🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açılar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 50^\circ \) ve B açısı \( 70^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre C açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Harika bir başlangıç! Üçgenlerin en temel özelliklerinden biri, iç açılarının toplamının her zaman \( 180^\circ \) olmasıdır. Bu bilgiyi kullanarak C açısını kolayca bulabiliriz. İşte adımlar:
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamı formülünü hatırlayalım: \( \text{A} + \text{B} + \text{C} = 180^\circ \).
- Adım 2: Verilen A ve B açılarının değerlerini formülde yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + \text{C} = 180^\circ \).
- Adım 3: A ve B açılarının toplamını hesaplayalım: \( 120^\circ + \text{C} = 180^\circ \).
- Adım 4: C açısını bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 120^\circ \) 'yi çıkaralım: \( \text{C} = 180^\circ - 120^\circ \).
- Sonuç: \( \text{C} = 60^\circ \) bulunur. ✅
Örnek 2:
Bir ikizkenar üçgende tepe açısı \( 80^\circ \) ise, taban açılarından biri kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerin özel bir durumu var! İki kenarı eşit olduğu gibi, bu kenarların karşısındaki iki açısı da eşittir. Bu açılara taban açıları denir. Hadi hesaplayalım:
- Adım 1: İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir. Diyelim ki bu açılar x olsun. Yani, \( \text{Taban Açısı}_1 = \text{Taban Açısı}_2 = x \).
- Adım 2: Tepe açısı \( 80^\circ \) olarak verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, formülümüz şöyle olur: \( \text{Tepe Açısı} + x + x = 180^\circ \).
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 80^\circ + 2x = 180^\circ \).
- Adım 4: \( 2x \)'i yalnız bırakmak için \( 80^\circ \)'yi karşıya atalım: \( 2x = 180^\circ - 80^\circ \).
- Adım 5: \( 2x = 100^\circ \).
- Sonuç: Her bir taban açısını bulmak için \( 100^\circ \)'ü 2'ye bölelim: \( x = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \). ✅
Örnek 3:
Bir üçgenin iç açılarından ikisi \( 3x \) ve \( 4x \) olarak verilmiştir. Üçüncü iç açı ise \( 5x \) olarak ifade edilmiştir. Bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir? 📈
Çözüm:
Bu soruda bilinmeyenli ifadelerle uğraşacağız ama mantık aynı! Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) kuralını kullanacağız.
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, verilen açıları toplayıp \( 180^\circ \)'e eşitleyelim: \( 3x + 4x + 5x = 180^\circ \).
- Adım 2: x'li terimleri toplayalım: \( 12x = 180^\circ \).
- Adım 3: x'in değerini bulmak için \( 180^\circ \)'i 12'ye bölelim: \( x = \frac{180^\circ}{12} \).
- Adım 4: Bölme işlemini yapalım: \( x = 15^\circ \).
- Adım 5: Şimdi üçgenin açılarını bulalım:
- Birinci açı: \( 3x = 3 \times 15^\circ = 45^\circ \)
- İkinci açı: \( 4x = 4 \times 15^\circ = 60^\circ \)
- Üçüncü açı: \( 5x = 5 \times 15^\circ = 75^\circ \)
- Sonuç: Bu üçgenin açıları \( 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ \) 'dir. En büyük iç açı ise \( 75^\circ \) 'dir. 🏆
Örnek 4:
Bir parkta bulunan üç farklı bankın konumları, bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir. Bu banklardan birincisinin bulunduğu köşedeki iç açı \( 55^\circ \), ikincisinin bulunduğu köşedeki iç açı \( 65^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu parkın tasarımı gereği, üçüncü bankın bulunduğu köşedeki açının, ilk iki bankın bulunduğu köşelerdeki açıların toplamına eşit olması istenmektedir. Bu tasarım şartı sağlanmış mıdır? 🌳
Çözüm:
Bu soruda, park tasarımının matematiksel bir kurala uyup uymadığını kontrol edeceğiz. Üçgenin iç açıları toplamı ve tasarım şartını karşılaştıracağız.
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
- Adım 2: İlk iki bankın bulunduğu köşelerdeki açılar \( 55^\circ \) ve \( 65^\circ \).
- Adım 3: Bu iki açının toplamını hesaplayalım: \( 55^\circ + 65^\circ = 120^\circ \).
