🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik, Benzerlik, Tales, Pisagor, Öklid Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşlik, Benzerlik, Tales, Pisagor, Öklid Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Kenar uzunlukları; \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Kenar uzunlukları; \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |DF| = 9 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruda, üçgenlerin kenar uzunlukları verilmiş ve eşlik durumları istenmiştir.
- 💡 Eşlik, iki geometrik şeklin hem şekil hem de boyut olarak tamamen aynı olması anlamına gelir. Üçgenlerde eşlik için farklı kriterler bulunur.
- 📌 Verilen kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
- \( |AB| = 5 \) cm ve \( |DE| = 5 \) cm
- \( |BC| = 7 \) cm ve \( |EF| = 7 \) cm
- \( |AC| = 9 \) cm ve \( |DF| = 9 \) cm
- 👉 Görüldüğü gibi, ABC üçgeninin tüm kenar uzunlukları, DEF üçgeninin karşılıklı kenar uzunluklarına eşittir.
- ✅ Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı olarak adlandırılır. İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları eşitse, bu üçgenler eştir.
- Sonuç olarak, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir ve bu durum \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Bu üçgenlerde \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 80^\circ \) ve \( |AB| = 6 \) cm, \( |DE| = 12 \) cm'dir.
Buna göre, bu üçgenlerin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Bu üçgenlerde \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 80^\circ \) ve \( |AB| = 6 \) cm, \( |DE| = 12 \) cm'dir.
Buna göre, bu üçgenlerin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, üçgenlerin iki açısı ve birer kenar uzunluğu verilmiş, benzerlik durumları istenmiştir.
- 💡 Benzerlik, iki geometrik şeklin aynı şekle sahip olması ancak boyutlarının farklı olabilmesidir. Üçgenlerde benzerlik için farklı kriterler bulunur.
- 📌 Verilen açıları ve kenarları inceleyelim:
- \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \) (Açıları eşit)
- \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \) (Açıları eşit)
- 👉 İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olacaktır (Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için). Bu durum Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kuralı olarak adlandırılır.
- ✅ Buna göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir ve bu durum \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir.
- Şimdi benzerlik oranını bulalım. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.
- Verilen kenar uzunlukları: \( |AB| = 6 \) cm ve \( |DE| = 12 \) cm'dir. Bu kenarlar, eşit açılar arasında kalan kenarlardır.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) olacaktır.
- Sonuç olarak, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) dir.
Örnek 3:
Şekildeki gibi, bir d doğrusu üzerinde A, B, C noktaları ve bu doğruya paralel olan başka bir e doğrusu üzerinde D, E, F noktaları bulunmaktadır.
A, D; B, E; C, F noktaları birer doğru parçasıyla birleştirilmiştir.
\( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( |DE| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |EF| \) uzunluğunu bulunuz.
A, D; B, E; C, F noktaları birer doğru parçasıyla birleştirilmiştir.
\( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm ve \( |DE| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |EF| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, Tales Bağıntısı veya Temel Benzerlik Teoremi olarak bilinen kavramla ilgilidir.
- 💡 Tales Bağıntısı, paralel iki doğruyu kesen farklı doğrular üzerinde oluşan doğru parçalarının oranlarının birbirine eşit olduğunu ifade eder.
- 📌 Soruda d ve e doğrularının paralel olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, kesen doğruların (AD, BE, CF) d ve e doğruları üzerinde ayırdığı parçaların oranları eşittir.
- Yani, \( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \) bağıntısı geçerlidir.
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{8}{|EF|} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |EF| \) uzunluğunu bulabiliriz: \[ 4 \times |EF| = 6 \times 8 \] \[ 4 \times |EF| = 48 \]
- Her iki tarafı 4'e bölelim: \[ |EF| = \frac{48}{4} \] \[ |EF| = 12 \text{ cm} \]
- ✅ Sonuç olarak, \( |EF| \) uzunluğu 12 cm'dir.
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 6 cm, diğerinin uzunluğu 8 cm'dir.
Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problem Pisagor Bağıntısı ile çözülür.
- 💡 Pisagor Bağıntısı, sadece dik üçgenlerde geçerli olan bir bağıntıdır. Bir dik üçgende dik kenarların (a ve b) karelerinin toplamı, hipotenüsün (c) karesine eşittir. Formülü \( a^2 + b^2 = c^2 \) şeklindedir.
- 📌 Verilen dik kenar uzunlukları \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm'dir. Hipotenüs uzunluğu \( c \) 'yi bulmamız gerekiyor.
- Pisagor Bağıntısı'nı uygulayalım: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]
- Karelerini alalım: \[ 36 + 64 = c^2 \]
- Toplama işlemini yapalım: \[ 100 = c^2 \]
- 👉 \( c \) 'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \text{ cm} \]
- ✅ Sonuç olarak, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır (\( m(\widehat{A}) = 90^\circ \)).
