🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Tales Öklid Pisagor Ve Açı Konusu Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Tales Öklid Pisagor Ve Açı Konusu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 50^\circ \), B açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre C açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanacağız. 💡
- Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
- Verilen açılar: \( m(\angle A) = 50^\circ \) ve \( m(\angle B) = 70^\circ \).
- C açısının ölçüsünü \( m(\angle C) \) olarak gösterelim.
- Formülümüz: \( m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + m(\angle C) = 180^\circ \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 120^\circ + m(\angle C) = 180^\circ \)
- \( m(\angle C) \) değerini bulmak için \( 120^\circ \) yi karşıya atalım: \( m(\angle C) = 180^\circ - 120^\circ \)
- Sonuç: \( m(\angle C) = 60^\circ \) dir. ✅
Örnek 2:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. 📌
- Dik kenarların uzunlukları \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm olarak verilmiştir.
- Hipotenüs uzunluğunu \( c \) ile gösterelim.
- Pisagor Teoremi'nin formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Karelerini alalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 100 = c^2 \)
- \( c \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm'dir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik H noktasına değmektedir. Eğer BH uzunluğu 4 cm ve HC uzunluğu 9 cm ise, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? (A açısı \( 90^\circ \) dir.) 📐
Çözüm:
Bu problemde Öklid Bağıntıları'ndan yükseklik bağıntısını kullanacağız. Bu bağıntı, dik açının olduğu köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler. 💡
- Verilenler: \( BH = p = 4 \) cm ve \( HC = k = 9 \) cm.
- AH yüksekliğini \( h \) ile gösterelim.
- Öklid Yükseklik Bağıntısı formülü: \( h^2 = p \cdot k \)
- Değerleri yerine koyalım: \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 36 \)
- \( h \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{36} \)
- Sonuç: \( h = 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde (A açısı \( 90^\circ \)), A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik H noktasına değmektedir. Eğer BH uzunluğu 3 cm ve BC uzunluğu (hipotenüs) 12 cm ise, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid Bağıntıları'ndan dik kenar bağıntısını kullanacağız. Bu bağıntı, bir dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı kendine yakın parça ile tüm hipotenüsün çarpımına eşit olduğunu söyler. 📌
- Verilenler: \( BH = p = 3 \) cm ve \( BC = a = 12 \) cm.
- AB kenarını \( c \) ile gösterelim.
- Öklid Dik Kenar Bağıntısı formülü: \( c^2 = p \cdot a \)
- Değerleri yerine koyalım: \( c^2 = 3 \cdot 12 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( c^2 = 36 \)
- \( c \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{36} \)
- Sonuç: \( AB = c = 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir. AD uzunluğu 4 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 5 cm olarak verilmiştir. Buna göre EC uzunluğu kaç cm'dir? ↔️
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Temel Orantı Teoremi'ni (Tales Teoremi'nin bir uygulaması) kullanacağız. Eğer bir üçgende bir kenara paralel bir doğru çekilirse, bu doğru diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır. 👉
- Verilenler: \( AD = 4 \) cm, \( DB = 6 \) cm, \( AE = 5 \) cm.
- EC uzunluğunu \( x \) ile gösterelim.
- Temel Orantı Teoremi'ne göre: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \)
- Kesirleri sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{5}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot x = 3 \cdot 5 \)
- İşlemi tamamlayalım: \( 2x = 15 \)
- \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{15}{2} \)
- Sonuç: \( EC = 7.5 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir mühendis, bir binanın çatısını tasarlarken şekildeki gibi bir dik üçgen biçiminde destek kirişleri kullanmıştır. Çatının sol kenarının uzunluğu 15 metre, çatı tabanının bir kısmının uzunluğu 9 metre ve dik açıya sahip olduğu bilinen bir noktadan tavanın diğer kısmına olan uzaklık \( x \) metredir. Bu durumda \( x \) kaç metredir? (Çatının sol kenarı ile tabanı arasında dik açı bulunmaktadır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, çatının kenarları bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Ayrıca, çatı tabanının 9 metre olan kısmı ile \( x \) metrelik kısmı, dik kenarlardan birini oluşturmaktadır. 💡
- Dik üçgenin hipotenüsü çatının sol kenarıdır: \( c = 15 \) metre.
