💡 9. Sınıf Matematik: Üslü İfadeler Çözümlü Örnekler

💡 Çözüm Adımları:
Üslü ifadelerin değerlerini tek tek hesaplayalım:

• Pozitif Sayının Kuvveti: \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
• Negatif Sayının Çift Kuvveti: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \) (Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir)
• Negatif Birin Çift Kuvveti: \( (-1)^{100} = 1 \) (Taban negatif fakat üs çift olduğu için sonuç pozitiftir)

Bulduğumuz değerleri ana işlemde yerine yazalım:
\[ 8 + 9 - 1 \] \[ 17 - 1 = 16 \]
✅ Doğru Cevap: \( 16 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:
İşlemi kolaylaştırmak için tüm tabanları ortak olan \( 2 \) tabanına dönüştürelim:

• \( 4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \)
• \( 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{3 \cdot (-1)} = 2^{-3} \)

Şimdi bu değerleri orijinal kesrimizde yerine yazalım:
\[ \frac{2^{-3} \cdot 2^4}{2^{-3}} \]
Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım (Tabanlar aynı ise üsler toplanır):
\[ 2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-3 + 4} = 2^1 \]
Şimdi bölme işlemini uygulayalım (Tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır):
\[ \frac{2^1}{2^{-3}} = 2^{1 - (-3)} = 2^{1 + 3} = 2^4 \]
Sonucu hesaplayalım:
\[ 2^4 = 16 \]
✅ Doğru Cevap: \( 16 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:
Üslü ifadelerde toplama işlemi yapabilmek için ifadeleri ortak çarpan parantezine almalıyız:

• İlk olarak \( 3^{x+2} \) ifadesini parçalayalım: \( 3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x \)
• Denklemi bu haliyle yeniden yazalım: \( 9 \cdot 3^x + 3^x = 90 \)
• Sol tarafı \( 3^x \) ortak parantezine alalım: \[ 3^x \cdot (9 + 1) = 90 \]
• Parantez içini hesaplayalım: \[ 3^x \cdot 10 = 90 \]
• Her iki tarafı \( 10 \) ile sadeleştirelim: \[ 3^x = 9 \]
• \( 9 \) sayısını \( 3 \) tabanında yazalım: \[ 3^x = 3^2 \]

Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır. Buradan:
\[ x = 2 \]
✅ Doğru Cevap: \( x = 2 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:
Pay ve paydadaki tekrarlı toplama işlemlerini çarpma biçiminde yazarak sadeleştirme yapalım:

• Pay kısmı: \( 5 \) tane \( 10^x \) ifadesinin toplamıdır. Yani, \( 5 \cdot 10^x \)
• Payda kısmı: \( 2 \) tane \( 5^x \) ifadesinin toplamıdır. Yani, \( 2 \cdot 5^x \)

Bu ifadeleri kesirde yerine koyalım:
\[ \frac{5 \cdot 10^x}{2 \cdot 5^x} = 160 \]
Üslü kısımları kendi arasında bölelim. Üsler aynı olduğunda tabanlar bölünür:
\[ \frac{10^x}{5^x} = \left(\frac{10}{5}\right)^x = 2^x \]
Bulduğumuz bu değeri denklemde yerine yazalım:
\[ \frac{5}{2} \cdot 2^x = 160 \]
Her iki tarafı \( 2 \) ile çarpıp \( 5 \) ile bölelim:
\[ 2^x = \frac{160 \cdot 2}{5} \] \[ 2^x = 32 \cdot 2 \] \[ 2^x = 64 \]
\( 64 \) sayısını \( 2 \) tabanında yazarsak:
\[ 2^x = 2^6 \implies x = 6 \]
✅ Doğru Cevap: \( x = 6 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:
Süreci adım adım analiz ederek üslü sayılarla modelleyelim:

• Katlanma Sayısı: Toplam süre \( 24 \) saat ve her \( 3 \) saatte bir bölünme gerçekleşiyor. Bölünme sayısını bulalım:
  \[ \frac{24}{3} = 8 \text{ kez bölünme gerçekleşir.} \]
• Her bölünmede bakteri sayısı \( 2 \) katına çıktığı için, \( 8 \) kez bölünme sonunda bakteri sayısı başlangıçtakinin \( 2^8 \) katı olacaktır.
• Başlangıçtaki Bakteri Sayısı: \( 2^4 \)
• Son Durumdaki Bakteri Sayısı: Başlangıç sayısı ile artış oranını çarpalım:
  \[ 2^4 \cdot 2^8 \]
• Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız:
  \[ 2^{4+8} = 2^{12} \]

✅ Doğru Cevap: Deney sonunda kapta \( 2^{12} \) adet bakteri bulunur.

💡 Çözüm Adımları:
Her katlama işleminde kağıt tabakası sayısı \( 2 \) katına çıkar. Bu durumu matematiksel olarak modelleyelim:

• A Değerinin Hesaplanması:
  Tek bir kağıt \( 6 \) kez katlanırsa tabaka sayısı:
  \[ A = 2^6 \]
• B Değerinin Hesaplanması:
  Başlangıçta \( 4 \) adet kağıt var. \( 4 \) sayısını \( 2^2 \) olarak yazabiliriz.
  Bu kağıtların her biri \( 3 \) kez katlandığında tabaka sayısı \( 2^3 \) katına çıkar.
  Toplam tabaka sayısı:
  \[ B = 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 \]
• Oranın Hesaplanması:
  Bizden istenen oran \( \frac{A}{B} \) değeridir:
  \[ \frac{A}{B} = \frac{2^6}{2^5} = 2^{6-5} = 2^1 = 2 \]

✅ Doğru Cevap: Bu oran \( 2 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:
Megabayt birimini adım adım Bayt birimine dönüştürelim:

• Öncelikle albüm boyutunu \( 2 \) tabanında yazalım:
  \[ 32 \text{ MB} = 2^5 \text{ MB} \]
• Megabayt'ı Kilobayt'a çevirmek için \( 2^{10} \) ile çarparız:
  \[ 2^5 \text{ MB} = 2^5 \cdot 2^{10} \text{ KB} = 2^{15} \text{ KB} \]
• Şimdi de Kilobayt'ı Bayt'a çevirmek için tekrar \( 2^{10} \) ile çarparız:
  \[ 2^{15} \text{ KB} = 2^{15} \cdot 2^{10} \text{ B} = 2^{25} \text{ B} \]

✅ Doğru Cevap: Müzik albümü telefonda \( 2^{25} \) Bayt yer kaplar.

💡 Çözüm Adımları:
Verilen büyük tabanlı sayıyı, bizden istenen tabanlar cinsinden yazabilmek için asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 72 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
  \[ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \]
• Şimdi \( 72^x \) ifadesinde \( 72 \) yerine bu asal çarpanları yazalım:
  \[ 72^x = (2^3 \cdot 3^2)^x \]
• Üssün dağılma özelliğini kullanarak \( x \) üssünü içeriye dağıtalım:
  \[ 72^x = (2^3)^x \cdot (3^2)^x \]
• Üssün üssü özelliğinde üslerin yerini değiştirebiliriz:
  \[ 72^x = (2^x)^3 \cdot (3^x)^2 \]
• Artık soruda bize verilen tanımlamaları yerine yazabiliriz. \( 2^x \) yerine \( a \), \( 3^x \) yerine \( b \) yazalım:
  \[ 72^x = a^3 \cdot b^2 \]

✅ Doğru Cevap: İfadenin eşiti \( a^3 \cdot b^2 \) olarak bulunur.