🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Benzerlik ve Pisagor Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Benzerlik ve Pisagor Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı 6 cm, BC kenarı 8 cm ve AC kenarı 10 cm'dir. Bu üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor bağıntısını kullanarak belirleyiniz. 💡
Çözüm:
- Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Yani \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Kenarları Belirleme: En uzun kenar her zaman hipotenüstür. Bu durumda AC kenarı (10 cm) hipotenüs olacaktır. Diğer kenarlar ise dik kenarlardır (AB = 6 cm, BC = 8 cm).
- Uygulama: \( 6^2 + 8^2 \) işlemini yapalım. \( 6^2 = 36 \) ve \( 8^2 = 64 \) olur. Toplamları \( 36 + 64 = 100 \) eder.
- Karşılaştırma: Hipotenüsün karesini hesaplayalım. \( 10^2 = 100 \) olur.
- Sonuç: Dik kenarların kareleri toplamı (100), hipotenüsün karesine (100) eşit olduğu için bu üçgen bir dik üçgendir. ✅
Örnek 2:
İki benzer üçgenin kenar uzunlukları orantılıdır. ABC üçgeninin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir. Bu üçgene benzer ve çevresi 24 cm olan DEF üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. ABC üçgeninin çevresi \( 3 + 4 + 5 = 12 \) cm'dir.
- Çevre Oranı: DEF üçgeninin çevresi 24 cm'dir. Bu durumda çevreler oranı \( \frac{24}{12} = 2 \) olur. Bu, DEF üçgeninin kenarlarının ABC üçgeninin kenarlarından 2 kat daha uzun olacağı anlamına gelir.
- Kenar Uzunlukları:
- AB kenarına karşılık gelen DE kenarı: \( 3 \times 2 = 6 \) cm
- BC kenarına karşılık gelen EF kenarı: \( 4 \times 2 = 8 \) cm
- AC kenarına karşılık gelen DF kenarı: \( 5 \times 2 = 10 \) cm
- Kontrol: DEF üçgeninin çevresi \( 6 + 8 + 10 = 24 \) cm'dir. Bu, soruda verilen bilgiyle uyumludur. 👉
Örnek 3:
Bir inşaat işçisi, duvara dayadığı 10 metre uzunluğundaki bir merdivenin yere değdiği noktanın duvardan uzaklığını 6 metre olarak ölçüyor. Merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği hesaplayınız. 📏
Çözüm:
- Problemi Görselleştirme: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu hipotenüs, duvarın yüksekliği bir dik kenar ve zemindeki uzaklık diğer dik kenar olur.
- Verilenler:
- Merdiven uzunluğu (hipotenüs, c) = 10 metre
- Yere değdiği noktanın duvardan uzaklığı (dik kenar, b) = 6 metre
- Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik (dik kenar, a) = ?
- Pisagor Bağıntısını Kullanma: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri Yerine Koyma: \( a^2 + 6^2 = 10^2 \)
- Hesaplama:
- \( a^2 + 36 = 100 \)
- \( a^2 = 100 - 36 \)
- \( a^2 = 64 \)
- \( a = \sqrt{64} \)
- \( a = 8 \) metre
- Sonuç: Merdiven duvarda 8 metre yüksekliğe ulaşır. 👷
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \) ve AB = 5 cm, BC = 12 cm'dir. Buna göre AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
- Dik Üçgen Tanıma: Soruda \( \angle B = 90^\circ \) verildiği için ABC üçgeni bir dik üçgendir.
- Dik Kenarlar ve Hipotenüs: Dik kenarlar AB (5 cm) ve BC (12 cm)'dir. AC kenarı ise hipotenüstür.
- Pisagor Bağıntısı: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- Değerleri Yerine Koyma: \( 5^2 + 12^2 = AC^2 \)
- Hesaplama:
- \( 25 + 144 = AC^2 \)
- \( 169 = AC^2 \)
- \( AC = \sqrt{169} \)
- \( AC = 13 \) cm
- Sonuç: AC kenarının uzunluğu 13 cm'dir. ✨
Örnek 5:
İki dik üçgen verilmiştir. Birinci üçgenin dik kenarları 7 cm ve 24 cm'dir. İkinci üçgen ise birinci üçgen ile benzerdir ve en kısa kenarı 14 cm'dir. İkinci üçgenin hipotenüsünü bulunuz. 🧐
Çözüm:
- Birinci Üçgenin Hipotenüsünü Hesaplama: Birinci üçgenin dik kenarları 7 cm ve 24 cm'dir. Pisagor bağıntısını kullanarak hipotenüsü (h1) bulalım:
- \( 7^2 + 24^2 = h1^2 \)
- \( 49 + 576 = h1^2 \)
- \( 625 = h1^2 \)
- \( h1 = \sqrt{625} = 25 \) cm
- Benzerlik Oranını Bulma: İkinci üçgenin en kısa kenarı 14 cm'dir. Birinci üçgenin en kısa kenarı ise 7 cm'dir. Benzerlik oranı (k), ikinci üçgenin kenarlarının birinci üçgenin kenarlarına oranıdır:
- \( k = \frac{14 \text{ cm}}{7 \text{ cm}} = 2 \)
- İkinci Üçgenin Hipotenüsünü Hesaplama: Benzerlik oranı 2 olduğuna göre, ikinci üçgenin hipotenüsü (h2), birinci üçgenin hipotenüsünün 2 katı olacaktır:
- \( h2 = h1 \times k \)
- \( h2 = 25 \text{ cm} \times 2 \)
- \( h2 = 50 \) cm
- Sonuç: İkinci üçgenin hipotenüsü 50 cm'dir. 🚀
Örnek 6:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:1.000.000'dur. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
- Ölçek Anlamı: Harita üzerindeki 1 birimin, gerçekte 1.000.000 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- Gerçek Uzaklığı Hesaplama (cm cinsinden): Harita üzerindeki uzaklık 5 cm olduğuna göre, gerçek uzaklık:
- \( 5 \text{ cm} \times 1.000.000 = 5.000.000 \text{ cm} \)
- Santimetreyi Kilometreye Çevirme: Kilometreye çevirmek için önce metreye çeviririz (1 m = 100 cm), sonra kilometreye (1 km = 1000 m).
