(3^5)^{-1} } \]
Çözüm:
Bu tür sorularda farklı tabanları aynı tabana çevirmek (genellikle en küçük asal tabana) çözüm için kritik bir adımdır. 💡
- Tüm tabanları 3'ün kuvveti olarak yazalım:
\( 27 = 3^3 \)
\( 9 = 3^2 \) - Şimdi bu değerleri ana ifadede yerine yazalım:
\[ \frac{( (3^3)^2 \cdot (3^2)^{-3})^2 }{(3^5)^{-1} } \] - Parantez içindeki üssün üssü işlemlerini yapalım:
\( (3^3)^2 = 3^{3 \times 2} = 3^6 \)
\( (3^2)^{-3} = 3^{2 \times (-3)} = 3^{-6} \)
\( (3^5)^{-1} = 3^{5 \times (-1)} = 3^{-5} \) - İfadeyi bu yeni değerlerle tekrar yazalım:
\[ \frac{(3^6 \cdot 3^{-6})^2 }{3^{-5} } \] - Pay kısmındaki parantez içindeki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır:
\( 3^6 \cdot 3^{-6} = 3^{6 + (-6)} = 3^0 = 1 \) - Şimdi ifadeyi daha da sadeleştirelim:
\[ \frac{(1)^2 }{3^{-5} } = \frac{1}{3^{-5}} \] - Negatif üs kuralına göre, paydadaki negatif üslü ifadeyi paya pozitif üs olarak çıkarabiliriz:
\( \frac{1}{3^{-5}} = 3^5 \) - \( 3^5 \) değerini hesaplayalım:
\( 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243 \) - En sade hali \( 3^5 \) veya \( 243 \)'tür. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-uslu-i-fadeler/sorular