💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Çözümlü Örnekler

• 👉 Birinci Kenar (K): ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm ve DEF üçgeninde \( |DE| = 5 \) cm'dir. Bu kenarlar birbirine eşittir. \( |AB| = |DE| \).
• 👉 Açı (A): ABC üçgeninde \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) ve DEF üçgeninde \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \)'dir. Bu açılar birbirine eşittir ve eş olan kenarlar arasındadır. \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \).
• 👉 İkinci Kenar (K): ABC üçgeninde \( |BC| = 8 \) cm ve DEF üçgeninde \( |EF| = 8 \) cm'dir. Bu kenarlar birbirine eşittir. \( |BC| = |EF| \).

✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları birbirine eşittir. Bu durumda, KAK Eşlik Teoremi gereği, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir.
Bunu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterebiliriz. 💡

• 👉 Birinci Açı (A): KLM üçgeninde \( m(\widehat{K}) = 70^\circ \) ve PRS üçgeninde \( m(\widehat{P}) = 70^\circ \)'dir. Bu açılar birbirine eşittir. \( m(\widehat{K}) = m(\widehat{P}) \).
• 👉 Kenar (K): KLM üçgeninde \( |KL| = 7 \) cm ve PRS üçgeninde \( |PR| = 7 \) cm'dir. Bu kenarlar birbirine eşittir ve eş olan açılar arasındadır. \( |KL| = |PR| \).
• 👉 İkinci Açı (A): KLM üçgeninde \( m(\widehat{L}) = 50^\circ \) ve PRS üçgeninde \( m(\widehat{R}) = 50^\circ \)'dir. Bu açılar birbirine eşittir. \( m(\widehat{L}) = m(\widehat{R}) \).

✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasında kalan kenarları birbirine eşittir. Bu durumda, AKA Eşlik Teoremi gereği, KLM üçgeni ile PRS üçgeni eştir.
Bunu \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) şeklinde gösterebiliriz. 💡

• 👉 Birinci Kenar (K): XYZ üçgeninde \( |XY| = 6 \) cm ve TUV üçgeninde \( |TU| = 6 \) cm'dir. Bu kenarlar birbirine eşittir. \( |XY| = |TU| \).
• 👉 İkinci Kenar (K): XYZ üçgeninde \( |YZ| = 9 \) cm ve TUV üçgeninde \( |UV| = 9 \) cm'dir. Bu kenarlar birbirine eşittir. \( |YZ| = |UV| \).
• 👉 Üçüncü Kenar (K): XYZ üçgeninde \( |ZX| = 12 \) cm ve TUV üçgeninde \( |VT| = 12 \) cm'dir. Bu kenarlar birbirine eşittir. \( |ZX| = |VT| \).

✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı tüm kenarları birbirine eşittir. Bu durumda, KKK Eşlik Teoremi gereği, XYZ üçgeni ile TUV üçgeni eştir.
Bunu \( \triangle XYZ \cong \triangle TUV \) şeklinde gösterebiliriz. 💡

• 👉 Birinci Kenar (K): Soruda \( |AB| = |AD| \) olarak verilmiştir. Bu kenarlar eşittir.
• 👉 İkinci Kenar (K): Soruda \( |BC| = |CD| \) olarak verilmiştir. Bu kenarlar da eşittir.
• 👉 Üçüncü Kenar (K): AC kenarı hem \( \triangle ABC \) hem de \( \triangle ADC \) üçgeninin ortak kenarıdır. Dolayısıyla \( |AC| = |AC| \). Bu kenar da eşittir.

