🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir.
Aşağıdaki kenar uzunluklarına göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
\( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm
\( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm
Aşağıdaki kenar uzunluklarına göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
\( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm
\( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Aksiyomu'nu kullanacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştıralım.
- \( |AB| = 5 \) cm ve \( |DE| = 5 \) cm olduğu için \( |AB| = |DE| \) dir. ✅
- \( |BC| = 7 \) cm ve \( |EF| = 7 \) cm olduğu için \( |BC| = |EF| \) dir. ✅
- \( |AC| = 9 \) cm ve \( |DF| = 9 \) cm olduğu için \( |AC| = |DF| \) dir. ✅
- 👉 Adım 2: Kenar uzunluklarının eşitliğini değerlendirelim.
- Görüldüğü gibi, ABC üçgeninin tüm kenarları, DEF üçgeninin karşılıklı kenarlarına eşittir.
- 📌 Bu durum, KKK Eşlik Aksiyomu'na göre bu iki üçgenin eş olduğunu gösterir.
- Sonuç olarak, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde yazabiliriz.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni verilmiştir.
Bu üçgenlerin açı ve kenar bilgileri şöyledir:
\( m(\widehat{B}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 50^\circ \), \( |BC| = 8 \) cm
\( m(\widehat{L}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{M}) = 50^\circ \), \( |LM| = 8 \) cm
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bu üçgenlerin açı ve kenar bilgileri şöyledir:
\( m(\widehat{B}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 50^\circ \), \( |BC| = 8 \) cm
\( m(\widehat{L}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{M}) = 50^\circ \), \( |LM| = 8 \) cm
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Aksiyomu'ndan faydalanacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Verilen açı ve kenar bilgilerini inceleyelim.
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) ve KLM üçgeninde \( m(\widehat{L}) = 70^\circ \) dir. Yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) \). ✅
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{C}) = 50^\circ \) ve KLM üçgeninde \( m(\widehat{M}) = 50^\circ \) dir. Yani \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{M}) \). ✅
- Bu açılar arasında kalan kenar uzunluklarına bakalım:
- ABC üçgeninde \( |BC| = 8 \) cm ve KLM üçgeninde \( |LM| = 8 \) cm dir. Yani \( |BC| = |LM| \). ✅
- 👉 Adım 2: AKA Eşlik Aksiyomu'nu uygulayalım.
- İki üçgenin iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarları karşılıklı olarak eşitse, bu üçgenler eştir.
- 📌 Tüm şartlar sağlandığı için \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) diyebiliriz.
Örnek 3:
Bir ABCD dörtgeninde, AC köşegeni çizilmiştir.
\( |AB| = |AD| \), \( |BC| = |CD| \) ve \( |AC| \) ortak kenardır.
Buna göre, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \) üçgenlerinin eş olup olmadığını açıklayınız.
\( |AB| = |AD| \), \( |BC| = |CD| \) ve \( |AC| \) ortak kenardır.
Buna göre, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \) üçgenlerinin eş olup olmadığını açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruda, iki üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyerek eşlik durumunu belirleyeceğiz. 💡
- 👉 Adım 1: Verilen kenar eşitliklerini listeleyelim.
- Soruda bize \( |AB| = |AD| \) olduğu verilmiş. ✅
- Ayrıca \( |BC| = |CD| \) olduğu da verilmiş. ✅
- AC köşegeni, hem \( \triangle ABC \) hem de \( \triangle ADC \) için ortak bir kenardır. Bu durumda \( |AC| = |AC| \). ✅
- 👉 Adım 2: Eşlik aksiyomlarını gözden geçirelim.
- Her iki üçgenin de üçer kenarı birbirine karşılıklı olarak eşittir.
- 📌 Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Aksiyomu'nu doğrudan karşılamaktadır.
- Dolayısıyla, \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \) dir. Bu üçgenler eştir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) dir.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını açıklayınız.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını açıklayınız.
Çözüm:
Bu problemde, üçgenlerin açılarını kullanarak Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Teoremi'ni uygulayacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Üçgenlerin üçüncü açılarını bulalım.
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \( \triangle ABC \) için: \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})) = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \). ✅
- \( \triangle DEF \) için: \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (m(\widehat{D}) + m(\widehat{E})) = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \). ✅
- 👉 Adım 2: Karşılıklı açıları karşılaştıralım.
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 80^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 40^\circ \)
- 👉 Adım 3: Benzerlik durumunu belirleyelim.
- Görüldüğü gibi, iki üçgenin tüm karşılıklı açıları birbirine eşittir.
- 📌 Bu durum, Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Teoremi'ne göre bu iki üçgenin benzer olduğunu gösterir. Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
- Benzerlik oranına gelince, bu teorem sadece açı eşitliğini garanti eder. Kenar uzunlukları hakkında bilgi verilmediği için benzerlik oranını sayısal olarak belirleyemeyiz. Ancak, bir k (benzerlik oranı) değeri vardır ve bu oran, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Örneğin, \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \).
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninin içinde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi)'ni uygulayacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Verilen bilgileri ve paralellik durumunu analiz edelim.
