🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Ve Benzerlik, Teoremler Ve Algoritmik Problem Çözme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Ve Benzerlik, Teoremler Ve Algoritmik Problem Çözme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
A açısı \( 50^\circ \), B açısı \( 70^\circ \) ve AB kenarı 8 cm'dir.
D açısı \( 50^\circ \), E açısı \( 70^\circ \) ve DE kenarı 8 cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eğer eş iseler, C açısının ölçüsü ile F açısının ölçüsünü bulunuz. 🤔
A açısı \( 50^\circ \), B açısı \( 70^\circ \) ve AB kenarı 8 cm'dir.
D açısı \( 50^\circ \), E açısı \( 70^\circ \) ve DE kenarı 8 cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eğer eş iseler, C açısının ölçüsü ile F açısının ölçüsünü bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Açıları Karşılaştırın
ABC üçgeninde A açısı \( 50^\circ \) ve DEF üçgeninde D açısı \( 50^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \).
ABC üçgeninde B açısı \( 70^\circ \) ve DEF üçgeninde E açısı \( 70^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \). - 👉 Adım 2: Kenarları Karşılaştırın
A ve B açıları arasındaki kenar AB'nin uzunluğu 8 cm'dir.
D ve E açıları arasındaki kenar DE'nin uzunluğu 8 cm'dir.
Yani, \( |AB| = |DE| = 8 \) cm. - 👉 Adım 3: Eşlik Kuralını Uygulayın
İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eşit olduğundan, A.K.A. Eşlik Kuralı'na göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'tir. ✅ - 👉 Adım 4: Üçüncü Açıları Bulun
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
ABC üçgeninde C açısı: \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
DEF üçgeninde F açısı: \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (m(\widehat{D}) + m(\widehat{E})) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). - 📌 Sonuç: Üçgenler eştir ve \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 60^\circ \) 'dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
ABC üçgeninde A açısı \( 40^\circ \), B açısı \( 60^\circ \).
DEF üçgeninde D açısı \( 40^\circ \), F açısı \( 80^\circ \).
Eğer BC kenarı 10 cm ve EF kenarı 5 cm ise, bu üçgenlerin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer iseler, benzerlik oranını bulunuz. 💡
ABC üçgeninde A açısı \( 40^\circ \), B açısı \( 60^\circ \).
DEF üçgeninde D açısı \( 40^\circ \), F açısı \( 80^\circ \).
Eğer BC kenarı 10 cm ve EF kenarı 5 cm ise, bu üçgenlerin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer iseler, benzerlik oranını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Üçüncü Açıları Bulun
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
ABC üçgeninde C açısı: \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
DEF üçgeninde E açısı: \( m(\widehat{E}) = 180^\circ - (m(\widehat{D}) + m(\widehat{F})) = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). - 👉 Adım 2: Karşılıklı Açıları Karşılaştırın
Şimdi iki üçgenin açılarını karşılaştıralım:
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 40^\circ \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 80^\circ \) - 👉 Adım 3: Benzerlik Kuralını Uygulayın
Tüm karşılıklı açıları eşit olduğundan, A.A.A. Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) 'tir. ✅ - 👉 Adım 4: Benzerlik Oranını Bulun
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. B ve C açılarının karşısındaki kenar BC, E ve F açılarının karşısındaki kenar EF'ye karşılık gelir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{10}{5} = 2 \). - 📌 Sonuç: Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı 2'dir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir ( \( DE \parallel BC \) ).
Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz. 🤔
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir ( \( DE \parallel BC \) ).
Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi (Tales Teoremi)'ni kullanacağız. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleyin
\( DE \parallel BC \) olduğu için, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) üçgenleri benzerdir.
Bunun nedeni, A açısının ortak olması ve yöndeş açılardan \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \) olmasıdır. (A.A.A. Benzerliği) - 👉 Adım 2: Orantıyı Kurun
Temel Orantı Teoremi'ne göre, paralel doğrular bir üçgenin kenarlarını orantılı böler.