✅ Her iki üçgenin karşılıklı üç kenarı da birbirine eşit olduğundan, KKK Eşlik Teoremi gereği \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \) olur.
Bu eşlikten yola çıkarak, karşılıklı açıların da eşit olduğunu söyleyebiliriz, örneğin \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{D}) \) ve \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) \). 📌

• 👉 Birinci Kenar (K): Soruda \( |AD| = |BD| \) olarak verilmiştir. Ancak bu bilgi doğrudan iki üçgenin eşliğini ispatlamak için yeterli değildir, çünkü \( |BD| \) \( \triangle ABD \) üçgeninin bir kenarıyken, \( |AD| \) her iki üçgenin de ortak kenarıdır.
  Soruda bir yazım hatası olup \( |AD| \) ortak kenar olarak alınacaktır.
  Öyleyse, \( |AD| \) kenarı her iki üçgen için de ortak kenardır. Yani \( |AD| = |AD| \).
• 👉 Açı (A): Soruda \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \) olarak verilmiştir. Bu açılar birbirine eşittir ve ortak kenar \( AD \) ile diğer kenarlar arasında yer almaktadır.
• 👉 İkinci Kenar (K): Bu noktada, KAK eşlik için \( |AB| = |AC| \) olması gerektiğini düşünmeliyiz. Ancak bu bilgi verilmemiştir.
  Soruyu tekrar gözden geçirelim: \( |AD| = |BD| \) ve \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \).
  Burada \( AD \) ortak kenardır.
  Eğer verilen \( |AD| = |BD| \) bilgisi yerine \( |AB| = |AC| \) verilseydi KAK eşlik kolayca gösterilirdi.
  Ancak verilen bilgilerle KAK'ı doğrudan uygulayamayız.

💡 Düzeltme ve Yeniden Çözüm (Sorunun doğru anlaşılması):
Eğer soruda kastedilen, \( AD \) kenarının hem \( \triangle ABD \) hem de \( \triangle ACD \) için bir kenar olduğu ve bu iki üçgenin eşliği ise, verilen \( |AD| = |BD| \) bilgisi yerine başka bir bilgiye ihtiyacımız var.
Muhtemelen soruda kastedilen, \( AD \) kenarının ortak kenar olduğu ve \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \) bilgisinin kullanılmasıdır.
Bu durumda, eşliği AKA veya KAK ile sağlamak için bir kenar veya bir açı daha eşit olmalıdır.
Eğer \( |AB| = |AC| \) verilseydi, KAK eşliği ile \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olurdu.
Eğer \( m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{ADC}) \) verilseydi, AKA eşliği ile \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olurdu.
Verilen \( |AD| = |BD| \) bilgisi, \( \triangle ABD \) üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir, yani \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABD}) \).
Bu durumda \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{CAD}) \) elde ederiz.
Şimdi \( \triangle ABD \) ve \( \triangle ACD \) üçgenlerine bakalım:

• \( AD \) ortak kenar.
• \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \) (verilmiş).
• \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{CAD}) \) (çıkarım).

Bu bilgilerle doğrudan bir eşlik aksiyomu uygulayamayız.
Ancak, eğer \( AD \) açıortay ise ve \( AD \perp BC \) ise o zaman üçgenler eş olurdu.
Eğer soruda bir eksiklik yoksa ve verilenler buysa, \( \triangle ABD \) ve \( \triangle ACD \) üçgenleri verilen bilgilerle her zaman eş olmayabilir.
Ancak, genellikle bu tür sorularda ya bir ortak kenar, ya bir ortak açı, ya da başka bir eşlik kriteri için yeterli bilgi verilir.

💡 Tipik bir eşlik sorusu varsayımıyla çözüm:
Genellikle bu tarz sorularda \( AD \) hem açıortay hem de ortak kenar ise, \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olması için \( |AB| = |AC| \) veya \( m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{ADC}) \) olması gerekir.
Eğer soru hatalı değilse, \( |AD| = |BD| \) bilgisi yerine \( |AB| = |AC| \) verilmiş olmalıydı.
Varsayım: Soruda aslında \( |AB| = |AC| \) ve \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \) verilmiştir, \( AD \) ise ortak kenardır.

• 👉 Kenar (K): \( |AB| = |AC| \) (Varsayılan bilgi).
• 👉 Açı (A): \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \) (Verilmiş).
• 👉 Kenar (K): \( |AD| \) ortak kenardır.

✅ Bu varsayımla, KAK Eşlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olur.
Eğer sorudaki \( |AD|=|BD| \) bilgisi doğru ise ve başka bir bilgi yoksa, üçgenler her zaman eş olmaz. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin tepe açısından tabana indirilen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yükseklik olduğu için o zaman eşlik sağlanırdı. Yani, \( \triangle ABC \) ikizkenar ise \( |AB|=|AC| \) ve \( AD \) açıortay ise, o zaman \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olurdu.