- DE doğru parçası BC'ye paralel olduğu için \( DE \parallel BC \) dir.
- Bu paralellik, \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerinin benzer olmasını sağlar. (Açı-Açı benzerliğinden: \( \angle A \) ortak açı, \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) yöndeş açılar olduğundan).
- 👉 Adım 2: Benzerlik oranlarını yazalım.
- Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
- \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \)
- Bizim durumumuzda, \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 6 = 9 \) cm dir.
- \( |AC| = |AE| + |EC| = 4 + |EC| \) dir.
- 👉 Adım 3: Denklemi kurup \( |EC| \) uzunluğunu bulalım.
- Verilen değerleri yerine yazarsak:
- \[ \frac{3}{9} = \frac{4}{4 + |EC|} \]
- Denklemi sadeleştirelim:
- \[ \frac{1}{3} = \frac{4}{4 + |EC|} \]
- İçler dışlar çarpımı yaparak devam edelim:
- \( 1 \cdot (4 + |EC|) = 3 \cdot 4 \)
- \( 4 + |EC| = 12 \)
- \( |EC| = 12 - 4 \)
- \( |EC| = 8 \) cm. ✅
Örnek 6:
Bir ABCD yamuğunda AB kenarı DC kenarına paraleldir (\( AB \parallel DC \)).
AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişmektedir.
\( |AB| = 12 \) cm, \( |DC| = 4 \) cm ve \( |DK| = 3 \) cm ise \( |KB| \) uzunluğunu bulunuz.
AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişmektedir.
\( |AB| = 12 \) cm, \( |DC| = 4 \) cm ve \( |DK| = 3 \) cm ise \( |KB| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru Kelebek Benzerliği (Kum Saati Benzerliği) olarak bilinen özel bir benzerlik durumunu içermektedir. 💡
- 👉 Adım 1: Paralellik ve açı ilişkilerini belirleyelim.
- AB ve DC kenarları birbirine paralel olduğundan (\( AB \parallel DC \)), köşegenlerin kesiştiği K noktasında oluşan \( \triangle KDC \) ve \( \triangle KBA \) üçgenleri benzerdir.
- Bunun nedeni:
- \( m(\widehat{DKC}) = m(\widehat{BKA}) \) (Ters açılar) ✅
- \( m(\widehat{KDC}) = m(\widehat{KBA}) \) (İç ters açılar) ✅
- \( m(\widehat{KCD}) = m(\widehat{KAB}) \) (İç ters açılar) ✅
- Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle KDC \sim \triangle KBA \) dir.
- 👉 Adım 2: Benzerlik oranını yazalım.
- Karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit olacaktır:
- \( \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|KB|} = \frac{|KC|}{|KA|} \)
- Bize verilen değerler: \( |AB| = 12 \) cm, \( |DC| = 4 \) cm, \( |DK| = 3 \) cm.
- Bizden istenen \( |KB| \) uzunluğudur.
- 👉 Adım 3: Denklemi kurup \( |KB| \) uzunluğunu bulalım.
- \[ \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{|DK|}{|KB|} \]
- Değerleri yerine yazalım:
- \[ \frac{4}{12} = \frac{3}{|KB|} \]
- Kesri sadeleştirelim:
- \[ \frac{1}{3} = \frac{3}{|KB|} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 1 \cdot |KB| = 3 \cdot 3 \)
- \( |KB| = 9 \) cm. ✅
Örnek 7:
Bir mimar, yeni tasarladığı binanın maketini oluştururken benzerlik oranını kullanmıştır. 📐
Maketin en üst noktasından tabana olan uzaklığı 40 cm'dir. Maketteki bir pencerenin yüksekliği 2 cm'dir.
Gerçek binanın yüksekliği 80 metre olduğuna göre, gerçek binadaki aynı pencerenin yüksekliği kaç metredir?
Maketin en üst noktasından tabana olan uzaklığı 40 cm'dir. Maketteki bir pencerenin yüksekliği 2 cm'dir.
Gerçek binanın yüksekliği 80 metre olduğuna göre, gerçek binadaki aynı pencerenin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, maket ve gerçek yapı arasındaki benzerlik ilişkisini kullanarak benzerlik oranını bulmayı ve uygulamayı gerektirir. 💡
- 👉 Adım 1: Verilen bilgileri ve birimleri düzenleyelim.
- Maket yüksekliği = 40 cm
- Maketteki pencere yüksekliği = 2 cm
- Gerçek bina yüksekliği = 80 metre. Önce bunu santimetreye çevirelim ki birimler aynı olsun: \( 80 \text{ metre} = 80 \times 100 = 8000 \) cm. ✅
- Gerçek binadaki pencere yüksekliği = \( x \) metre (bizden istenen).
- 👉 Adım 2: Benzerlik oranını bulalım.
- Benzerlik oranı (k), gerçek boyutun maket boyutuna oranıdır (veya tam tersi).
- \[ k = \frac{\text{Gerçek Bina Yüksekliği}}{\text{Maket Yüksekliği}} \]
- \[ k = \frac{8000 \text{ cm}}{40 \text{ cm}} \]
- \[ k = 200 \]
- Demek ki gerçek bina, maketin 200 katı büyüklüğündedir.