Yani, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) orantısı geçerlidir. - 👉 Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyun
Verilen değerleri orantıda yerine yazalım:
\( \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \) - 👉 Adım 4: \( |EC| \) Uzunluğunu Hesaplayın
Denklemi çözerek \( |EC| \) uzunluğunu bulalım:
\( 4 \times |EC| = 6 \times 3 \)
\( 4 \times |EC| = 18 \)
\( |EC| = \frac{18}{4} \)
\( |EC| = \frac{9}{2} \)
\( |EC| = 4.5 \) cm. - 📌 Sonuç: \( |EC| \) uzunluğu 4.5 cm'dir.
Örnek 4:
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) 'tür.
Küçük üçgenin çevresi 24 cm olduğuna göre, büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Küçük üçgenin çevresi 24 cm olduğuna göre, büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemi çözmek için benzer üçgenlerde çevreler oranı bilgisini kullanacağız. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Benzerlik Oranını Anlayın
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranına benzerlik oranı denir.
Burada benzerlik oranı \( k = \frac{\text{küçük üçgenin kenarı}}{\text{büyük üçgenin kenarı}} = \frac{2}{3} \) olarak verilmiştir. - 👉 Adım 2: Çevreler Oranı Kuralını Uygulayın
Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşittir.
Yani, \( \frac{\text{Küçük üçgenin çevresi}}{\text{Büyük üçgenin çevresi}} = k \). - 👉 Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyun
Küçük üçgenin çevresi 24 cm ve benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) olduğuna göre:
\( \frac{24}{\text{Büyük üçgenin çevresi}} = \frac{2}{3} \) - 👉 Adım 4: Büyük Üçgenin Çevresini Hesaplayın
Denklemi çözerek büyük üçgenin çevresini bulalım:
\( 2 \times \text{Büyük üçgenin çevresi} = 3 \times 24 \)
\( 2 \times \text{Büyük üçgenin çevresi} = 72 \)
\( \text{Büyük üçgenin çevresi} = \frac{72}{2} \)
\( \text{Büyük üçgenin çevresi} = 36 \) cm. - 📌 Sonuç: Büyük üçgenin çevresi 36 cm'dir.
Örnek 5:
Güneşli bir günde, boyu 1.5 metre olan bir çocuk, zemin üzerinde 2 metre uzunluğunda bir gölge oluşturmaktadır.
Aynı anda, çocuğun yanında duran bir ağacın gölgesinin uzunluğu 10 metre olarak ölçülmüştür.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? 🌳☀️
Aynı anda, çocuğun yanında duran bir ağacın gölgesinin uzunluğu 10 metre olarak ölçülmüştür.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? 🌳☀️
Çözüm:
Bu problemde benzer üçgenler kavramını kullanarak ağacın boyunu bulacağız. Güneş ışınlarının paralel geldiği varsayımıyla, cisimler ve gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşur. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Durumu Görselleştirin ve Üçgenleri Tanımlayın
Çocuk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi, yere dik durdukları için birer dik üçgen oluştururlar.
Güneş ışınları her iki durumda da aynı açıyla geldiği için, bu dik üçgenlerin tepe açıları (güneşin açısı) birbirine eşittir.
Ayrıca, zemine dik oldukları için taban açıları \( 90^\circ \) 'dir.
Dolayısıyla, Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerlik Kuralı'na göre bu iki üçgen benzerdir. - 👉 Adım 2: Orantıyı Kurun
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
Yani, \( \frac{\text{Çocuğun boyu}}{\text{Çocuğun gölge boyu}} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} \). - 👉 Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyun
Çocuğun boyu = 1.5 m
Çocuğun gölge boyu = 2 m
Ağacın gölge boyu = 10 m
Ağacın boyu = \( x \) (bilinmeyen)
Orantıyı yazalım: \( \frac{1.5}{2} = \frac{x}{10} \) - 👉 Adım 4: Ağacın Boyunu Hesaplayın
Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( 2 \times x = 1.5 \times 10 \)
\( 2x = 15 \)
\( x = \frac{15}{2} \)
\( x = 7.5 \) metre. - 📌 Sonuç: Ağacın boyu 7.5 metredir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni, A köşesinden geçen bir katlama çizgisi boyunca katlandığında, B köşesi AC kenarı üzerindeki B' noktasına geliyor.
