🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde eşlik ve benzerlik cevaplı sorular Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde eşlik ve benzerlik cevaplı sorular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olduğu biliniyor.
\( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm ve \( |DE| = 12 \) cm olduğuna göre, \( |EF| \) ve \( |DF| \) uzunluklarını bulunuz. 💡
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olduğu biliniyor.
\( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm ve \( |DE| = 12 \) cm olduğuna göre, \( |EF| \) ve \( |DF| \) uzunluklarını bulunuz. 💡
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olduğu bilgisi, karşılıklı kenarlarının oranının sabit olduğunu gösterir.
- Benzerlik oranı, \( k = \frac{|DE|}{|AB|} \) olarak bulunur.
- \( k = \frac{12}{6} = 2 \)
- Bu oran, diğer karşılıklı kenarlar için de geçerlidir: \( \frac{|EF|}{|BC|} = k \) ve \( \frac{|DF|}{|AC|} = k \)
- \( |EF| = k \times |BC| = 2 \times 8 = 16 \) cm
- \( |DF| = k \times |AC| = 2 \times 10 = 20 \) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve \( m(\angle BAC) = 40^\circ \) dir.
Aynı zamanda, bir DEF üçgeninde \( |DE| = |EF| \) ve \( m(\angle DEF) = 40^\circ \) dir.
Bu iki üçgen eş midir? Nedenini açıklayınız. 🤔
Aynı zamanda, bir DEF üçgeninde \( |DE| = |EF| \) ve \( m(\angle DEF) = 40^\circ \) dir.
Bu iki üçgen eş midir? Nedenini açıklayınız. 🤔
Çözüm:
- ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Açıları: \( m(\angle ABC) = m(\angle ACB) = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \)
- DEF üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Açıları: \( m(\angle DFE) = m(\angle FDE) = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \)
- ABC üçgeninin açıları \( 40^\circ, 70^\circ, 70^\circ \) iken, DEF üçgeninin açıları da \( 70^\circ, 40^\circ, 70^\circ \) (sıralama farklı olabilir) olur.
- Açıları aynı olan üçgenler benzerdir. Ancak, eş olmaları için hem açıları hem de karşılıklı kenar uzunlukları eşit olmalıdır.
- Burada sadece bir açı ( \( 40^\circ \) ) ve iki kenarın eşitliği (ikizkenar üçgen olmaları) verilmiş. Kenar uzunlukları hakkında ek bilgi olmadan eşlik hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
Örnek 3:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki mesafeyi ölçmek isteyen bir mühendis, A şehrinden başlayarak 100 metre doğuya, sonra 150 metre kuzeye giderek bir C noktasına ulaşıyor.
Ardından, B şehrini haritada temsil eden bir D noktası için, C noktasından D noktasına doğru 200 metre gidiyor ve D noktasına varıyor.
Mühendis, A noktasından B noktasına olan kuş uçuşu mesafenin, C noktasından D noktasına olan mesafenin yarısı kadar olduğunu hesaplıyor. Buna göre, A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe kaç metredir? 🗺️
Ardından, B şehrini haritada temsil eden bir D noktası için, C noktasından D noktasına doğru 200 metre gidiyor ve D noktasına varıyor.
Mühendis, A noktasından B noktasına olan kuş uçuşu mesafenin, C noktasından D noktasına olan mesafenin yarısı kadar olduğunu hesaplıyor. Buna göre, A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe kaç metredir? 🗺️
Çözüm:
- Soruda verilen bilgilere göre, mühendis bir dik üçgen çizmiştir. A noktası başlangıç, C noktası ise dik açının olduğu yerdir.
- AC = 100 metre (doğuya gidiş) ve BC = 150 metre (kuzeye gidiş) olarak düşünülebilir. Ancak soruda A'dan C'ye gidilen yol ve C'den D'ye gidilen yol tanımlanmış.
- Soruyu daha net anlamak için, A noktasından C noktasına gidilen yol (doğuya 100m, kuzeye 150m) bir yolculuktur. Bu yolculuğun sonunda C noktasına ulaşılıyor.
- Daha sonra C noktasından D noktasına 200 metre gidiliyor.
- Soruda "A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafenin, C noktasından D noktasına olan mesafenin yarısı kadar olduğu" belirtiliyor.
