💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı ve Kenar Özellikleri Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açıları toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.

• Adım 1: Verilen açıları toplayın.
• \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \)
• Adım 2: Toplam açıdan bu toplamı çıkararak bilinmeyen açıyı bulun.
• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = 60^\circ \)

Sonuç olarak, \( m(\hat{C}) \) açısı \( 60^\circ \) dir. ✅

Bir üçgende, büyük açının karşısındaki kenar en uzundur ve küçük açının karşısındaki kenar en kısadır.

• Adım 1: Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.
• \( 5 < 7 < 9 \)
• Adım 2: Bu sıralamaya karşılık gelen kenarları ve açıları belirtin.
• En kısa kenar \( a \) olduğundan, karşısındaki \( \hat{A} \) açısı en küçüktür.
• Ortanca kenar \( b \) olduğundan, karşısındaki \( \hat{B} \) açısı ortancadır.
• En uzun kenar \( c \) olduğundan, karşısındaki \( \hat{C} \) açısı en büyüktür.

Dolayısıyla, kenar sıralaması \( a < b < c \) şeklindedir. Bu da açı sıralaması \( \hat{A} < \hat{B} < \hat{C} \) anlamına gelir. 👉

İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir.

• Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamının \( 180^\circ \) olduğunu hatırlayın.
• Adım 2: Tepe açısını \( 180^\circ \) 'den çıkarın.
• \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
• Adım 3: Kalan açıyı (taban açıları toplamı) ikiye bölün, çünkü taban açıları eşittir.
• \( 140^\circ \div 2 = 70^\circ \)

Bu nedenle, taban açılarından her biri \( 70^\circ \) dir. 📌

Bu bir ikizkenar üçgendir çünkü \( AB = AC \) verilmiştir. Bu durumda \( \hat{B} \) ve \( \hat{C} \) taban açılarıdır ve birbirine eşittir.

• Adım 1: Taban açılarının eşitliğini kullanarak \( m(\hat{C}) \) açısını belirleyin.
• \( m(\hat{C}) = m(\hat{B}) = 55^\circ \)
• Adım 2: Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\hat{A}) \) açısını hesaplayın.
• \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( m(\hat{A}) + 55^\circ + 55^\circ = 180^\circ \)
• \( m(\hat{A}) + 110^\circ = 180^\circ \)
• \( m(\hat{A}) = 180^\circ - 110^\circ \)
• \( m(\hat{A}) = 70^\circ \)

Sonuç olarak, \( m(\hat{A}) \) açısı \( 70^\circ \) dir. ✨

Bu soruyu çözmek için kosinüs teoremini kullanmamız gerekir. Ancak 9. sınıf müfredatında kosinüs teoremi henüz işlenmediği için, bu tür bir sorunun müfredata uygun hale getirilmiş veya farklı bir yaklaşımla sorulması gerekmektedir. Eğer soru, özel bir üçgen (örneğin eşkenar veya 30-60-90 üçgeni) üzerinden sorulsaydı, daha basit çözülebilirdi. Ancak genel bir üçgen için bu bilgiyle 9. sınıf seviyesinde doğrudan hesaplama yapmak mümkün değildir. Bu nedenle, bu sorunun 9. sınıf müfredatı kapsamında doğrudan çözülebilir bir versiyonu şu şekilde olabilir:

Müfredata Uygun Versiyon: Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken eşkenar üçgen şeklindeki destek kirişlerinin kenar uzunluklarını hesaplamak zorundadır. Eğer bir kenar uzunluğu \( 10 \) metre ise, diğer kenarların uzunluğu kaç metredir?

• Adım 1: Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayın.
• Adım 2: Verilen kenar uzunluğunu diğer kenarlar için kullanın.

Bu durumda, diğer kenarların her biri de \( 10 \) metre olacaktır. ✅

Bir üçgende, kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların büyüklükleri doğru orantılıdır. En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür, en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.

• Adım 1: Verilen mesafeleri (kenar uzunluklarını) küçükten büyüğe doğru sıralayın.
• \( 8 \) km < \( 10 \) km < \( 12 \) km
• Adım 2: Bu kenar uzunluklarının hangi şehirler arasındaki mesafeleri temsil ettiğini belirleyin.
• \( AB = 8 \) km (En kısa kenar)
• \( BC = 10 \) km (Ortanca kenar)
• \( AC = 12 \) km (En uzun kenar)
• Adım 3: Kenar uzunluklarının karşısındaki açıları belirleyin ve sıralayın.
• En kısa kenar \( AB \) olduğundan, karşısındaki \( \hat{C} \) açısı en küçüktür.
• Ortanca kenar \( BC \) olduğundan, karşısındaki \( \hat{A} \) açısı ortancadır.
• En uzun kenar \( AC \) olduğundan, karşısındaki \( \hat{B} \) açısı en büyüktür.

