📄 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerin açı kenar özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:

\((2x+10) + (x+30) + (3x-20) = 180\)

\(6x + 20 = 180\)

\(6x = 160\)

\(x = \frac{160}{6} = \frac{80}{3}\)

Şimdi açıların ölçülerini bulalım:

\(m(\hat{A}) = 2(\frac{80}{3}) + 10 = \frac{160}{3} + \frac{30}{3} = \frac{190}{3}^\circ \approx 63.33^\circ\)

\(m(\hat{B}) = \frac{80}{3} + 30 = \frac{80}{3} + \frac{90}{3} = \frac{170}{3}^\circ \approx 56.67^\circ\)

\(m(\hat{C}) = 3(\frac{80}{3}) - 20 = 80 - 20 = 60^\circ\)

Açıları küçükten büyüğe sıralarsak:

\(m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A})\)

\(\frac{170}{3}^\circ < 60^\circ < \frac{190}{3}^\circ\)

Büyük açı karşısında büyük kenar bulunacağından, kenar uzunlukları küçükten büyüğe doğru:

\(b < c < a\) şeklinde sıralanır.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle her iki üçgenin de üçüncü açılarını bulalım ve kenar sıralamalarını yapalım.



\(\triangle ABC\) için:

\(m(\hat{ABC}) = 180^\circ - (m(\hat{BAC}) + m(\hat{BCA})) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

Açıların sıralaması: \(m(\hat{BAC}) < m(\hat{BCA}) < m(\hat{ABC}) \Rightarrow 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ\).

Bu açılara karşı gelen kenarların sıralaması (küçükten büyüğe): \(BC < AB < AC\).



\(\triangle ADC\) için:

\(m(\hat{ADC}) = 180^\circ - (m(\hat{CAD}) + m(\hat{ACD})) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

Açıların sıralaması: \(m(\hat{ACD}) < m(\hat{CAD}) = m(\hat{ADC}) \Rightarrow 40^\circ < 70^\circ = 70^\circ\).

Bu açılara karşı gelen kenarların sıralaması (küçükten büyüğe):

\(AD\) (karşısında \(40^\circ\)) < \(CD\) (karşısında \(70^\circ\)) = \(AC\) (karşısında \(70^\circ\)).

Yani \(AD < CD = AC\).



Şimdi her iki üçgenden elde ettiğimiz sıralamaları birleştirelim:

1. \(BC < AB < AC\)

2. \(AD < CD = AC\)



Bu iki sıralamadan, \(AC\) kenarının her iki üçgende de en uzun kenarlardan biri olduğunu görüyoruz (\(AC\) ve \(CD\) birbirine eşit ve en uzun). \(AD\) ise en küçük açının karşısında olduğu için genel olarak en kısa kenardır.

Birleştirilmiş sıralama:

\(AD < BC < AB < AC = CD\).

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruyu çözmek için iki temel kuralı kullanmalıyız:



1. Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.

\(|BC - AB| < AC < BC + AB\)

\(|12 - 10| < x < 12 + 10\)

\(2 < x < 22\)



2. Dar Açılı Üçgenlerde Kenar Bağıntısı: Eğer bir üçgende bir açı dar açı ise, bu açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olmalıdır.

\(m(\hat{B})\) dar açı olduğu için \(AC^2 < AB^2 + BC^2\) olmalıdır.

\(x^2 < 10^2 + 12^2\)

\(x^2 < 100 + 144\)

\(x^2 < 244\)

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

\(x < \sqrt{244}\)

\(\sqrt{225} = 15\) ve \(\sqrt{256} = 16\) olduğundan, \(\sqrt{244}\) yaklaşık olarak \(15.6\) civarındadır.

Yani \(x < 15.6\).



Her iki koşulu birleştirelim:

\(2 < x < 22\) ve \(x < 15.6\)

Bu iki eşitsizliği sağlayan ortak aralık \(2 < x < 15.6\) olur.



\(x\)'in alabileceği tam sayı değerleri bu aralıktaki sayılardır:

\(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\).