💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde kenar uzunlukları Çözümlü Örnekler

Üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır. Bu kurala "Üçgen Eşitsizliği" denir.
Üçgen eşitsizliğini AC kenarı (x diyelim) için uygulayalım:

• \( |10 - 7| < x < (10 + 7) \)
• \( 3 < x < 17 \)

Bu aralıkta olmayan bir değer olamaz.
Şıklara baktığımızda:

• A) 4 cm: 3 ile 17 arasındadır. Olabilir. ✅
• B) 5 cm: 3 ile 17 arasındadır. Olabilir. ✅
• C) 12 cm: 3 ile 17 arasındadır. Olabilir. ✅
• D) 16 cm: 3 ile 17 arasındadır. Olabilir. ✅

Düzeltme: Soruda bir hata olmuş. Şıklar arasında olamayacak bir değer olmalı. Eğer şıklar şöyle olsaydı: A) 4, B) 5, C) 12, D) 18. O zaman 18 cm olamazdı. Mevcut şıklarla hepsi olabilir.
Önemli Not: Üçgen eşitsizliği, bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki temel ilişkiyi belirler. Bu kuralı unutmamak çok önemlidir! 💡

Üçgen eşitsizliğini kullanarak DF kenarının (y diyelim) alabileceği değerleri bulalım:

• \( |12 - 8| < y < (12 + 8) \)
• \( 4 < y < 20 \)

DF kenarının alabileceği tam sayılar 5, 6, 7, ..., 19'dur.
Bu sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi formülünü kullanabiliriz veya terim sayısını bulup ortalamayla çarpabiliriz.
Terim sayısı: \( (19 - 5) + 1 = 15 \)
Toplam: \( \frac{\text{Terim Sayısı} \times (\text{İlk Terim} + \text{Son Terim})}{2} \)
Toplam: \( \frac{15 \times (5 + 19)}{2} = \frac{15 \times 24}{2} = 15 \times 12 = 180 \)
Yani DF kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 180'dir. 💯

Bu problem, üçgen eşitsizliği prensibini günlük hayata uyarlar.
Üçgenin kenar uzunlukları \(a\), \(b\), \(c\) olsun. Elimizdeki parçalar \(a = 10\) m ve \(b = 15\) m. Üçüncü parça \(c\) olsun.
Üçgen eşitsizliğine göre:

• \( |b - a| < c < (b + a) \)
• \( |15 - 10| < c < (15 + 10) \)
• \( 5 < c < 25 \)

Üçüncü çit parçasının uzunluğu \(c\), 5 metreden büyük ve 25 metreden küçük olmalıdır. Soruda "en az kaç metre olmalıdır" diye sorulduğu için, \(c\) için en küçük tam sayı değerini arıyoruz.
Bu değere göre, \(c\) en az 6 metre olmalıdır. 📏
İpucu: "En az" veya "en fazla" gibi ifadeler, eşitsizliğin sınır değerlerini kontrol etmemiz gerektiğini gösterir. 👉

Öncelikle üçgenin çevresini kullanarak \(x\) değerini bulalım.
Çevre = KL + LM + KM
\( 30 = (x+2) + (2x-1) + (x+5) \)
\( 30 = 4x + 6 \)
\( 30 - 6 = 4x \)
\( 24 = 4x \)
\( x = \frac{24}{4} = 6 \)
Şimdi \(x\) değerini kenar uzunluklarında yerine koyalım:

• KL = \( x+2 = 6+2 = 8 \) cm
• LM = \( 2x-1 = 2(6)-1 = 12-1 = 11 \) cm
• KM = \( x+5 = 6+5 = 11 \) cm

Kenar uzunlukları 8 cm, 11 cm ve 11 cm'dir. Bu kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

• \( |11 - 8| < 11 < (11 + 8) \)
• \( 3 < 11 < 19 \)

Eşitsizlik sağlanmaktadır. ✅
Soruda KM kenarının uzunluğu soruluyor.
KM = \( 11 \) cm. 🌟

Bu, üçgen eşitsizliğinin gerçek dünya problemlerinde nasıl kullanıldığına dair harika bir örnektir.
AC mesafesine \(x\) diyelim. Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:

• \( |BC - AB| < AC < (BC + AB) \)
• \( |150 - 120| < x < (150 + 120) \)
• \( 30 < x < 270 \)

AC mesafesi 30 km'den büyük ve 270 km'den küçüktür. Soruda "en büyük tam sayı değeri" sorulduğu için, bu aralıktaki en büyük tam sayıyı bulmalıyız.
Bu değer 269 km'dir. 🗺️
Anlamı: A ve C şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe, B şehrinden geçmeden doğrudan gidildiğinde 30 km'den fazla ve 270 km'den az olmalıdır.

Üçgen eşitsizliğini her kenar için ayrı ayrı kontrol etmeliyiz.
1. PQ kenarı için:

• \( |QR - PR| < PQ < (QR + PR) \)
• \( |7 - 9| < 5 < (7 + 9) \)
• \( |-2| < 5 < 16 \)
• \( 2 < 5 < 16 \)

Bu eşitsizlik doğrudur. ✅
2. QR kenarı için:

• \( |PQ - PR| < QR < (PQ + PR) \)
• \( |5 - 9| < 7 < (5 + 9) \)
• \( |-4| < 7 < 14 \)
• \( 4 < 7 < 14 \)

Bu eşitsizlik doğrudur. ✅
3. PR kenarı için:

• \( |PQ - QR| < PR < (PQ + QR) \)
• \( |5 - 7| < 9 < (5 + 7) \)
• \( |-2| < 9 < 12 \)
• \( 2 < 9 < 12 \)

Bu eşitsizlik doğrudur. ✅
Her üç kenar için de üçgen eşitsizliği sağlandığı için, bu kenar uzunlukları ile bir üçgen oluşturulabilir. 👍

Üçgen eşitsizliğini kullanarak XZ kenarının (z diyelim) alabileceği değer aralığını bulalım.

• \( |YZ - XY| < XZ < (YZ + XY) \)
• \( |15 - 10| < z < (15 + 10) \)
• \( 5 < z < 25 \)

XZ kenarının alabileceği tam sayılar 6, 7, 8, ..., 24'tür.
Bu tam sayıların sayısını bulmak için:
Terim Sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1
Terim Sayısı = \( 24 - 6 + 1 = 19 \)
Yani XZ kenarının alabileceği 19 farklı tam sayı değeri vardır. 🔢

Bu soru, üçgen eşitsizliğinin geometrik bir tasarım problemine nasıl uygulandığını gösterir.
Üçgenin kenarları \(a\), \(b\), \(c\) olsun. Verilen kenarlar \(a = 12\) m ve \(b = 18\) m. Üçüncü kenar \(c\) olsun.
Üçgen eşitsizliği gereği:

• \( |b - a| < c < (b + a) \)
• \( |18 - 12| < c < (18 + 12) \)
• \( 6 < c < 30 \)

Üçüncü kenarın uzunluğu \(c\), 6 metreden büyük ve 30 metreden küçüktür. Soruda \(c\) bir tam sayı olarak belirtilmiş ve alabileceği farklı değerlerin sayısı soruluyor.
Alabileceği tam sayılar: 7, 8, 9, ..., 29.
Bu sayıların adedini bulmak için:
Sayı Adedi = Son Terim - İlk Terim + 1
Sayı Adedi = \( 29 - 7 + 1 = 23 \)
Yani üçüncü kenarın uzunluğu için 23 farklı tam sayı değeri vardır. 📐