💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Eşitlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı ve bu kenarların arasındaki açılar eş ise, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açıların arasındaki kenarları eş ise, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da eş ise, bu üçgenler eştir.

Eş üçgenlerin karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve tüm açı ölçüleri birbirine eşittir. ✅

Bu üçgenler, karşılıklı ikişer kenarları ve bu kenarların arasındaki açıları eş olduğu için Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre eştir. Bu durum \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) şeklinde gösterilir. 👉

Evet, ABC ve DEF üçgenleri eştir.

• Verilenlere göre, \( |AB| = |DE| = 5 \) cm ve \( |BC| = |EF| = 7 \) cm'dir.
• Ayrıca, \( \angle B = \angle E = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
• İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı ve bu kenarların arasındaki açıları eş olduğundan, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

Bu eşlikten dolayı, \( |AC| = |DF| \) ve \( \angle A = \angle D \), \( \angle C = \angle F \) olmalıdır. 📌

İki üçgenin benzer olabilmesi için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eş ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eş ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri eşittir ve karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır. Bu orana benzerlik oranı denir. 📏

Evet, ABC ve PQR üçgenleri benzerdir.

• ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) verilmiş. Bu durumda \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
• PQR üçgeninde \( \angle P = 50^\circ \) ve \( \angle Q = 70^\circ \) verilmiş. Bu durumda \( \angle R = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
• Her iki üçgenin de karşılıklı açıları eşittir: \( \angle A = \angle P \), \( \angle B = \angle Q \) ve \( \angle C = \angle R \).

Bu nedenle, bu üçgenler Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre benzerdir. \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) şeklinde gösterilir. 👍

Bu problemde, binanın kendisi ile fotoğraf üzerindeki görüntüsü arasında bir benzerlik ilişkisi vardır. Mesafe ve görüntü boyu orantılıdır.

• İlk durumda: Bina mesafesi \( d_1 = 100 \) m, görüntü boyu \( b_1 = 20 \) mm.
• İkinci durumda: Bina mesafesi \( d_2 = 50 \) m, görüntü boyu \( b_2 \) (bilinmiyor).

Benzerlik prensibine göre, mesafenin görüntü boyuna oranı sabittir (veya ters orantılıdır, mesafenin artması görüntü boyunu azaltır). Bu durumda, mesafeler yarıya indiğinde görüntü boyu iki katına çıkar.

\( \frac{d_1}{b_1} = \frac{d_2}{b_2} \) (Bu oran sabit değildir, çünkü lensin odak uzaklığı da işin içine girer. Daha basit bir yaklaşımla, mesafe ile görüntü boyu ters orantılıdır.)

Daha doğru bir ifadeyle, görüntü boyu \( b \) ile nesne mesafesi \( d \) arasında yaklaşık olarak \( b \propto \frac{1}{d} \) ilişkisi vardır. Yani, mesafe yarıya inerse, görüntü boyu iki katına çıkar. \( d_2 = \frac{d_1}{2} \) olduğundan, \( b_2 = 2 \times b_1 \) olur. \( b_2 = 2 \times 20 \) mm = 40 mm. Dolayısıyla, fotoğrafçı binaya 50 metre mesafeye geldiğinde, binanın fotoğraf üzerindeki görüntüsünün boyu 40 mm olur. 💡

Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçek uzunluğa oranını verir.

• Ölçek: 1:500.000, yani haritadaki 1 birim, gerçekte 500.000 birime karşılık gelir.
• Harita üzerindeki mesafe: 5 cm.

Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekteki oranla çarparız: Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi (cm) \( \times \) Ölçek Oranı Gerçek Mesafe (cm) = \( 5 \text{ cm} \times 500.000 \) Gerçek Mesafe (cm) = \( 2.500.000 \) cm Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor. 1 km = 100.000 cm Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{2.500.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \) Gerçek Mesafe (km) = 25 km Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe 25 kilometre'dir. ✅

Bu problemde, \( AB \parallel DE \) olduğu için, ABC üçgeni ile DEC üçgeni arasında bir benzerlik söz konusudur.

• \( \angle C \) ortak açıdır.
• \( AB \parallel DE \) olduğundan, yöndeş açılardan \( \angle CAB = \angle CED \) ve \( \angle CBA = \angle CDE \) olur.