- Bu durumda, \( |CD| = 200 \) metre olarak verilmiştir.
- A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe \( |AB| \) olsun.
- Soruda \( |AB| = \frac{|CD|}{2} \) deniyor.
- \( |AB| = \frac{200}{2} = 100 \) metre.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir.
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 10 \) cm, \( |EF| = 14 \) cm ve \( |DF| = 18 \) cm'dir.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse, benzerlik oranını bulunuz. 🧐
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 10 \) cm, \( |EF| = 14 \) cm ve \( |DF| = 18 \) cm'dir.
Bu iki üçgen benzer midir? Benzerse, benzerlik oranını bulunuz. 🧐
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için karşılıklı kenar uzunluklarının oranına bakmalıyız.
- En kısa kenarların oranını kontrol edelim: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
- Ortanca kenarların oranını kontrol edelim: \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
- En uzun kenarların oranını kontrol edelim: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
- Tüm karşılıklı kenar oranları eşit (\( \frac{1}{2} \)) olduğu için, bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı, küçük üçgenden büyük üçgene doğru \( \frac{1}{2} \) veya büyük üçgenden küçük üçgene doğru 2'dir. Soruda genellikle küçükten büyüğe oran istenir.
Örnek 5:
İki üçgenin eş olması için hangi şartların sağlanması gerektiğini açıklayınız. 🔑
Çözüm:
- İki üçgenin eş olması için, bir üçgenin tüm kenar uzunlukları ve tüm açı ölçülerinin, diğer üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçülerine eşit olması gerekir.
- Bu durum, farklı eşlik kuralları ile daha kısa yoldan da gösterilebilir:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açıları eş ise, üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eş ise, üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin üçer kenar uzunluğu da eş ise, üçgenler eştir.
Örnek 6:
Bir fotoğrafçının, uzaktaki bir binanın yüksekliğini ölçmek için benzerlik prensibini nasıl kullanabileceğini bir örnekle açıklayınız. 📸
Çözüm:
- Fotoğrafçı, binanın yüksekliğini ölçmek için bir mezura ve basit bir benzerlik prensibi kullanabilir.
- Senaryo:
- Fotoğrafçı, binanın önünde duruyor ve binanın tepesini ve tabanını bir çubuk yardımıyla göz hizasına getiriyor.
- Diyelim ki fotoğrafçı, elindeki çubuğu dikey olarak tutuyor ve çubuğun tepesi binanın tepesiyle, çubuğun tabanı ise binanın tabanıyla aynı hizaya geliyor.
- Bu durumda, fotoğrafçının gözü, çubuğun tepesi ve binanın tepesi aynı doğrultudadır.
- Ayrıca, fotoğrafçının gözü, çubuğun tabanı ve binanın tabanı da aynı doğrultudadır.
- Bu durum, iki tane benzer dik üçgen oluşturur:
- Birinci üçgen: Fotoğrafçının gözü, çubuğun tabanı ve çubuğun tepesi.
- İkinci üçgen: Fotoğrafçının gözü, binanın tabanı ve binanın tepesi.
- Bu iki üçgenin benzerliği sayesinde, kenar oranları eşit olacaktır.
- Ölçümler:
- Fotoğrafçı, kendi göz hizasından çubuğun tabanına olan mesafeyi (örneğin 1 metre) ve çubuğun uzunluğunu (örneğin 0.5 metre) ölçer.
- Ayrıca, fotoğrafçının göz hizasından binanın tabanına olan mesafeyi (örneğin 50 metre) ölçer.
- Hesaplama:
- Benzerlik oranını kullanarak binanın yüksekliğini bulabilir:
- \( \frac{\text{Çubuğun Yüksekliği}}{\text{Göz hizasından Çubuğa Mesafe}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Göz hizasından Binaya Mesafe}} \)
- \( \frac{0.5 \text{ m}}{1 \text{ m}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{50 \text{ m}} \)
- \( \text{Binanın Yüksekliği} = \frac{0.5 \times 50}{1} = 25 \) metre.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde \( m(\angle ABC) = 60^\circ \) ve \( m(\angle ACB) = 45^\circ \) dir.
Bu üçgenin bir benzeri olan DEF üçgeninde \( |DE| = 12 \) cm'dir.