- Adım 4: Tasarım şartına göre, üçüncü bankın bulunduğu köşedeki açı bu toplam kadar olmalıydı, yani \( 120^\circ \).
- Adım 5: Şimdi üçgenin iç açılarının toplamını kontrol edelim: \( 55^\circ + 65^\circ + \text{Üçüncü Açı} = 180^\circ \).
- Adım 6: Bu durumda üçüncü açı \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olmalıdır.
- Sonuç: Tasarım şartı (üçüncü açının ilk ikisinin toplamı olması) sağlanmamıştır. Çünkü \( 120^\circ \neq 60^\circ \). Parkın tasarımında bir hata var gibi görünüyor! 🧐
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın çatısının eğimini hesaplarken üçgen modeller kullanır. Bir çatının bir kenarı yer düzlemiyle \( 30^\circ \) 'lik bir açı yapıyorsa ve bu kenarın bitişiğindeki diğer kenar \( 90^\circ \)'lik bir dik açı oluşturuyorsa, çatının üçüncü kenarının yer düzlemiyle yapacağı açı kaç derece olur? 🏗️
Çözüm:
İnşaat mühendisliği gibi alanlarda üçgenler hayat kurtarır! Bu soruda, bir dik üçgenin açılarını bulacağız.
- Adım 1: Soruda bir dik üçgen olduğu belirtiliyor, çünkü bir açı \( 90^\circ \).
- Adım 2: Üçgenin diğer iki açısı \( 30^\circ \) ve bilinmeyen bir açı (diyelim ki y).
- Adım 3: Üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz: \( 30^\circ + 90^\circ + y = 180^\circ \).
- Adım 4: Bilinen açıları toplayalım: \( 120^\circ + y = 180^\circ \).
- Adım 5: y'yi bulmak için \( 180^\circ \)'den \( 120^\circ \)'yi çıkaralım: \( y = 180^\circ - 120^\circ \).
- Sonuç: \( y = 60^\circ \). ✅
Örnek 6:
Bir üçgenin dış açılarından ikisi \( 110^\circ \) ve \( 130^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre bu üçgenin üçüncü dış açısı kaç derecedir? ☀️
Çözüm:
Dış açılar da kendi içinde bir kurala sahip! Bir üçgenin dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \) 'dir. Hadi bu kuralı kullanalım:
- Adım 1: Üçgenin dış açılarının toplamı formülü: \( \text{Dış Açısı}_1 + \text{Dış Açısı}_2 + \text{Dış Açısı}_3 = 360^\circ \).
- Adım 2: Verilen dış açıları formüle yerleştirelim: \( 110^\circ + 130^\circ + \text{Üçüncü Dış Açı} = 360^\circ \).
- Adım 3: Bilinen dış açıları toplayalım: \( 240^\circ + \text{Üçüncü Dış Açı} = 360^\circ \).
- Adım 4: Üçüncü dış açıyı bulmak için \( 360^\circ \)'den \( 240^\circ \)'yi çıkaralım: \( \text{Üçüncü Dış Açı} = 360^\circ - 240^\circ \).
- Sonuç: \( \text{Üçüncü Dış Açı} = 120^\circ \). ✅
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirlerinin konumları bir üçgen oluşturmaktadır. A şehrindeki gözlemcinin B şehrine doğru baktığı açı \( 40^\circ \) ve C şehrine doğru baktığı açı \( 60^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu bilgilere göre, B şehrindeki gözlemcinin A şehrine doğru baktığı açı ile C şehrine doğru baktığı açının toplamı kaç derecedir? 🗺️
Çözüm:
Bu soruda, harita üzerindeki şehirleri bir üçgenin köşeleri olarak düşünerek açıları bulacağız.
- Adım 1: A noktasındaki gözlemcinin baktığı açılar \( 40^\circ \) (B'ye) ve \( 60^\circ \) (C'ye). Bu, A açısının \( 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ \) olduğunu gösterir.
- Adım 2: Bir ABC üçgeninde A açısı \( 100^\circ \) olarak belirlendi.
- Adım 3: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, B ve C açılarının toplamını bulabiliriz: \( \text{B açısı} + \text{C açısı} = 180^\circ - \text{A açısı} \).