Katlama çizgisi AD doğru parçasıdır (D noktası BC üzerindedir).
Eğer \( |AB| = 7 \) cm ve \( |AD| = 6 \) cm ise, \( |AB'| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Katlama çizgisi AD doğru parçasıdır (D noktası BC üzerindedir).
Eğer \( |AB| = 7 \) cm ve \( |AD| = 6 \) cm ise, \( |AB'| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde katlama işlemi sonucunda oluşan eşlik kavramını kullanacağız. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Katlama Özelliğini Anlayın
Bir şekil katlandığında, katlama çizgisi (simetri ekseni) etrafındaki orijinal parçalar ile katlanmış parçalar eştir.
Bu durumda, \( \triangle ABD \) üçgeni katlandığında \( \triangle AB'D \) üçgeni oluşur. - 👉 Adım 2: Eş Üçgenleri Belirleyin
Katlama işlemi sonucunda \( \triangle ABD \cong \triangle AB'D \) olur. - 👉 Adım 3: Eş Kenarları ve Açıları Belirleyin
Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir.
Bu durumda, \( |AB| = |AB'| \) ve \( |BD| = |B'D| \) olur.
Ayrıca, \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{B'AD}) \) ve \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{AB'D}) \) olur. - 👉 Adım 4: \( |AB'| \) Uzunluğunu Bulun
Soruda \( |AB| = 7 \) cm olarak verilmiştir.
Eşlik özelliğinden dolayı, \( |AB'| = |AB| \) olacağından, \( |AB'| = 7 \) cm'dir. - 📌 Sonuç: \( |AB'| \) uzunluğu 7 cm'dir. Katlama çizgisi AD'nin uzunluğu bu sorunun çözümü için doğrudan gerekli değildir, ancak katlama işleminin bir parçasıdır.
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini doğrudan ölçemediği için benzerlik prensibini kullanarak tahmin etmek istiyor.
Yere dik olarak 2 metre uzunluğunda bir direk dikiyor.
Direkten 3 metre uzakta durduğunda, direğin tepesi ile binanın tepesini aynı hizada görüyor.
Mühendisin göz seviyesinin yerden yüksekliği 1.6 metredir.
Bina direkten 30 metre uzakta olduğuna göre, binanın yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? (Tüm ölçümler yatay zeminde yapılmıştır.) 🏗️
Yere dik olarak 2 metre uzunluğunda bir direk dikiyor.
Direkten 3 metre uzakta durduğunda, direğin tepesi ile binanın tepesini aynı hizada görüyor.
Mühendisin göz seviyesinin yerden yüksekliği 1.6 metredir.
Bina direkten 30 metre uzakta olduğuna göre, binanın yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? (Tüm ölçümler yatay zeminde yapılmıştır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemi benzer üçgenler kullanarak çözeceğiz. Mühendisin gözünden, direğin tepesine ve binanın tepesine uzanan hayali çizgiler, zemine paralel bir çizgiyle birlikte benzer üçgenler oluşturur. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Referans Noktalarını Belirleyin ve Üçgenleri Oluşturun
Mühendisin göz seviyesini referans alarak bir yatay çizgi çizin. Bu çizgi, direği ve binayı keser.
Direğin görünen yüksekliği: Direk boyu - Göz seviyesi = \( 2 - 1.6 = 0.4 \) metre.
Binanın görünen yüksekliği: Binanın toplam yüksekliği - Göz seviyesi = \( h - 1.6 \) metre (Burada \( h \) binanın toplam yüksekliği).
Mühendisin gözünden direğin tepesine ve binanın tepesine uzanan çizgiler, mühendisin göz seviyesinden geçen yatay çizgi ile iki benzer dik üçgen oluşturur.
Birinci üçgen: Mühendisin gözü, direğin göz seviyesi üzerindeki kısmı ve direğe olan yatay mesafe.