Bu durumda, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEC \) olur. Benzerlikten dolayı kenarlar orantılıdır: \( \frac{|AC|}{|EC|} = \frac{|BC|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|DE|} \) Bizim bildiklerimiz: \( |AD| = 4 \), \( |DB| = 6 \), \( |AE| = 3 \). \( |AC| = |AE| + |EC| = 3 + |EC| \) \( |BC| = |BD| + |DC| = 6 + |DC| \) Orantıyı kullanarak: \( \frac{|AC|}{|EC|} = \frac{|BC|}{|DC|} \) Bu oranı doğrudan kullanmak yerine, Thales (Temel Orantı) Teoremi'ni kullanabiliriz. \( AB \parallel DE \) olduğundan, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \) Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{2}{3} = \frac{3}{|EC|} \) İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2 \times |EC| = 3 \times 3 \) \( 2 \times |EC| = 9 \) \( |EC| = \frac{9}{2} \) \( |EC| = 4.5 \) cm Dolayısıyla, \( |EC| \) uzunluğu 4.5 cm'dir. 👉

Bu problemde, köprü ayakları (A ve B) ile mühendisin bulunduğu nokta (C) bir üçgen oluşturur. Mühendisin amacı bu üçgenin üçüncü kenarını bulmaktır. 9. sınıf müfredatında doğrudan Kosinüs Teoremi işlenmeyebilir, ancak benzerlik kavramı ile ilişkilendirilebilir. Eğer bu bir benzerlik sorusu olarak ele alınacaksa, problemde doğrudan benzer üçgenler verilmemiş. Ancak, üç kenar ve bir açı bilgisiyle üçüncü kenarı bulma problemi, genellikle Kosinüs Teoremi ile çözülür. 9. sınıf müfredatı içinde, eğer Kosinüs Teoremi'ne değinilmediyse, bu soru müfredat dışı olabilir. Ancak, benzerlik prensibini kullanarak bir ilişki kurmaya çalışalım: Bu senaryoda, doğrudan benzerlik kuralı uygulamak yerine, üçgenin kenar ve açı bilgilerini kullanarak bilinmeyen kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Eğer bu konu müfredatta yoksa, soru bu şekilde sorulamazdı. Ancak, eğer bu bir "beceri temelli" soru ise ve müfredatın temelini oluşturan benzerlikten yola çıkarak bir çıkarım yapılması isteniyorsa, bu durum biraz daha karmaşık hale gelir. Varsayımsal olarak, eğer soru benzerlik prensibini vurguluyorsa, problemde bir ölçeklendirme veya benzer bir üçgenin varlığı ima edilmelidir. Mevcut haliyle, en uygun çözüm Kosinüs Teoremi'dir. Kosinüs Teoremi'ne göre: \( |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \times |AC| \times |BC| \times \cos(\angle ACB) \) Verilenler: \( |AC| = 80 \) m \( |BC| = 120 \) m \( \angle ACB = 60^\circ \) \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) \( |AB|^2 = 80^2 + 120^2 - 2 \times 80 \times 120 \times \frac{1}{2} \) \( |AB|^2 = 6400 + 14400 - 19200 \times \frac{1}{2} \) \( |AB|^2 = 20800 - 9600 \) \( |AB|^2 = 11200 \) \( |AB| = \sqrt{11200} \) \( |AB| = \sqrt{1600 \times 7} \) \( |AB| = 40\sqrt{7} \) metre Yaklaşık olarak \( \sqrt{7} \approx 2.646 \) \( |AB| \approx 40 \times 2.646 \) \( |AB| \approx 105.84 \) metre Bu nedenle, köprünün iki ayağı arasındaki gerçek mesafe yaklaşık olarak 105.84 metre'dir. Bu problem, üçgenlerde kenar ve açı ilişkilerini kullanarak bilinmeyenleri bulma becerisini ölçer. Benzerlik, bu tür problemlerin temelini oluşturan geometrik ilişkileri anlamaya yardımcı olur. 💡

Evet, bu iki eşkenar üçgen benzerdir.

• Eşkenar üçgenlerin tüm iç açıları \( 60^\circ \)'dir.
• Dolayısıyla, her iki üçgenin de tüm açıları \( 60^\circ \) olduğu için, karşılıklı açıları eşittir.

Bu durumda, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre bu iki eşkenar üçgen benzerdir. Kenar uzunlukları farklı olsa da, açıları aynı olduğu için benzerdirler. ✅

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için kenar uzunluklarının orantılı olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: 12 cm, 18 cm, 24 cm.
• DEF üçgeninin kenar uzunlukları: 4 cm, 6 cm, 8 cm.

Karşılıklı kenarları oranlayalım (küçük üçgenin kenarlarını büyük üçgenin kenarlarına oranlayarak): \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) \( \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \) \( \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \) Her üç oranın da \( \frac{1}{3} \) çıktığını görüyoruz. Bu, karşılıklı kenarların orantılı olduğunu gösterir. Bu nedenle, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur. Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{3} \) 'tür. (Veya \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ise oran \( \frac{1}{3} \), \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \) ise oran 3 olur.) 👉