- \( 5.000.000 \text{ cm} \div 100 = 50.000 \text{ metre} \)
- \( 50.000 \text{ metre} \div 1000 = 50 \text{ kilometre} \)
- Sonuç: Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 50 kilometre'dir. 🌍
Örnek 7:
Bir parkta, birbirine paralel iki yol ve bu yolları kesen bir üçüncü yol bulunmaktadır. Paralel yollar arasındaki dik uzaklık 12 metredir. Üçüncü yol, paralel yolları A ve B noktalarında kesmektedir. A noktasının bir paralel yol üzerindeki konumu ile B noktasının diğer paralel yol üzerindeki konumu arasında 15 metrelik bir mesafe vardır. Bu üçüncü yolun uzunluğunu (kesilen kısmı) bulunuz. 🛤️
Çözüm:
- Problemi Görselleştirme: Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Paralel yollar arasındaki dik uzaklık (12 metre) dik kenarlardan birini, üçüncü yolun uzunluğu ise hipotenüsü temsil eder.
- Verilenler:
- Dik kenar (a) = 12 metre
- Hipotenüs (c) = 15 metre
- Diğer dik kenar (b) = ? (Bu, üçüncü yolun paralel yolları kestiği noktalar arasındaki yatay mesafedir ve doğrudan sorulmamıştır.)
- Pisagor Bağıntısını Kullanma: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Üçüncü Yolun Uzunluğunu Bulma (Hipotenüs): Soruda zaten üçüncü yolun uzunluğu (kesilen kısım) 15 metre olarak verilmiş. Eğer soruda "paralel yollar arasındaki mesafenin 12 metre olduğu ve üçüncü yolun, bir paralel yol üzerindeki bir noktadan diğer paralel yol üzerindeki bir noktaya 15 metre uzunluğunda gittiği" ifade edilseydi, üçüncü yolun uzunluğu doğrudan 15 metre olurdu. Ancak, sorunun ifadesi biraz yanıltıcı olabilir. Eğer "üçüncü yolun, paralel yolları kestiği noktalar arasındaki mesafe 15 metredir" deniliyorsa, bu hipotenüstür.
- Eğer Soru Farklı Anlaşılırsa: Eğer 15 metre, üçüncü yolun bir paralel yol üzerindeki başlangıç noktasından, diğer paralel yol üzerindeki bitiş noktasına olan eğik mesafesi ise, o zaman bu hipotenüstür ve cevap zaten verilmiştir.
- Varsayım: Soruda "üçüncü yolun uzunluğu" ifadesi, paralel yolları kesen eğik çizginin uzunluğunu ifade ediyorsa ve bu 15 metre ise, cevap direkt 15 metredir. Eğer 15 metre, A ve B noktaları arasındaki yatay mesafe olsaydı, o zaman dik kenar olurdu ve hipotenüs (üçüncü yolun uzunluğu) \( \sqrt{12^2 + 15^2} \) olurdu. Ancak "üçüncü yolun uzunluğu" denildiği için bu hipotenüstür.
- Sonuç: Soruda verilen bilgilere göre, üçüncü yolun uzunluğu 15 metre'dir. 🚶♀️
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı \( \sqrt{5} \) cm, BC kenarı \( \sqrt{20} \) cm ve AC kenarı \( \sqrt{25} \) cm'dir. Bu üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor bağıntısıyla kontrol ediniz. 🧐
Çözüm:
- Kenar Uzunluklarını Sadeleştirme:
- \( AB = \sqrt{5} \) cm
- \( BC = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \) cm
- \( AC = \sqrt{25} = 5 \) cm
- Hipotenüsü Belirleme: En uzun kenar 5 cm'dir (AC). Bu hipotenüs olmalıdır.
- Pisagor Bağıntısını Uygulama: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) olmalı.
- Hesaplama:
- \( (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5^2 \)
- \( 5 + (4 \times 5) = 25 \)
- \( 5 + 20 = 25 \)
- \( 25 = 25 \)
- Sonuç: Eşitlik sağlandığı için bu üçgen bir dik üçgendir. ✅
Örnek 9:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir. ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. DEF üçgeninin en uzun kenarı 25 cm olduğuna göre, DEF üçgeninin çevresini bulunuz. 🌳
Çözüm:
- Benzerlik Oranını Bulma: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. ABC üçgeninin en uzun kenarı 10 cm'dir. DEF üçgeninin en uzun kenarı ise 25 cm'dir. Benzerlik oranı (k), DEF üçgeninin kenarlarının ABC üçgeninin kenarlarına oranıdır:
- \( k = \frac{25 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 2.5 \)
- ABC Üçgeninin Çevresini Hesaplama:
- Çevre(ABC) = \( 6 + 8 + 10 = 24 \) cm
- DEF Üçgeninin Çevresini Hesaplama: Benzerlik oranı 2.5 olduğuna göre, DEF üçgeninin çevresi, ABC üçgeninin çevresinin 2.5 katı olacaktır:
- Çevre(DEF) = Çevre(ABC) \( \times k \)
- Çevre(DEF) = \( 24 \text{ cm} \times 2.5 \)
- Çevre(DEF) = 60 cm
- Sonuç: DEF üçgeninin çevresi 60 cm'dir. 💯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-benzerlik-ve-pisagor-bagintilari/sorular