🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Ve Benzerlik Koşulları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Ve Benzerlik Koşulları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( m(\hat{A}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 6 \) cm, \( |DF| = 8 \) cm ve \( m(\hat{D}) = 50^\circ \) olduğuna göre, bu iki üçgenin eşliğini açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin eşlik koşullarından Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliğini kullanacağız. İşte adımlar:
- ✅ Verilenleri İnceleyelim:
- ABC üçgeninde: \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm, \( m(\hat{A}) = 50^\circ \).
- DEF üçgeninde: \( |DE| = 6 \) cm, \( |DF| = 8 \) cm, \( m(\hat{D}) = 50^\circ \).
- 📌 Kenar Uzunluklarını Karşılaştıralım:
- \( |AB| \) kenarı ile \( |DE| \) kenarının uzunlukları eşit: \( |AB| = |DE| = 6 \) cm.
- \( |AC| \) kenarı ile \( |DF| \) kenarının uzunlukları eşit: \( |AC| = |DF| = 8 \) cm.
- 👉 Açıları Karşılaştıralım:
- \( \hat{A} \) açısı ile \( \hat{D} \) açısının ölçüleri eşit ve bu açılar, eşit kenarlar arasında yer alıyor: \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 50^\circ \).
- ✅ Sonuç: İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olduğundan, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği koşuluna göre ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir.
Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 2:
💡 Bir KLM üçgeninde \( |LM| = 12 \) cm, \( m(\hat{L}) = 65^\circ \) ve \( m(\hat{M}) = 45^\circ \) olarak verilmiştir. Bir PRT üçgeninde ise \( |RT| = 12 \) cm, \( m(\hat{R}) = 65^\circ \) ve \( m(\hat{T}) = 45^\circ \) olduğuna göre, bu üçgenlerin eşliğini inceleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği koşulunu uygulayacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Verilen Bilgiler:
- KLM üçgeninde: \( |LM| = 12 \) cm, \( m(\hat{L}) = 65^\circ \), \( m(\hat{M}) = 45^\circ \).
- PRT üçgeninde: \( |RT| = 12 \) cm, \( m(\hat{R}) = 65^\circ \), \( m(\hat{T}) = 45^\circ \).
- 📌 Kenar ve Açıları Karşılaştıralım:
- Eşit kenarlar: \( |LM| = |RT| = 12 \) cm.
- Bu eşit kenarın uç noktalarındaki açılar:
- \( m(\hat{L}) = m(\hat{R}) = 65^\circ \)
- \( m(\hat{M}) = m(\hat{T}) = 45^\circ \)
- 👉 AKA Eşliği Kuralı: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı eşit ve bu kenarların uç noktalarındaki karşılıklı açılar da eşitse, bu üçgenler eştir.
- ✅ Sonuç: Verilen koşullar Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliğini sağladığı için KLM üçgeni ile PRT üçgeni eştir.
Yani, \( \triangle KLM \cong \triangle PRT \).
Örnek 3:
💡 Kenar uzunlukları 7 cm, 9 cm ve 12 cm olan bir ABC üçgeni ile kenar uzunlukları 7 cm, 9 cm ve 12 cm olan bir DEF üçgeni eştir diyebilir miyiz? Neden?
Çözüm:
Bu soru, üçgenlerin Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği koşuluyla ilgilidir. Adım adım inceleyelim:
- ✅ Verilen Kenar Uzunlukları:
- ABC üçgeninin kenarları: \( a=7 \) cm, \( b=9 \) cm, \( c=12 \) cm (sıralama önemli değil, sadece uzunluklar).
- DEF üçgeninin kenarları: \( d=7 \) cm, \( e=9 \) cm, \( f=12 \) cm.
- 📌 Kenar Uzunluklarını Karşılaştıralım:
- Birinci kenarlar eşit: \( 7 \) cm \( = 7 \) cm.
- İkinci kenarlar eşit: \( 9 \) cm \( = 9 \) cm.
- Üçüncü kenarlar eşit: \( 12 \) cm \( = 12 \) cm.
- 👉 KKK Eşliği Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ise bu üçgenler eştir.
- ✅ Sonuç: Evet, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Çünkü her iki üçgenin de karşılıklı kenar uzunlukları birbirine tamamen eşittir.