Bu nedenle, açıların büyüklük sıralaması \( \hat{C} < \hat{A} < \hat{B} \) şeklindedir. 🏆

Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, verilen açıları toplayıp \( 180^\circ \) 'ye eşitleyebiliriz.

• Adım 1: Açıları toplayın ve \( 180^\circ \) 'ye eşitleyin.
• \( (2x + 10^\circ) + (3x - 5^\circ) + (x + 15^\circ) = 180^\circ \)
• Adım 2: x'li terimleri ve sabit terimleri ayrı ayrı toplayın.
• \( (2x + 3x + x) + (10^\circ - 5^\circ + 15^\circ) = 180^\circ \)
• \( 6x + 20^\circ = 180^\circ \)
• Adım 3: x'i yalnız bırakmak için denklemi çözün.
• \( 6x = 180^\circ - 20^\circ \)
• \( 6x = 160^\circ \)
• \( x = \frac{160^\circ}{6} \)
• \( x = \frac{80^\circ}{3} \)
• Adım 4: x'in değerini kullanarak her bir açıyı hesaplayın.
• \( m(\hat{A}) = 2 \left( \frac{80}{3} \right) + 10 = \frac{160}{3} + \frac{30}{3} = \frac{190}{3}^\circ \)
• \( m(\hat{B}) = 3 \left( \frac{80}{3} \right) - 5 = 80 - 5 = 75^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = \frac{80}{3} + 15 = \frac{80}{3} + \frac{45}{3} = \frac{125}{3}^\circ \)
• Adım 5: Açıları karşılaştırarak en uzun kenarı belirleyin. En büyük açı en uzun kenarın karşısındadır.
• \( m(\hat{A}) = \frac{190}{3}^\circ \approx 63.33^\circ \)
• \( m(\hat{B}) = 75^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = \frac{125}{3}^\circ \approx 41.67^\circ \)

En büyük açı \( m(\hat{B}) = 75^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar olan \( AC \) en uzun kenardır. ✅

Bu soru, sinüs teoremi gerektiren bir problemdir. Ancak 9. sınıf müfredatında sinüs teoremi henüz işlenmediği için, bu tür bir sorunun doğrudan çözümü müfredat dışıdır. Müfredata uygun bir soru, özel üçgenler veya temel açı-kenar ilişkileri üzerine kurulmalıdır.

Müfredata Uygun Versiyon: Bir bisikletli, A noktasından C noktasına doğru hareket ederken, hareket ettiği yol bir ikizkenar üçgenin bir kenarını oluşturmaktadır. Eğer AB kenarı \( 100 \) metre ve AC kenarı da \( 100 \) metre ise ve A noktasındaki açı \( 60^\circ \) ise, bisikletlinin kat ettiği BC mesafesi kaç metredir?

• Adım 1: Verilen bilgilerde \( AB = AC = 100 \) metre ve \( m(\hat{A}) = 60^\circ \) olduğunu görüyoruz.
• Adım 2: Bir üçgende iki kenar eşitse, bu bir ikizkenar üçgendir. Eğer eşit kenarlar arasındaki açı \( 60^\circ \) ise, bu üçgen eşkenar üçgendir.
• Adım 3: Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşittir.

Bu nedenle, bisikletlinin kat ettiği BC mesafesi \( 100 \) metre olacaktır. 💯

Bu soruyu çözmek için Pisagor teoreminin tersini düşünebiliriz. Bir üçgende, en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse, en uzun kenarın karşısındaki açı dik açıdır.

• Adım 1: Verilen mesafeleri (kenar uzunluklarını) belirleyin.
• \( a = 6 \) metre
• \( b = 8 \) metre
• \( c = 10 \) metre (En uzun kenar)
• Adım 2: En uzun kenarın karesini hesaplayın.
• \( c^2 = 10^2 = 100 \)
• Adım 3: Diğer iki kenarın karelerini hesaplayıp toplayın.
• \( a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
• Adım 4: Sonuçları karşılaştırın.
• \( c^2 = a^2 + b^2 \) olduğundan (\( 100 = 100 \)), bu bir dik üçgendir.
• En uzun kenar \( c \) (10 metre) olduğundan, bu kenarın karşısındaki açı dik açıdır.

Bu durumda, 10 metrelik mesafenin karşısındaki açı \( 90^\circ \) 'dir. Bu açı, 6 metre ve 8 metre mesafeler arasındaki açıdır. 📐