Sonuç: Verilen bilgilerle (özellikle \( |AD| = |BD| \) ile) doğrudan eşlik ispatı yapılamaz. Ancak eğer \( AD \) ortak kenar ve \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) \) ile birlikte \( |AB| = |AC| \) (KAK) veya \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ACD}) \) (AKA) gibi ek bir bilgi olsaydı, eşlik ispatlanırdı. Sorunun verilen haliyle 9. sınıf müfredatında doğrudan eşlik ispatına yönelik değildir.
Bu tür sorularda genellikle ya \( |AB|=|AC| \) verilir, ya da \( AD \) hem açıortay hem de yükseklik/kenarortay olduğu ima edilir. 📌

• 👉 Adım 1: İlgili Üçgenleri Belirleme
  Soruda \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEC \) üçgenleri üzerinde çalışacağız.
• 👉 Adım 2: Verilen Bilgileri Kullanma
  
  • \( |AC| = |CD| \) olarak verilmiştir. Bu, iki üçgenin birer kenarının eşit olduğunu gösterir.
  • \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{CDE}) \) olarak verilmiştir. Bu da iki üçgenin birer açısının eşit olduğunu gösterir.
  • \( \widehat{ACB} \) ve \( \widehat{DCE} \) açıları ters açılardır. Ters açılar birbirine eşit olduğu için \( m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) \) diyebiliriz.
• 👉 Adım 3: Eşlik Kriterini Uygulama
  Şimdi \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEC \) üçgenlerinde elimizdeki bilgilere bakalım:
  • Açı (A): \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{CDE}) \) (Verilmiş)
  • Kenar (K): \( |AC| = |CD| \) (Verilmiş)
  • Açı (A): \( m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) \) (Ters açılar)
  Bu durumda, Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \cong \triangle EDC \) (sıralamaya dikkat!).
• 👉 Adım 4: Eşliğin Sonuçlarını Kullanma
  Üçgenler eş olduğuna göre, karşılıklı kenarlarının uzunlukları da eşit olmalıdır.
  Buna göre, \( |AB| \) kenarının karşılığı \( |DE| \) kenarıdır.
  Yani, \( |AB| = |DE| \).

✅ Sonuç olarak, mühendisin \( |AB| \) uzunluğunu bulmak için \( |DE| \) uzunluğunu ölçmesi gerekir.
Bu yöntem, doğrudan ulaşılamayan mesafeleri ölçmek için sıkça kullanılan bir tekniktir. 💡

• 👉 Birinci Üçgen Desteği: Kenar uzunlukları \( |k_1| = 3 \) m, \( |k_2| = 4 \) m, \( |k_3| = 5 \) m.
• 👉 İkinci Üçgen Desteği: Kenar uzunlukları \( |k'_1| = 3 \) m, \( |k'_2| = 4 \) m, \( |k'_3| = 5 \) m.

Şimdi bu iki üçgenin kenarlarını karşılaştıralım:

• 👉 Birinci Kenar (K): Birinci üçgenin 3 metrelik kenarı, ikinci üçgenin 3 metrelik kenarına eşittir.
• 👉 İkinci Kenar (K): Birinci üçgenin 4 metrelik kenarı, ikinci üçgenin 4 metrelik kenarına eşittir.
• 👉 Üçüncü Kenar (K): Birinci üçgenin 5 metrelik kenarı, ikinci üçgenin 5 metrelik kenarına eşittir.

