💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı Ve Kenar Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Bu bilgiyi kullanarak \( \angle C \) açısını bulabiliriz.

• ABC üçgeninde iç açılar toplamı: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( 70^\circ + 50^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• Toplamları hesaplayalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( \angle C \) 'yi bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 120^\circ \) çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
• Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \)

Cevap: \( 60^\circ \) ✅

İkizkenar üçgende tepe açısı dışındaki iki açı (taban açıları) birbirine eşittir.

• İkizkenar üçgende iç açılar toplamı: \( 180^\circ \)
• Tepe açısı: \( 80^\circ \)
• Taban açılarının toplamı: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)
• İki taban açısı eşit olduğundan, bir taban açısını bulmak için toplamı 2'ye böleriz: \( 100^\circ \div 2 = 50^\circ \)

Cevap: Taban açılarından her biri \( 50^\circ \)dir. 👉

Üçgenlerde kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru orantı vardır. Yani en uzun kenarın karşısında en büyük açı, en kısa kenarın karşısında en küçük açı bulunur.

• Verilen kenar uzunlukları: \( a = 5 \) cm, \( b = 7 \) cm, \( c = 9 \) cm
• Bu uzunlukları küçükten büyüğe doğru sıralayalım: \( 5 < 7 < 9 \)
• Bu sıralama, kenarların karşısındaki açıların sıralamasıyla aynıdır.
• Kenar \( a \) 'nın karşısındaki açı \( \angle A \), kenar \( b \) 'nin karşısındaki açı \( \angle B \), kenar \( c \) 'nin karşısındaki açı \( \angle C \) olsun.
• Sıralama: \( a < b < c \) ise \( \angle A < \angle B < \angle C \) olur.

Cevap: Kenar uzunluklarına göre sıralama \( a < b < c \) şeklindedir. Bu da \( \angle A < \angle B < \angle C \) anlamına gelir. 💡

Öncelikle \( \angle C \) açısını bulalım. Üçgenin iç açılar toplamı \( 180^\circ \)dir.

• \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
• \( 45^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( 105^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( \angle C = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)

Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( 45^\circ < 60^\circ < 75^\circ \). Yani \( \angle A < \angle B < \angle C \).
Kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların büyüklük sırasına göre sıralanır. En küçük açının karşısındaki kenar en kısadır, en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur.

• \( \angle A \) 'nın karşısındaki kenar \( a \), \( \angle B \) 'nin karşısındaki kenar \( b \), \( \angle C \) 'nin karşısındaki kenar \( c \) olsun.
• Açı sıralaması \( \angle A < \angle B < \angle C \) olduğundan, kenar sıralaması da \( a < b < c \) olacaktır.

Cevap: Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı \( a < b < c \) şeklindedir. ✅

Evet, mühendis üçgenin açılarına göre kenarların uzunlukları hakkında bilgi edinebilir. Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.

• Öncelikle \( \angle C \) açısını hesaplayalım: \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \)
• \( \angle C = 180^\circ - (55^\circ + 65^\circ) \)
• \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
• \( \angle C = 60^\circ \)

Şimdi açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım: \( \angle A (55^\circ) < \angle C (60^\circ) < \angle B (65^\circ) \).
Kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

• En küçük açı \( \angle A \) olduğundan, onun karşısındaki kenar \( a \) en kısadır.
• Ortanca açı \( \angle C \) olduğundan, onun karşısındaki kenar \( c \) ortanca uzunluktadır.
• En büyük açı \( \angle B \) olduğundan, onun karşısındaki kenar \( b \) en uzundur.

Cevap: Mühendis, \( \angle A \) 'nın karşısındaki kenarın en kısa, \( \angle B \) 'nin karşısındaki kenarın ise en uzun olacağını bilir. Bu, binanın temelinin sağlamlığı için önemli bir bilgidir. 👉

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki olmalıdır. Bu ilişki "üçgen eşitsizliği" olarak bilinir. Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmalıdır.