A köşesinden hipotenüs BC'ye bir dikme indirilmiştir ve bu dikmenin ayağı H noktasıdır.
\( |BH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm olduğuna göre, A noktasından inen dikmenin uzunluğu olan \( |AH| \) 'ı bulunuz.
A köşesinden hipotenüs BC'ye bir dikme indirilmiştir ve bu dikmenin ayağı H noktasıdır.
\( |BH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm olduğuna göre, A noktasından inen dikmenin uzunluğu olan \( |AH| \) 'ı bulunuz.
Çözüm:
Bu problem Öklid Bağıntıları'ndan biri olan yükseklik bağıntısı ile çözülür.
- 💡 Öklid Bağıntıları, dik üçgende dik açıdan hipotenüse dikme indirildiğinde oluşan parçalar arasındaki ilişkileri açıklayan bağıntılardır.
- 📌 Soruda, A dik açısı olan bir ABC üçgeninde, A'dan hipotenüs BC'ye indirilen dikme AH'tır.
- \( |BH| \) uzunluğu hipotenüs üzerindeki bir parça (\( p \)), \( |HC| \) uzunluğu ise diğer parçadır (\( k \)).
- Öklid'in yükseklik bağıntısı şöyledir: \( |AH|^2 = |BH| \times |HC| \).
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( |BH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm. \[ |AH|^2 = 4 \times 9 \] \[ |AH|^2 = 36 \]
- 👉 \( |AH| \) 'ı bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ |AH| = \sqrt{36} \] \[ |AH| = 6 \text{ cm} \]
- ✅ Sonuç olarak, A noktasından inen dikmenin uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 6:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için şekildeki gibi bir yöntem kullanıyor.
Mühendis, binadan 10 metre uzakta duruyor. Göz hizası yerden 1.5 metre yükseklikte.
Mühendis, bir direğin tepesini ve binanın tepesini aynı hizada görebiliyor.
Direk, mühendisle bina arasında ve mühendisten 4 metre uzaklıkta bulunuyor. Direğin yüksekliği 3.5 metredir.
Buna göre, binanın yüksekliğini bulunuz. (Mühendisin göz hizası, direğin tabanı ve binanın tabanı aynı yatay düzlemdedir.)
Mühendis, binadan 10 metre uzakta duruyor. Göz hizası yerden 1.5 metre yükseklikte.
Mühendis, bir direğin tepesini ve binanın tepesini aynı hizada görebiliyor.
Direk, mühendisle bina arasında ve mühendisten 4 metre uzaklıkta bulunuyor. Direğin yüksekliği 3.5 metredir.
Buna göre, binanın yüksekliğini bulunuz. (Mühendisin göz hizası, direğin tabanı ve binanın tabanı aynı yatay düzlemdedir.)
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler prensibini kullanarak çözülebilir.
- 💡 Öncelikle, mühendisin göz hizasından itibaren oluşan üçgenleri düşünmeliyiz. Yer seviyesindeki yükseklikleri daha sonra ekleyeceğiz.
- 📌 Mühendisin göz hizasını (G), direğin tepesini (D'), binanın tepesini (B') işaretleyelim. Mühendisin göz hizasından yatay bir çizgi çekersek, direğin ve binanın bu çizginin üzerindeki kısımları ile üçgenler oluşur.
- Direğin göz hizasından yukarısı = Direk yüksekliği - Göz hizası = \( 3.5 - 1.5 = 2 \) metredir.
- Mühendisin direğe olan uzaklığı = 4 metre.
- Mühendisin binaya olan uzaklığı = 10 metre.
- 👉 Oluşan iki benzer dik üçgen vardır. Küçük üçgen, mühendisin göz hizası, direğin üst noktasının yatay hizası ve direğin kendisi arasındadır. Büyük üçgen ise mühendisin göz hizası, binanın üst noktasının yatay hizası ve binanın kendisi arasındadır.
- Benzerlik oranını kullanarak binanın göz hizasından yukarısındaki yüksekliğini (\( x \)) bulabiliriz: \[ \frac{\text{Direğin göz hizasından yukarısı}}{\text{Binanın göz hizasından yukarısı}} = \frac{\text{Mühendisin direğe uzaklığı}}{\text{Mühendisin binaya uzaklığı}} \] \[ \frac{2}{x} = \frac{4}{10} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 4x = 2 \times 10 \] \[ 4x = 20 \] \[ x = \frac{20}{4} \] \[ x = 5 \text{ metre} \]
- ✅ Bu \( x \) değeri, binanın mühendisin göz hizasından itibaren olan yüksekliğidir. Binanın toplam yüksekliği için mühendisin göz hizası yüksekliğini eklemeliyiz:
- Binanın toplam yüksekliği = \( x + \text{Göz hizası yüksekliği} = 5 + 1.5 = 6.5 \) metredir.