Bu durumda, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) yazabiliriz.
Örnek 4:
💡 Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 75^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 40^\circ \) olsun. Bir DEF üçgeninde ise \( m(\hat{D}) = 75^\circ \) ve \( m(\hat{E}) = 40^\circ \) olduğuna göre, bu iki üçgenin benzerliğini açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin Açı-Açı (AA) Benzerliği koşulunu kullanacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Verilen Açı Bilgileri:
- ABC üçgeninde: \( m(\hat{A}) = 75^\circ \), \( m(\hat{B}) = 40^\circ \).
- DEF üçgeninde: \( m(\hat{D}) = 75^\circ \), \( m(\hat{E}) = 40^\circ \).
- 📌 Açıları Karşılaştıralım:
- \( \hat{A} \) açısı ile \( \hat{D} \) açısının ölçüleri eşit: \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 75^\circ \).
- \( \hat{B} \) açısı ile \( \hat{E} \) açısının ölçüleri eşit: \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 40^\circ \).
- 👉 AA Benzerliği Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise, bu üçgenler benzerdir. (Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
- ABC üçgeninde \( m(\hat{C}) = 180^\circ - (75^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
- DEF üçgeninde \( m(\hat{F}) = 180^\circ - (75^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
- Görüldüğü gibi \( m(\hat{C}) = m(\hat{F}) = 65^\circ \) olur.
- ✅ Sonuç: ABC üçgeni ile DEF üçgeninin karşılıklı üç açısı da eşit olduğundan, bu üçgenler Açı-Açı (AA) Benzerliği koşuluna göre benzerdir.
Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 5:
💡 Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 15 \) cm ve \( m(\hat{B}) = 60^\circ \) verilmiştir. Bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 4 \) cm, \( |EF| = 6 \) cm ve \( m(\hat{E}) = 60^\circ \) olduğuna göre, bu iki üçgenin benzerliğini ve benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği koşulunu uygulayacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Verilen Bilgiler:
- ABC üçgeninde: \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 15 \) cm, \( m(\hat{B}) = 60^\circ \).
- DEF üçgeninde: \( |DE| = 4 \) cm, \( |EF| = 6 \) cm, \( m(\hat{E}) = 60^\circ \).
- 📌 Kenar Oranlarını Hesaplayalım:
- Öncelikle, eşit açının kolları olan kenarların oranlarını bulalım.
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \) - Diğer kenarların oranını bulalım.
\( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \)
- Öncelikle, eşit açının kolları olan kenarların oranlarını bulalım.
- 👉 Açıları Karşılaştıralım:
- Kenarlar arasındaki açılar eşit: \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 60^\circ \).
- ✅ Sonuç: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının oranları eşit (\( \frac{5}{2} \)) ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşit olduğundan, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği koşuluna göre ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{5}{2} \) veya \( k = \frac{2}{5} \) olarak alınabilir (hangi üçgenin hangi üçgene benzerlik oranı olduğuna göre değişir).
Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) (benzerlik oranı \( \frac{5}{2} \)).
Örnek 6:
💡 Kenar uzunlukları 6 cm, 9 cm ve 12 cm olan bir ABC üçgeni ile kenar uzunlukları 2 cm, 3 cm ve 4 cm olan bir DEF üçgeninin benzer olup olmadığını inceleyiniz. Benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği koşulunu uygulayacağız. Adım adım inceleyelim:
- ✅ Verilen Kenar Uzunlukları:
- ABC üçgeninin kenarları: \( 6 \) cm, \( 9 \) cm, \( 12 \) cm.
- DEF üçgeninin kenarları: \( 2 \) cm, \( 3 \) cm, \( 4 \) cm.
- 📌 Karşılıklı Kenarların Oranlarını Hesaplayalım:
- En küçük kenarların oranı: \( \frac{6}{2} = 3 \)
- Ortanca kenarların oranı: \( \frac{9}{3} = 3 \)
- En büyük kenarların oranı: \( \frac{12}{4} = 3 \)
- 👉 KKK Benzerliği Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
- ✅ Sonuç: Görüldüğü gibi, her üç karşılıklı kenar çiftinin oranı da birbirine eşittir (bu oran 3'tür). Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği koşuluna göre benzerdir.
