🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerin açı kenar özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerin açı kenar özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 💡
Çözüm:
- Adım 1: Üçgenin verilmeyen açısını bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) \) olur.
- Adım 2: \( \hat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olarak bulunur.
- Adım 3: Açıların ölçülerini küçükten büyüğe sıralayalım: \( \hat{A} (50^\circ) < \hat{C} (60^\circ) < \hat{B} (70^\circ) \).
- Adım 4: Üçgenlerde büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur. Bu kurala göre, kenar uzunlukları da açıların sıralamasına göre küçükten büyüğe sıralanır.
- Sonuç: \( a < c < b \) şeklinde sıralanır. Yani, BC kenarı < AB kenarı < AC kenarı. ✅
Örnek 2:
Kenar uzunlukları \( 5 \) cm, \( 8 \) cm ve \( x \) cm olan bir üçgen oluşturulabiliyor. Buna göre \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Adım 1: Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Adım 2: \( x \) kenarı için eşitsizlikleri kuralım: \( |8 - 5| < x < 8 + 5 \).
- Adım 3: Bu eşitsizlik \( 3 < x < 13 \) olarak bulunur.
- Adım 4: \( x \) bir tam sayı olduğuna göre, alabileceği değerler \( 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \) dir.
- Adım 5: Bu tam sayıların toplamını hesaplayalım: \( 4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 72 \).
- Sonuç: \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 72'dir. 💯
Örnek 3:
Bir parkta bulunan üç farklı bankın konumları bir koordinat sisteminde A, B ve C noktaları ile gösterilmiştir. A noktasının koordinatları \( (1, 2) \), B noktasının koordinatları \( (5, 2) \) ve C noktasının koordinatları \( (3, 5) \) olarak verilmiştir. Bu üç bankın arasındaki mesafeleri karşılaştırarak en kısa ve en uzun mesafeleri belirleyiniz. 📏
Çözüm:
- Adım 1: Banklar arasındaki mesafeler, üçgenin kenar uzunluklarına karşılık gelir. Bu mesafeleri bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanabiliriz. Ancak, bu soruda sadece sıralama istendiği için, koordinatlara bakarak yaklaşık bir fikir edinebiliriz veya Pisagor teoremini kullanabiliriz.
- Adım 2: AB mesafesi: A ve B noktalarının y koordinatları aynıdır (\( 2 \)). Bu nedenle AB doğrusu yataydır. Uzunluğu \( |5 - 1| = 4 \) birimdir.
- Adım 3: AC mesafesi: İki nokta arasındaki yatay uzaklık \( |3 - 1| = 2 \) birim, dikey uzaklık ise \( |5 - 2| = 3 \) birimdir. Pisagor teoremi ile \( AC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \). Dolayısıyla \( AC = \sqrt{13} \) birimdir.
- Adım 4: BC mesafesi: İki nokta arasındaki yatay uzaklık \( |5 - 3| = 2 \) birim, dikey uzaklık ise \( |5 - 2| = 3 \) birimdir. Pisagor teoremi ile \( BC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \). Dolayısıyla \( BC = \sqrt{13} \) birimdir.
- Adım 5: Mesafeleri karşılaştıralım: \( AB = 4 \), \( AC = \sqrt{13} \), \( BC = \sqrt{13} \). Yaklaşık olarak \( \sqrt{13} \approx 3.6 \).
- Sonuç: En kısa mesafeler \( AC \) ve \( BC \) kenarlarıdır (\( \sqrt{13} \) birim). En uzun mesafe ise \( AB \) kenarıdır (4 birim). 👉
Örnek 4:
Bir harita üzerinde üç farklı şehir (X, Y, Z) işaretlenmiştir. X ve Y şehirleri arasındaki mesafe 120 km, Y ve Z şehirleri arasındaki mesafe 150 km olarak verilmiştir. Bu üç şehir bir üçgen oluşturduğuna göre, X ve Z şehirleri arasındaki mesafe en az kaç km olabilir? 🗺️
Çözüm:
- Adım 1: Şehirler arasındaki mesafeler bir üçgenin kenar uzunluklarını temsil eder. Üçgen eşitsizliğini kullanarak bilinmeyen mesafeyi bulabiliriz.
- Adım 2: Bilinen kenarlar 120 km ve 150 km'dir. X ve Z şehirleri arasındaki mesafeye \( x \) diyelim.
- Adım 3: Üçgen eşitsizliğine göre, \( |150 - 120| < x < 150 + 120 \) olmalıdır.
- Adım 4: Bu eşitsizlik \( 30 < x < 270 \) olarak bulunur.
- Adım 5: Soru, X ve Z şehirleri arasındaki mesafenin en az kaç km olabileceğini sorduğundan, eşitsizliğin alt sınırına bakmalıyız.