- Sonuç olarak, binanın yüksekliği 6.5 metredir.
Örnek 7:
Bir bahçıvan, bahçesindeki ağacın boyunu ölçmek istiyor.
Güneşli bir günde, ağacın gölge boyunu 12 metre olarak ölçüyor.
Aynı anda, bahçıvanın boyu 1.8 metre ve gölge boyu 2.4 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
Güneşli bir günde, ağacın gölge boyunu 12 metre olarak ölçüyor.
Aynı anda, bahçıvanın boyu 1.8 metre ve gölge boyu 2.4 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler veya Tales Bağıntısı prensibiyle çözülebilir. Güneş ışınları yeryüzüne paralel geldiği için, aynı anda oluşan gölgeler benzer üçgenler oluşturur.
- 💡 Ağaç ve gölgesi ile bahçıvan ve gölgesi, yere dik durdukları varsayıldığında, güneş ışınlarının açısı aynı olduğu için iki benzer dik üçgen oluşturur.
- 📌 Ağacın boyuna \( A \), bahçıvanın boyuna \( B \), ağacın gölge boyuna \( G_A \), bahçıvanın gölge boyuna \( G_B \) diyelim.
- Verilenler:
- Ağacın gölge boyu \( G_A = 12 \) metre.
- Bahçıvanın boyu \( B = 1.8 \) metre.
- Bahçıvanın gölge boyu \( G_B = 2.4 \) metre.
- 👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır: \[ \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Bahçıvanın boyu}} = \frac{\text{Ağacın gölge boyu}}{\text{Bahçıvanın gölge boyu}} \] \[ \frac{A}{1.8} = \frac{12}{2.4} \]
- Denklemi çözmek için sağ tarafı sadeleştirelim: \[ \frac{12}{2.4} = \frac{120}{24} = 5 \]
- Şimdi denklemi tekrar yazalım: \[ \frac{A}{1.8} = 5 \]
- Ağacın boyunu bulmak için 1.8 ile 5'i çarpalım: \[ A = 5 \times 1.8 \] \[ A = 9 \text{ metre} \]
- ✅ Sonuç olarak, ağacın boyu 9 metredir.
Örnek 8:
Bir inşaat sahasında, yerdeki A noktasından 15 metre uzaklıktaki bir B noktasına dik bir direk dikilmiştir.
Bu direğin B noktasından 8 metre yukarıda bulunan C noktasına bir ip bağlanmıştır.
Bu ip, yerden A noktasına kadar gergin bir şekilde uzatılmıştır.
Ancak, ipin tam ortasından D noktasına bir destek konulması gerekmektedir.
Desteğin yerden yüksekliği kaç metre olmalıdır? (D noktası, A ve C noktaları arasındaki ipin tam ortasıdır.)
Bu direğin B noktasından 8 metre yukarıda bulunan C noktasına bir ip bağlanmıştır.
Bu ip, yerden A noktasına kadar gergin bir şekilde uzatılmıştır.
Ancak, ipin tam ortasından D noktasına bir destek konulması gerekmektedir.
Desteğin yerden yüksekliği kaç metre olmalıdır? (D noktası, A ve C noktaları arasındaki ipin tam ortasıdır.)
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler veya orta taban kavramı ile çözülebilir.
- 💡 Direk (BC) yere dik olduğu için, ABC üçgeni bir dik üçgendir. D noktası AC ipinin tam ortasıdır. D noktasından yere dik indirilen destek (DE), BC direğine paralel olacaktır.
- 📌 Bu durumda, ABE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. D noktası AC'nin orta noktası olduğu için, E noktası da AB'nin orta noktası olacaktır.
- Verilenler:
- \( |AB| = 15 \) metre (Yerdeki uzaklık)
- \( |BC| = 8 \) metre (Direğin yüksekliği)
- D noktası, AC ipinin tam ortasıdır.
- 👉 D'den yere indirilen dik destek DE olsun. DE, BC'ye paraleldir.
- Üçgende orta taban teoremine göre, bir kenarın orta noktasından karşı kenara paralel çizilen doğru, diğer kenarı da ortalar ve uzunluğu paralel olduğu kenarın yarısı kadardır.
- Burada DE, BC'ye paralel ve D, AC'nin orta noktasıdır. Bu durumda DE, ABC üçgeninin bir orta tabanıdır.
- Desteğin yerden yüksekliği \( |DE| \), direğin yüksekliği \( |BC| \) 'nin yarısı olacaktır. \[ |DE| = \frac{|BC|}{2} \] \[ |DE| = \frac{8}{2} \] \[ |DE| = 4 \text{ metre} \]
- ✅ Sonuç olarak, desteğin yerden yüksekliği 4 metre olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-eslik-benzerlik-tales-pisagor-oklid-bagintilari/sorular