Benzerlik oranı \( k = 3 \) (ABC üçgeninin DEF üçgenine benzerlik oranı) veya \( k = \frac{1}{3} \) (DEF üçgeninin ABC üçgenine benzerlik oranı).
Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
Örnek 7:
🌳 Bir parkta bulunan 1.5 metre boyundaki bir çocuğun gölgesi 1 metre uzunluğundadır. Aynı anda, bu çocuğun 10 metre ilerisinde bulunan bir ağacın gölgesi, çocuğun gölgesinin bittiği noktadan itibaren 5 metre daha uzuyor. Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere aynı açıyla geldiğini varsayınız.)
Çözüm:
Bu problemde Açı-Açı (AA) Benzerliği kullanarak ağacın boyunu bulabiliriz. İşte adımlar:
- ✅ Durumu Anlayalım:
- Çocuk ve ağaç yere dik durur, bu da \( 90^\circ \) açılar oluşturur.
- Güneş ışınları aynı anda yere aynı açıyla düştüğü için, çocuk ve ağacın oluşturduğu gölge üçgenlerindeki diğer açılar da eşit olacaktır. Bu da iki üçgenin benzer olduğunu gösterir (AA Benzerliği).
- 📌 Gölge Boylarını ve Mesafeleri Belirleyelim:
- Çocuğun boyu = \( 1.5 \) m.
- Çocuğun gölgesi = \( 1 \) m.
- Ağacın çocuğa uzaklığı = \( 10 \) m.
- Ağacın gölgesinin çocuğun gölgesinin bittiği noktadan itibaren uzadığı kısım = \( 5 \) m.
- Ağacın toplam gölge boyu = (Çocuğun gölgesi + Çocuğun ağaca uzaklığı + Ağacın ek gölgesi)
Ağacın toplam gölge boyu \( = 1 + 10 + 5 = 16 \) m.
- 👉 Benzerlik Oranı Kurulumu:
- Çocuğun boyu / Çocuğun gölgesi \( = \) Ağacın boyu / Ağacın gölgesi
- \( \frac{1.5}{1} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{16} \)
- 🔢 Hesaplama:
- \( 1.5 \times 16 = \text{Ağacın boyu} \)
- \( \text{Ağacın boyu} = 24 \) m.
- ✅ Sonuç: Ağacın boyu 24 metredir.
Örnek 8:
🏗️ Bir mimar, bir binanın yüksekliğini tahmin etmek için gölge boyu yöntemini kullanıyor. Yere dik duran 2 metre boyundaki bir direğin gölgesi 3 metre uzunluğundadır. Aynı anda, binanın gölgesi 45 metre uzunluğunda ölçülmüştür. Bu binanın yüksekliği kaç metredir? (Güneş ışınlarının aynı açıyla geldiğini varsayınız.)
Çözüm:
Bu günlük hayattan bir problem olup, üçgenlerdeki Açı-Açı (AA) Benzerliği prensibini kullanarak çözülür. İşte çözüm adımları:
- ✅ Problemi Anlayalım:
- Direk ve bina yere dik durduğu için yerle \( 90^\circ \) açı yaparlar.
- Güneş ışınları aynı anda aynı açıyla geldiği için, direğin oluşturduğu gölge üçgeni ile binanın oluşturduğu gölge üçgeni benzerdir (AA Benzerliği).
- 📌 Verilen Bilgileri Listeleyelim:
- Direğin boyu = \( 2 \) m.
- Direğin gölgesi = \( 3 \) m.
- Binanın gölgesi = \( 45 \) m.
- 👉 Benzerlik Oranını Kuralım:
- Direğin boyu / Direğin gölgesi \( = \) Binanın boyu / Binanın gölgesi
- \( \frac{2}{3} = \frac{\text{Binanın boyu}}{45} \)
- 🔢 Binanın Boyunu Hesaplayalım:
- Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:
\( 3 \times \text{Binanın boyu} = 2 \times 45 \) - \( 3 \times \text{Binanın boyu} = 90 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim:
\( \text{Binanın boyu} = \frac{90}{3} \) - \( \text{Binanın boyu} = 30 \) m.
- Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:
- ✅ Sonuç: Binanın yüksekliği 30 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-kosullari/sorular