✅ Her iki üçgen desteğinin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durumda, KKK Eşlik Teoremi gereği, mimarın yaptığı bu iki üçgen destek birbirine eştir.
Yani, aynı boyutlarda ve aynı şekilde olacaklardır. Bu da kapıların da aynı boyutlarda olmasını sağlayacaktır. 💡

• 👉 Adım 1: Verilen Bilgileri Not Edelim
  
  • \( |AD| = |AE| \) (Bu, \( \triangle ADE \) üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir, yani \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) \)).
  • \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) (Verilmiş).
  • \( m(\widehat{A}) \) açısı hem \( \triangle ADE \) hem de \( \triangle ABC \) üçgeninin ortak açısıdır.
• 👉 Adım 2: Açıları Karşılaştıralım
  Yukarıdaki bilgilerden hareketle:
  • \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{A}) \) (Ortak açı).
  • \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) (Verilmiş).
  • \( |AD| = |AE| \) olduğundan, \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) \) dir.
  • Bu durumda, \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC}) \) olur.
  Şimdi \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerinin açılarına bakalım:
  • \( m(\widehat{A}) \) ortak açı.
  • \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \).
  • \( m(\widehat{AED}) \) ile \( m(\widehat{ACB}) \) karşılaştırması yapmalıyız.
    Eğer \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \) olsaydı, üçgenlerin tüm açıları eşit olurdu.
    Ancak, \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) \) olduğu için ve \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) verildiği için,
    \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC}) \) olur.
    Bu durumda, \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerinin tüm açıları eşit değildir.
    Yani \( m(\widehat{AED}) \) ile \( m(\widehat{ACB}) \) arasında bir ilişki kuramıyoruz.
• 👉 Adım 3: Eşlik Kriterlerini Değerlendirme
  
  • KKK: Kenar uzunlukları hakkında yeterli bilgi yok.
  • KAK: \( |AD| = |AE| \) ve \( m(\widehat{A}) \) ortak açı. Ancak \( |AB| \) ve \( |AC| \) hakkında bilgi yok. Eşlik için \( |AD| = |AB| \) ve \( |AE| = |AC| \) olması gerekirdi ki bu da \( D \) ve \( B \), \( E \) ve \( C \) noktalarının çakışması anlamına gelir. Bu durumda üçgenler aynı üçgen olurdu.
  • AKA: \( m(\widehat{A}) \) ortak açı. \( |AD| \) ve \( |AB| \) kenarları arasında bir ilişki yok. \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) biliniyor.
    Eğer \( |AD| = |AB| \) olsaydı, AKA eşliği mümkün olabilirdi.

💡 Önemli Not: Verilen bilgiler \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{A}) \) ortak açı olduğu için, bu üçgenlerin benzer olduğunu gösterir.
Ancak eşlik için sadece açılarının eşit olması yetmez, karşılıklı kenarlarının da eşit olması gerekir.

✅ \( |AD| = |AE| \) bilgisi, \( \triangle ADE \) üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir.
\( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{A}) \) ortak açı olduğunda, bu üçgenler benzerdir.
Eş olmaları için, benzerlik oranının 1 olması yani karşılıklı kenarların eşit olması gerekir.
Yani \( |AD| = |AB| \) ve \( |AE| = |AC| \) olması gerekir.
Verilen bilgilerle bu durum sağlanmadığı için \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri her zaman eş değildir, ancak benzerdirler. 📌

• 👉 Dikdörtgenin Özellikleri: Bir dikdörtgende karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir.
  • \( |AB| = |CD| \)
  • \( |BC| = |DA| \)
• 👉 Birinci Kenar (K): \( \triangle ABC \) üçgenindeki \( |AB| \) kenarı ile \( \triangle CDA \) üçgenindeki \( |CD| \) kenarı birbirine eşittir. \( |AB| = |CD| \).
• 👉 İkinci Kenar (K): \( \triangle ABC \) üçgenindeki \( |BC| \) kenarı ile \( \triangle CDA \) üçgenindeki \( |DA| \) kenarı birbirine eşittir. \( |BC| = |DA| \).
• 👉 Üçüncü Kenar (K): AC köşegeni hem \( \triangle ABC \) hem de \( \triangle CDA \) üçgeninin ortak kenarıdır. Dolayısıyla \( |AC| = |CA| \). Bu kenar da eşittir.

✅ Her iki üçgenin karşılıklı üç kenarı da birbirine eşit olduğundan, KKK Eşlik Teoremi gereği \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) olur.
Bu eşlik, dikdörtgenin köşegenlerinin iki eş üçgene ayırdığını gösterir. 💡