• Verilen çubuk uzunlukları: 10 cm, 15 cm, 25 cm
• Şimdi bu kuralı kontrol edelim:
• 1. Kenar: 10 cm + 15 cm = 25 cm. Bu toplam, üçüncü kenar olan 25 cm'ye eşit. Üçgen eşitsizliğine göre bu toplamın büyük olması gerekir.
• 2. Kenar: 10 cm + 25 cm = 35 cm. Bu toplam, 15 cm'den büyüktür. (35 > 15) ✅
• 3. Kenar: 15 cm + 25 cm = 40 cm. Bu toplam, 10 cm'den büyüktür. (40 > 10) ✅

İlk kontrolümüzde, iki kenarın toplamı üçüncü kenara eşit çıktığı için bir üçgen oluşmaz. Eğer iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük değilse, bu üç doğru parçası düz bir çizgi oluşturur. 💡 Cevap: Hayır, bu çubuklarla bir üçgen oluşturulamaz çünkü en uzun kenarın uzunluğu (25 cm), diğer iki kenarın uzunlukları toplamına (10 cm + 15 cm = 25 cm) eşittir. Üçgen eşitsizliği gereği bu toplamın büyük olması gerekir. ❌

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında üçgen eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizliğe göre, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.

• Üçgen ABC'de kenar uzunlukları: \( |AB| = 8 \), \( |BC| = 12 \), \( |AC| = x \)
• Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
• 1. \( |AB| + |BC| > |AC| \Rightarrow 8 + 12 > x \Rightarrow 20 > x \)
• 2. \( |AB| + |AC| > |BC| \Rightarrow 8 + x > 12 \Rightarrow x > 12 - 8 \Rightarrow x > 4 \)
• 3. \( |BC| + |AC| > |AB| \Rightarrow 12 + x > 8 \Rightarrow x > 8 - 12 \Rightarrow x > -4 \) (Bu koşul zaten \( x > 4 \) tarafından sağlanır.)

Bu üç koşulu birleştirdiğimizde, \( x \) için şu aralığı elde ederiz: \( 4 < x < 20 \).
\( x \) 'in alabileceği tam sayı değerleri, 4'ten büyük ve 20'den küçük tüm tam sayılardır.
Cevap: \( x \) 'in alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, 7, ..., 19'dur. 📌

Bu problemde üçgen eşitsizliğini kullanacağız. A, B ve C şehirleri bir üçgen oluşturduğuna göre, herhangi iki şehir arasındaki mesafe toplamı, üçüncü şehir ile olan mesafeden büyük olmalıdır.

• A ve B arası mesafe: \( |AB| = 30 \) km
• B ve C arası mesafe: \( |BC| = 40 \) km
• A ve C arası mesafe: \( |AC| = x \) km (bulmak istediğimiz)

Üçgen eşitsizliğine göre:

• \( |AB| + |BC| > |AC| \Rightarrow 30 + 40 > x \Rightarrow 70 > x \)
• \( |AB| + |AC| > |BC| \Rightarrow 30 + x > 40 \Rightarrow x > 40 - 30 \Rightarrow x > 10 \)
• \( |BC| + |AC| > |AB| \Rightarrow 40 + x > 30 \Rightarrow x > 30 - 40 \Rightarrow x > -10 \) (Bu koşul \( x > 10 \) tarafından zaten sağlanır.)

Bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde, \( x \) için \( 10 < x < 70 \) aralığını buluruz.
Soruda A ve C şehirleri arasındaki mesafenin en az kaç km olabileceği soruluyor. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 10'dan büyük olmalıdır.
Cevap: A ve C şehirleri arasındaki mesafe en az 11 km olabilir. (Eğer mesafeler tam sayı olmak zorunda değilse, 10 km'den biraz fazla herhangi bir değer olabilir, ancak genellikle bu tür sorularda tam sayı değerler beklenir.) 💡