- Adım 4: \( \text{B açısı} + \text{C açısı} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
- Sonuç: Soruda B şehrindeki gözlemcinin A'ya ve C'ye baktığı açıların toplamı soruluyor. Bu, aslında B açısının kendisidir. Ancak, soruda verilen bilgilerle B ve C açılarının ayrı ayrı değerlerini bulamayız, sadece toplamlarını \( 80^\circ \) olarak bulabiliriz. Eğer soru "B ve C açılarının toplamı kaç derecedir?" şeklinde olsaydı cevap \( 80^\circ \) olurdu. Ancak, sorunun orijinal haliyle, B'deki gözlemcinin A'ya ve C'ye baktığı açıların toplamı, B açısının kendisidir. Bu durumda, B ve C açılarının toplamı \( 80^\circ \) olduğundan, B açısı \( 80^\circ \)'den küçük olmalıdır. Sorunun tam olarak ne sorduğu net değil, ancak eğer B açısı soruluyorsa, bu bilgiyle tam olarak bulunamaz. Eğer B ve C açılarının toplamı soruluyorsa cevap \( 80^\circ \) olurdu. 💡
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, \( m(\angle A) = 2 \times m(\angle B) \) ve \( m(\angle C) = m(\angle A) + 30^\circ \) ilişkileri verilmiştir. Buna göre \( m(\angle B) \) kaç derecedir? 🧮
Çözüm:
Bu soruda, açıların birbirleriyle olan ilişkilerini kullanarak bilinmeyenleri çözeceğiz.
- Adım 1: A açısının B açısının iki katı olduğunu biliyoruz: \( A = 2B \).
- Adım 2: C açısının A açısının \( 30^\circ \) fazlası olduğunu biliyoruz: \( C = A + 30^\circ \).
- Adım 3: C açısını B cinsinden ifade edelim. A yerine \( 2B \) yazarsak: \( C = 2B + 30^\circ \).
- Adım 4: Şimdi üçgenin iç açılarının toplamı kuralını kullanalım: \( A + B + C = 180^\circ \).
- Adım 5: A ve C'yi B cinsinden yazdığımız ifadeleri bu formülde yerine koyalım: \( (2B) + B + (2B + 30^\circ) = 180^\circ \).
- Adım 6: B'li terimleri toplayalım: \( 5B + 30^\circ = 180^\circ \).
- Adım 7: \( 30^\circ \)'yi karşıya atalım: \( 5B = 180^\circ - 30^\circ \).
- Adım 8: \( 5B = 150^\circ \).
- Sonuç: B açısını bulmak için \( 150^\circ \)'i 5'e bölelim: \( B = \frac{150^\circ}{5} = 30^\circ \). ✅
Örnek 9:
Bir yelkenli teknenin direği, yelkeni üçgen şeklinde tutmaktadır. Yelkenin alt kenarı rüzgarla \( 45^\circ \) 'lik bir açı yaparken, direkle birleşen üst kenarı \( 135^\circ \)'lik bir açı yapmaktadır. Yelkenin alt kenarı ile direk arasındaki açı kaç derecedir? ⛵
Çözüm:
Yelkenlilerde de üçgenler gizli! Bu soruda, yelkenin şeklini bir üçgen olarak ele alıp açılarını bulacağız.
- Adım 1: Yelkenin alt kenarının rüzgarla yaptığı açı \( 45^\circ \). Bu, üçgenin bir iç açısıdır.
- Adım 2: Yelkenin direkle birleşen üst kenarının yaptığı açı \( 135^\circ \). Bu, üçgenin bir dış açısıdır.
- Adım 3: Bir dış açının komşu iç açısı ile toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, direğin oluşturduğu iç açıyı bulabiliriz: \( \text{Direk İç Açısı} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
- Adım 4: Şimdi üçgenin iki iç açısını biliyoruz: \( 45^\circ \) (alt kenar) ve \( 45^\circ \) (direk).
- Adım 5: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, üçüncü açıyı (yelkenin alt kenarı ile direk arasındaki açı) bulabiliriz: \( 45^\circ + 45^\circ + \text{Aranan Açı} = 180^\circ \).
- Adım 6: \( 90^\circ + \text{Aranan Açı} = 180^\circ \).
- Sonuç: \( \text{Aranan Açı} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-acilar/sorular