📄 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Benzerlik İçin Gerekli Asgari Koşullar Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

DE \parallel BC\) olduğu için Temel Benzerlik Teoremi'ni uygulayabiliriz.
\(\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\)
Verilen değerleri yerine yazarsak:
\(\frac{3}{5} = \frac{6}{|EC|}\)
Çapraz çarpım yaparak \(|EC|\) uzunluğunu buluruz:
\(3 \times |EC| = 5 \times 6\)
\(3 \times |EC| = 30\)
\(|EC| = \frac{30}{3}\)
\(|EC| = 10\) cm.

\(DE \parallel BC\) olduğundan \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (AA benzerlik kuralı gereği, \(\angle A\) ortak açı ve \(\angle ADE = \angle ABC\), \(\angle AED = \angle ACB\) yöndeş açılar).
Benzerlik oranı \(k\), karşılıklı kenarların oranına eşittir.
\(k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}\)
\(|AB| = |AD| + |DB| = 3 + 5 = 8\) cm.
Benzerlik oranı \(k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{8}\) olarak bulunur.
Bu oran, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin karşılıklı kenarlarına oranını ifade eder.

💡 Çözüm Adımları:

\(\triangle KLM \sim \triangle PRS\) olduğu verildiğinden, karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
Benzerlik oranı \(k = \frac{|KL|}{|PR|} = \frac{|LM|}{|RS|} = \frac{|MK|}{|SP|}\).
Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
\(k = \frac{6}{9}\)
Bu oranı sadeleştirirsek \(k = \frac{2}{3}\) olur.

Şimdi diğer kenarları bulmak için bu benzerlik oranını kullanabiliriz:
\(\frac{|LM|}{|RS|} = \frac{2}{3}\)
\(\frac{8}{|RS|} = \frac{2}{3}\)
\(2 \times |RS| = 8 \times 3\)
\(2 \times |RS| = 24\)
\(|RS| = \frac{24}{2}\)
\(|RS| = 12\) cm.

\(\frac{|MK|}{|SP|} = \frac{2}{3}\)
\(\frac{10}{|SP|} = \frac{2}{3}\)
\(2 \times |SP| = 10 \times 3\)
\(2 \times |SP| = 30\)
\(|SP| = \frac{30}{2}\)
\(|SP| = 15\) cm.

Benzerlik oranı \(k = \frac{2}{3}\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

KAK (Kenar-Açı-Kenar) benzerlik kuralına göre, iki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı ikişer kenarının orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıların eşit olması gerekir.

Öncelikle açıları kontrol edelim:
\(m(\angle A) = 60^\circ\) ve \(m(\angle D) = 60^\circ\).
Açılar birbirine eşittir (\(m(\angle A) = m(\angle D)\)). Bu koşul sağlanmıştır.

Şimdi bu açıları oluşturan kenarların orantılı olup olmadığını kontrol edelim:
\(\triangle ABC\) için \(\angle A\) açısını oluşturan kenarlar \(AB\) ve \(AC\)'dir.
\(\triangle DEF\) için \(\angle D\) açısını oluşturan kenarlar \(DE\) ve \(DF\)'dir.

Karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:
\(\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
\(\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

Görüldüğü gibi, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir (\(\frac{2}{3}\)).
Hem kenarlar arasındaki açılar eşit (\(60^\circ\)), hem de bu açıları oluşturan kenarlar orantılı olduğu için, KAK benzerlik kuralına göre \(\triangle ABC\) ve \(\triangle DEF\) üçgenleri benzerdir.