- Sonuç: X ve Z şehirleri arasındaki mesafe en az 30 km'den fazla olmalıdır. Tam sayı olarak sorulmadığı için, teorik olarak 30 km'ye çok yakın bir değer olabilir. Ancak genellikle bu tür sorularda tam sayı değerler veya "en az kaç km olmalıdır" gibi ifadelerle minimum tam sayı değeri kastedilir. Eğer minimum tam sayı sorulsaydı cevap 31 olurdu. 📌
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( |AC| = y \) cm'dir. Bu üçgenin \( \hat{B} \) açısının geniş açı \( (\hat{B} > 90^\circ) \) olduğu biliniyor. Buna göre \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. 📐
Çözüm:
- Adım 1: Öncelikle üçgen eşitsizliğini kullanarak \( y \) için genel bir aralık bulalım: \( |10 - 7| < y < 10 + 7 \), yani \( 3 < y < 17 \).
- Adım 2: Geniş açı bilgisi, kosinüs teoremi ile ilişkilidir. Ancak 9. Sınıf müfredatında kosinüs teoremi doğrudan kullanılmasa da, geniş açının karşısındaki kenarın diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olması gerektiği bilgisi üçgen eşitsizliğinin bir uzantısı olarak düşünülebilir.
- Adım 3: Geniş açının \( \hat{B} \) olduğu durumda, \( \hat{B} \) açısının karşısındaki \( AC \) kenarının uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür. Yani, \( y^2 > 7^2 + 10^2 \) olmalıdır.
- Adım 4: \( y^2 > 49 + 100 \implies y^2 > 149 \).
- Adım 5: \( y \) pozitif bir uzunluk olduğundan, \( y > \sqrt{149} \) olmalıdır. \( \sqrt{149} \) yaklaşık olarak \( 12.2 \) civarındadır.
- Adım 6: Hem üçgen eşitsizliği \( (3 < y < 17) \) hem de geniş açı koşulu \( (y > \sqrt{149} \approx 12.2) \) birleştirildiğinde, \( y \) için geçerli aralık \( \sqrt{149} < y < 17 \) olur.
- Sonuç: \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerleri 13, 14, 15, 16'dır. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( |AB| = x \) cm, \( |BC| = x+3 \) cm ve \( |AC| = x+5 \) cm'dir. Bu üçgenin bir dar açılı üçgen olduğu biliniyor. Buna göre \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Adım 1: Öncelikle üçgen eşitsizliğini uygulayarak \( x \) için geçerli aralığı bulalım. En kısa kenar \( x \), en uzun kenar \( x+5 \) olacaktır.
- Adım 2: Üçgen eşitsizliği: \( |(x+3) - x| < x+5 < (x+3) + x \).
- Adım 3: Bu eşitsizlik \( 3 < x+5 < 2x+3 \) olur.
- Adım 4: İki ayrı eşitsizlik elde ederiz:
- \( 3 < x+5 \implies x > -2 \) (Uzunluklar pozitif olduğu için \( x>0 \) zaten sağlanır.)
- \( x+5 < 2x+3 \implies 2 < x \).
- Adım 5: Dolayısıyla üçgen eşitsizliğinden \( x > 2 \) elde ederiz.
- Adım 6: Üçgenin dar açılı olması için, en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olmalıdır. En uzun kenar \( x+5 \)'tir.
- Adım 7: \( (x+5)^2 < x^2 + (x+3)^2 \).
- Adım 8: Eşitsizliği açalım: \( x^2 + 10x + 25 < x^2 + (x^2 + 6x + 9) \).
- Adım 9: Sadeleştirelim: \( x^2 + 10x + 25 < 2x^2 + 6x + 9 \).
- Adım 10: Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 0 < x^2 - 4x - 16 \).
- Adım 11: \( x^2 - 4x - 16 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım. Diskriminant \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(-16) = 16 + 64 = 80 \).
- Adım 12: Kökler \( x = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5} \).
- Adım 13: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \) olduğundan, kökler yaklaşık olarak \( 2 + 2(2.236) = 2 + 4.472 = 6.472 \) ve \( 2 - 4.472 = -2.472 \) olur.
- Adım 14: \( x^2 - 4x - 16 > 0 \) eşitsizliği için, \( x > 2 + 2\sqrt{5} \approx 6.472 \) veya \( x < 2 - 2\sqrt{5} \approx -2.472 \) olmalıdır.
- Adım 15: \( x \) bir uzunluk olduğu için pozitif olmalıdır. Dolayısıyla \( x > 2 + 2\sqrt{5} \) olmalıdır.
- Adım 16: Hem \( x > 2 \) hem de \( x > 6.472 \) koşullarını birleştirirsek, \( x > 6.472 \) elde ederiz.
