📄 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Benzerlik Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenleri arasında benzerlik vardır. Çünkü \( DE \) doğru parçası \( BC \) kenarına paraleldir. Bu durumda Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur. Ayrıca \( \angle A \) açısı her iki üçgende de ortak açıdır. Bu nedenle \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) (Açı-Açı-Açı benzerliği).
Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarların oranlarını kullanırız.
\( AD = 5 \) cm ve \( DB = 3 \) cm olduğundan, \( AB = AD + DB = 5 + 3 = 8 \) cm'dir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{AD}{AB} = \frac{5}{8} \) olur.
Bu oran \( DE \) ve \( BC \) kenarları için de geçerlidir:
\( \frac{DE}{BC} = k \)
\( \frac{DE}{12} = \frac{5}{8} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak \( DE \) uzunluğunu bulabiliriz:
\( 8 \cdot DE = 12 \cdot 5 \)
\( 8 \cdot DE = 60 \)
\( DE = \frac{60}{8} \)
\( DE = \frac{15}{2} \)
\( DE = 7.5 \) cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \( ABC \) üçgeninin açılarını bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
\( ABC \) üçgeninin açıları: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \).
\( \triangle ABC \sim \triangle KLM \) benzerliği verildiğine göre, karşılıklı açılar eşit olmalıdır:
\( \angle A = \angle K = 50^\circ \)
\( \angle B = \angle L = 70^\circ \)
\( \angle C = \angle M = 60^\circ \)
Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarların oranlarını kullanırız:
\( \frac{AC}{\text{KLM'deki B açısı karşısı}} = \frac{AB}{\text{KLM'deki C açısı karşısı}} = \frac{BC}{\text{KLM'deki A açısı karşısı}} \)
\( \angle B \)'nin karşısındaki kenar \( AC \) ve \( \angle L \)'nin karşısındaki kenar \( KM \) olduğundan:
\( \frac{AC}{KM} = \frac{4}{12} \) = Benzerlik oranı \( k \).
Benzerlik oranı \( k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) bulunur.
Şimdi \( AB \) kenarını bulalım. \( \angle C \)'nin karşısındaki kenar \( AB \) ve \( \angle M \)'nin karşısındaki kenar \( KL \) olduğundan:
\( \frac{AB}{KL} = k \)
\( \frac{AB}{6} = \frac{1}{3} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak \( AB \) uzunluğunu bulabiliriz:
\( 3 \cdot AB = 6 \cdot 1 \)
\( AB = \frac{6}{3} \)
\( AB = 2 \) cm'dir.
Sonuç olarak, \( AB \) kenarının uzunluğu 2 cm ve benzerlik oranı \( \frac{1}{3} \)'tür.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemi benzer üçgenler kullanarak çözebiliriz.
Birinci merdiven, duvar ve yer arasında bir dik üçgen oluşturur.
* Duvardan uzaklık (taban) = \( 3 \) metre
* Yerden yükseklik (dik kenar) = \( 4 \) metre
İkinci merdiven de aynı şekilde bir dik üçgen oluşturur.
* Duvardan uzaklık (taban) = \( 6 \) metre
* Yerden yükseklik (dik kenar) = \( h \) (Bunu bulmak istiyoruz)

İki merdivenin de duvara yaslanması ve yerin düz olması, bu iki dik üçgenin benzer olduğunu gösterir. Çünkü her ikisinde de bir 90 derecelik açı vardır (duvar-yer ilişkisi) ve merdivenler paralel olduğu için yerle yaptıkları açılar da aynıdır (Açı-Açı benzerliği).

Buna göre, karşılıklı kenarlar orantılıdır:
\( \frac{\text{Birinci merdivenin duvara uzaklığı}}{\text{İkinci merdivenin duvara uzaklığı}} = \frac{\text{Birinci merdivenin yerden yüksekliği}}{\text{İkinci merdivenin yerden yüksekliği}} \)

Değerleri yerine yazalım:
\( \frac{3}{6} = \frac{4}{h} \)

Denklemi çözelim:
\( 3 \cdot h = 6 \cdot 4 \)
\( 3h = 24 \)
\( h = \frac{24}{3} \)
\( h = 8 \) metre.

Yani, ikinci merdivenin üst ucu yerden \( 8 \) metre yüksekliktedir.