İkinci üçgen: Mühendisin gözü, binanın göz seviyesi üzerindeki kısmı ve binaya olan yatay mesafe. - 👉 Adım 2: Benzer Üçgenlerde Orantıyı Kurun
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
\( \frac{\text{Direğin göz seviyesi üstündeki yüksekliği}}{\text{Mühendisin direğe olan yatay uzaklığı}} = \frac{\text{Binanın göz seviyesi üstündeki yüksekliği}}{\text{Mühendisin binaya olan yatay uzaklığı}} \) - 👉 Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyun
Direğin göz seviyesi üstündeki yüksekliği = \( 0.4 \) m.
Mühendisin direğe olan yatay uzaklığı = \( 3 \) m.
Binanın göz seviyesi üstündeki yüksekliği = \( h - 1.6 \) m.
Mühendisin binaya olan yatay uzaklığı = Direğe olan uzaklık + Direk ile bina arası uzaklık = \( 3 + 30 = 33 \) m.
Orantıyı yazalım: \( \frac{0.4}{3} = \frac{h - 1.6}{33} \) - 👉 Adım 4: Binanın Yüksekliğini Hesaplayın
Denklemi çözerek \( h \) değerini bulalım:
\( 3 \times (h - 1.6) = 0.4 \times 33 \)
\( 3h - 4.8 = 13.2 \)
\( 3h = 13.2 + 4.8 \)
\( 3h = 18 \)
\( h = \frac{18}{3} \)
\( h = 6 \) metre. - 📌 Sonuç: Binanın yüksekliği yaklaşık olarak 6 metredir.
Örnek 8:
Bir ABCD yamuğunda AB kenarı DC kenarına paraleldir ( \( AB \parallel DC \) ).
AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişmektedir.
Eğer \( |AB| = 12 \) cm, \( |DC| = 4 \) cm ve \( |DK| = 3 \) cm ise, \( |KB| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🦋
AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişmektedir.
Eğer \( |AB| = 12 \) cm, \( |DC| = 4 \) cm ve \( |DK| = 3 \) cm ise, \( |KB| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🦋
Çözüm:
Bu problemde Kelebek Benzerliği olarak bilinen özel bir benzerlik durumunu kullanacağız. Bu durum, paralel doğrular arasında kesişen iki doğru parçasının oluşturduğu üçgenlerin benzerliğine dayanır. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleyin
\( AB \parallel DC \) olduğu için, köşegenlerin kesişim noktası K'de oluşan \( \triangle KDC \) ve \( \triangle KAB \) üçgenleri benzerdir.
Bunun nedenleri şunlardır:
1. Ters açılar: \( m(\widehat{DKC}) = m(\widehat{AKB}) \) (Köşegenlerin kesişim noktasındaki ters açılar)
2. İç ters açılar: \( m(\widehat{KDC}) = m(\widehat{KBA}) \) ve \( m(\widehat{KCD}) = m(\widehat{KAB}) \) (Paralel doğrular arasındaki iç ters açılar)
Bu durumda, Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle KDC \sim \triangle KAB \) 'dir. - 👉 Adım 2: Orantıyı Kurun
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
\( \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|KB|} = \frac{|KC|}{|KA|} \) - 👉 Adım 3: Bilinen Değerleri Yerine Koyun
Verilen değerleri orantıda yerine yazalım:
\( |AB| = 12 \) cm
\( |DC| = 4 \) cm
\( |DK| = 3 \) cm
\( \frac{4}{12} = \frac{3}{|KB|} \) - 👉 Adım 4: \( |KB| \) Uzunluğunu Hesaplayın
Denklemi çözerek \( |KB| \) uzunluğunu bulalım:
Önce \( \frac{4}{12} \) kesrini sadeleştirelim: \( \frac{1}{3} \).
\( \frac{1}{3} = \frac{3}{|KB|} \)
\( 1 \times |KB| = 3 \times 3 \)
\( |KB| = 9 \) cm. - 📌 Sonuç: \( |KB| \) uzunluğu 9 cm'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-teoremler-ve-algoritmik-problem-cozme/sorular