Eğer \( |AB| \) kenarına karşılık gelen kenar \( |DE| \) ise, \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Bu üçgenin bir benzeri olan DEF üçgeninde \( |DE| = 12 \) cm'dir.
Eğer \( |AB| \) kenarına karşılık gelen kenar \( |DE| \) ise, \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
- Öncelikle ABC üçgeninin üçüncü açısını bulalım:
- \( m(\angle BAC) = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)
- ABC üçgeninin açıları: \( 75^\circ, 60^\circ, 45^\circ \).
- DEF üçgeni ABC üçgenine benzer olduğu için, açıları da aynı olmalıdır.
- Soruda \( |AB| \) kenarına karşılık gelen kenarın \( |DE| \) olduğu belirtilmiş. Bu, benzerlik sıralamasının \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olduğunu ima eder.
- Bu durumda, karşılıklı açılar eşittir:
- \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) = 75^\circ \)
- \( m(\angle ABC) = m(\angle DEF) = 60^\circ \)
- \( m(\angle ACB) = m(\angle DFE) = 45^\circ \)
- Bizden \( |EF| \) kenarının uzunluğu isteniyor. Bu kenar, ABC üçgenindeki \( |BC| \) kenarına karşılık gelir.
- Benzerlik oranını bulmak için, karşılıklı bilinen kenarları kullanmalıyız. Bu durumda \( |AB| \) ve \( |DE| \) verilmiş.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} \). Ancak \( |AB| \) bilinmiyor.
- Bu soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Eğer \( |AB| \) kenarının uzunluğu verilseydi, \( |EF| \) kolayca bulunabilirdi.
- Varsayım: Eğer soruda \( |AB| = 6 \) cm olsaydı, benzerlik oranı \( k = \frac{12}{6} = 2 \) olurdu.
- Bu durumda \( |EF| = k \times |BC| \) olurdu. Ancak \( |BC| \) de bilinmiyor.
- Soruyu Yeniden Yorumlama: Belki de \( |AB| \) kenarına karşılık gelen kenarın \( |DE| \) olması, \( \triangle ABC \sim \triangle EDF \) gibi bir sıralama ima ediyordur.
- Eğer \( \triangle ABC \sim \triangle EDF \) ise:
- \( m(\angle BAC) = m(\angle EFD) = 75^\circ \)
- \( m(\angle ABC) = m(\angle DEF) = 60^\circ \)
- \( m(\angle ACB) = m(\angle EDF) = 45^\circ \)
- Bu durumda \( |AB| \) karşılığı \( |ED| = 12 \).
- \( |BC| \) karşılığı \( |DF| \).
- \( |AC| \) karşılığı \( |EF| \).
- Yine \( |BC| \) ve \( |AC| \) bilinmiyor.
- Sorudaki Eksiklik Hakkında Not: Bu sorunun tam olarak çözülebilmesi için, ya \( |AB| \) kenarının uzunluğu ya da \( |BC| \) veya \( |AC| \) kenarlarından en az birinin uzunluğu verilmelidir.
- Eğer soruda hata yoksa ve bu bilgilerle çözülmesi gerekiyorsa, belki de sorulan şey sadece açısal bir ilişkiydi. Ancak uzunluk sorulduğu için kenar bilgisi şarttır.
- Varsayımsal Çözüm (Eğer \( |AB| = 6 \) ve \( |BC| = 8 \) olsaydı):
- Benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{12}{6} = 2 \).
- \( |EF| = k \times |BC| = 2 \times 8 = 16 \) cm.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
\( |AB| = |DE| \), \( |BC| = |EF| \) ve \( |AC| = |DF| \) olduğu biliniyor.
Bu iki üçgen eş midir? Nedenini açıklayınız. 🤝
\( |AB| = |DE| \), \( |BC| = |EF| \) ve \( |AC| = |DF| \) olduğu biliniyor.
Bu iki üçgen eş midir? Nedenini açıklayınız. 🤝
Çözüm:
- Soruda verilen bilgilere göre, ABC üçgeninin üç kenar uzunluğu da DEF üçgeninin karşılıklı kenar uzunluklarına eşittir.
- Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı'nı karşılar.
- KKK eşlik kuralına göre, iki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-ve-benzerlik-cevapli-sorular/sorular