- Sonuç: \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri 7, 8, 9, ... şeklinde devam eder. Soruda genellikle belirli bir üst sınır verilir veya en küçük tam sayı değeri sorulur. Eğer "en küçük tam sayı değeri" sorulsaydı cevap 7 olurdu. Bu soruda \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı sonsuzdur. Ancak eğer bir üst sınır olsaydı (örneğin, bir sonraki soruda olduğu gibi), o zaman toplam hesaplanabilirdi. 💡
Örnek 7:
Bir bisiklet tamircisi, farklı uzunluklardaki üç bisiklet zincirini birleştirerek daha uzun bir zincir yapacaktır. Elinde \( 25 \) cm, \( 30 \) cm ve \( x \) cm uzunluğunda üç zincir bulunmaktadır. Bu üç zincir birleştirildiğinde bir üçgen oluşturacak şekilde bir araya getirilemiyorsa, \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🚴
Çözüm:
- Adım 1: Zincirlerin birleştirildiğinde bir üçgen oluşturamaması durumu, üçgen eşitsizliğinin sağlanmadığı anlamına gelir.
- Adım 2: Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır. Eğer bu şartlar sağlanmazsa üçgen oluşmaz.
- Adım 3: Bilinen kenarlar 25 cm ve 30 cm'dir. \( x \) cm'lik zincir için üçgen eşitsizliğini yazalım: \( |30 - 25| < x < 30 + 25 \), yani \( 5 < x < 55 \).
- Adım 4: Zincirlerin bir üçgen oluşturamaması için \( x \)'in bu aralıkta olmaması gerekir. Yani, \( x \le 5 \) veya \( x \ge 55 \) olmalıdır.
- Adım 5: Soruda \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı soruluyor. Ancak \( x \ge 55 \) durumu sonsuza kadar gidebilir. Bu tür sorularda genellikle ek bir kısıtlama (örneğin, toplam uzunluğun bir sınırı) bulunur veya "en büyük/en küçük" gibi ifadeler kullanılır.
- Adım 6: Eğer soruda "üç zincir birleştirildiğinde en fazla kaç cm'lik bir zincir elde edilemez" gibi bir ifade olsaydı, o zaman \( x \ge 55 \) durumunu değerlendirirdik.
- Adım 7: Bu haliyle, \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{55, 56, 57, ... \} \) kümesidir. Bu kümenin toplamı sonsuzdur.
- Sonuç: Sorunun tam olarak anlaşılabilmesi için ek bir kısıtlama gerekmektedir. Eğer soruda "toplam uzunluğun 100 cm'den az olması şartıyla" gibi bir ek bilgi olsaydı, o zaman toplam hesaplanabilirdi. Bu haliyle cevap sonsuzdur. ⚠️
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 45^\circ \), \( \hat{B} = 60^\circ \) ve \( \hat{C} = 75^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunluklarını en uzun kenardan en kısa kenara doğru sıralayınız. 📏
Çözüm:
- Adım 1: Üçgenin açıları verilmiş. Açıların ölçülerini karşılaştıralım: \( \hat{A} (45^\circ) < \hat{B} (60^\circ) < \hat{C} (75^\circ) \).
- Adım 2: Üçgenlerde büyük açının karşısındaki kenarın daha uzun olduğu kuralını hatırlayalım.
- Adım 3: En büyük açı \( \hat{C} \) olduğundan, onun karşısındaki \( c \) kenarı (yani \( |AB| \)) en uzundur.
- Adım 4: En küçük açı \( \hat{A} \) olduğundan, onun karşısındaki \( a \) kenarı (yani \( |BC| \)) en kısadır.
- Adım 5: Ortadaki açı \( \hat{B} \) olduğundan, onun karşısındaki \( b \) kenarı (yani \( |AC| \)) ortanca uzunluktadır.
- Sonuç: Kenar uzunlukları en uzundan en kısaya doğru \( c > b > a \) şeklinde sıralanır. Yani, \( |AB| > |AC| > |BC| \). ✅
Örnek 9:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini atmak için üç farklı uzunlukta betonarme demir çubuğu kullanacaktır. Bu çubukların uzunlukları \( 12 \) metre, \( 15 \) metre ve \( y \) metre olarak belirlenmiştir. Bu üç çubuğun bir araya gelerek bir üçgen oluşturması gerekmektedir. Buna göre, \( y \) metre uzunluğundaki çubuğun alabileceği en kısa tam sayı değeri kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
- Adım 1: Betonarme demir çubuklarının uzunlukları bir üçgenin kenarlarını temsil etmektedir.
- Adım 2: Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Adım 3: Bilinen kenarlar \( 12 \) m ve \( 15 \) m'dir. \( y \) metre uzunluğundaki çubuğun alabileceği değerleri bulmak için eşitsizliği kuralım: \( |15 - 12| < y < 15 + 12 \).
- Adım 4: Bu eşitsizlik \( 3 < y < 27 \) olarak bulunur.
- Adım 5: Soru, \( y \)'nin alabileceği en kısa tam sayı değerini sormaktadır. Eşitsizliğe göre \( y \), \( 3 \)'ten büyük olmalıdır.
- Sonuç: \( y \)'nin alabileceği en kısa tam sayı değeri 4 metredir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerin-aci-kenar-ozellikleri/sorular