- Dik kenarlardan biri (tabanın bir kısmı): \( a = 9 \) metre.
- Diğer dik kenar (tabanın tamamı) ise \( b = 9 + x \) metre olarak verilmiştir.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 9^2 + (9+x)^2 = 15^2 \)
- Karelerini alalım: \( 81 + (9+x)^2 = 225 \)
- \( (9+x)^2 \) ifadesini yalnız bırakalım: \( (9+x)^2 = 225 - 81 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( (9+x)^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( 9+x = \sqrt{144} \)
- \( 9+x = 12 \)
- \( x \) değerini bulmak için 9'u karşıya atalım: \( x = 12 - 9 \)
- Sonuç: \( x = 3 \) metredir. ✅
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A, B, C şehirleri ve bu şehirleri birbirine bağlayan yollar gösterilmiştir. B şehrinden geçen ve AC yoluna paralel olan bir yol, AB yolunu D noktasında, BC yolunu E noktasında kesmektedir. Eğer AD yolu 60 km, DB yolu 40 km ve BE yolu 50 km ise, EC yolu kaç km'dir? (Bu durum bir üçgen ve paralel doğru kesimi olarak düşünülebilir.) 🗺️
Çözüm:
Bu problem, Tales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) bir uygulamasıdır. Paralel doğrular, üçgenin kenarlarını orantılı olarak böler. 📌
- Verilenler: \( AD = 60 \) km, \( DB = 40 \) km, \( BE = 50 \) km.
- EC yolunun uzunluğunu \( x \) ile gösterelim.
- Paralel yollar nedeniyle oluşan orantı: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \). Ancak burada B noktasından geçen yol BC'yi E'de kesiyor. Dolayısıyla, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) yerine üçgen ADE ve ABC benzerliğini kullanabiliriz. Daha basit olarak, Tales Teoremi'nin doğrudan uygulaması şöyledir: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \). Ancak bu soruda E noktası BC üzerindedir ve DE, AC'ye paraleldir. Bu durumda benzerlikten gelen orantı \( \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} \) veya \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) olmalıdır. Soruda B'den geçen paralel yol BE uzunluğunu vermiş. Bu durumda \( \frac{BD}{AD} = \frac{BE}{EC} \) bağıntısı daha uygun olacaktır.
- Orantıyı kuralım: \( \frac{DB}{AD} = \frac{BE}{EC} \)
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{40}{60} = \frac{50}{x} \)
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{50}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot x = 3 \cdot 50 \)
- İşlemi tamamlayalım: \( 2x = 150 \)
- \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{150}{2} \)
- Sonuç: \( EC = 75 \) km'dir. ✅
Örnek 8:
Bir itfaiyeci, yanan bir binaya tırmanmak için 10 metrelik bir merdiveni kullanmaktadır. Merdivenin ayağını binadan 6 metre uzağa yerleştirmiştir. Merdivenin ucu binanın zemininden ne kadar yüksekliğe ulaşır? (Merdiven, yer ve bina duvarı arasında bir dik üçgen oluştuğunu varsayınız.) 🚒
Çözüm:
Bu senaryo, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki en klasik uygulamalarından biridir. Merdiven hipotenüsü, bina duvarı ve yer dik kenarları oluşturur. 🪜
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs): \( c = 10 \) metre.
- Merdivenin ayağının binadan uzaklığı (bir dik kenar): \( a = 6 \) metre.
- Merdivenin ulaştığı yükseklik (diğer dik kenar) \( b \) olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
- Karelerini alalım: \( 36 + b^2 = 100 \)
- \( b^2 \) ifadesini yalnız bırakalım: \( b^2 = 100 - 36 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 64 \)
- \( b \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{64} \)
- Sonuç: Merdivenin ucu binanın zemininden \( 8 \) metre yüksekliğe ulaşır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-tales-oklid-pisagor-ve-aci-konusu/sorular