- 👉 Adım 3: Gerçek pencere yüksekliğini hesaplayalım.
- Pencere de bina ile aynı benzerlik oranına sahip olacaktır.
- Gerçek pencere yüksekliği = Maketteki pencere yüksekliği \( \times \) Benzerlik oranı
- Gerçek pencere yüksekliği = \( 2 \text{ cm} \times 200 \)
- Gerçek pencere yüksekliği = \( 400 \text{ cm} \)
- 👉 Adım 4: Sonucu istenen birime çevirelim.
- Soruda gerçek pencere yüksekliği "metre" cinsinden istendiği için 400 cm'yi metreye çevirelim:
- \( 400 \text{ cm} = \frac{400}{100} = 4 \text{ metre} \). ✅
- Yani, gerçek binadaki pencerenin yüksekliği 4 metredir.
Örnek 8:
Güneşli bir günde, 1.80 metre boyundaki bir kişi, 2.70 metre uzunluğunda bir gölge oluşturmaktadır. ☀️
Aynı anda, bu kişinin yakınındaki bir ağacın gölgesi 12 metre uzunluğundadır.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
Aynı anda, bu kişinin yakınındaki bir ağacın gölgesi 12 metre uzunluğundadır.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu günlük hayat problemi, benzer üçgenler prensibini kullanarak çözülebilir. Güneş ışınlarının aynı anda yere düşme açısı her yerde aynı olduğundan, kişi ve ağacın oluşturduğu dik üçgenler benzer olacaktır. 💡
- 👉 Adım 1: Verilen bilgileri not edelim ve iki üçgeni hayal edelim.
- Kişi için:
- Kişinin boyu = \( 1.80 \) metre
- Kişinin gölgesinin uzunluğu = \( 2.70 \) metre
- Ağaç için:
- Ağacın boyu = \( x \) metre (bilinmiyor)
- Ağacın gölgesinin uzunluğu = \( 12 \) metre
- 👉 Adım 2: Benzer üçgenlerin oranını kuralım.
- Kişi, gölgesi ve güneş ışınları bir dik üçgen oluşturur. Aynı şekilde, ağaç, gölgesi ve güneş ışınları da başka bir dik üçgen oluşturur.
- Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için bu iki dik üçgen Açı-Açı (AA) Benzerliğine göre benzerdir.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda, boyların oranı gölgelerin oranına eşit olacaktır:
- \[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Ağacın Boyu}} = \frac{\text{Kişinin Gölgesi}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \]
- 👉 Adım 3: Denklemi kurup ağacın boyunu bulalım.
- Verilen değerleri yerine yazalım:
- \[ \frac{1.80}{x} = \frac{2.70}{12} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 1.80 \times 12 = 2.70 \times x \)
- \( 21.6 = 2.7x \)
- Şimdi \( x \)'i bulmak için her iki tarafı 2.7'ye bölelim:
- \[ x = \frac{21.6}{2.7} \]
- \[ x = 8 \]
- 👉 Adım 4: Sonucu yorumlayalım.
- Ağacın boyu 8 metredir. ✅
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerinde yer almaktadır.
\( \angle ADE = \angle ACB \) ve \( \angle A \) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
\( |AD| = 4 \) cm, \( |AE| = 5 \) cm ve \( |AB| = 10 \) cm ise \( |AC| \) uzunluğunu bulunuz.
\( \angle ADE = \angle ACB \) ve \( \angle A \) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır.
\( |AD| = 4 \) cm, \( |AE| = 5 \) cm ve \( |AB| = 10 \) cm ise \( |AC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen açı eşitliklerinden faydalanarak Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ni uygulayacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Benzer üçgenleri belirleyelim.
- \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerini inceleyelim.
- Bize verilen: \( \angle ADE = \angle ACB \). ✅
- Ayrıca, \( \angle A \) açısı hem \( \triangle ADE \) hem de \( \triangle ABC \) için ortak açıdır. ✅
- İki üçgenin ikişer açısı karşılıklı olarak eşit olduğundan, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik sırasını doğru yazmak önemlidir: \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \). (A açısı A'ya, D açısı C'ye, E açısı B'ye karşılık geliyor)
- 👉 Adım 2: Benzerlik oranlarını yazalım.
- Karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit olacaktır:
- \[ \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
- Bize verilen değerler: \( |AD| = 4 \) cm, \( |AE| = 5 \) cm, \( |AB| = 10 \) cm.
- Bizden istenen \( |AC| \) uzunluğudur.
- 👉 Adım 3: Denklemi kurup \( |AC| \) uzunluğunu bulalım.
- İhtiyacımız olan oranları seçelim:
- \[ \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} \]
- Değerleri yerine yazalım:
- \[ \frac{4}{|AC|} = \frac{5}{10} \]
- Sağ tarafı sadeleştirelim:
- \[ \frac{4}{|AC|} = \frac{1}{2} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 1 \cdot |AC| = 4 \cdot 2 \)
- \( |AC| = 8 \) cm. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-benzerlik/sorular