🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı ve İlişkileri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı ve İlişkileri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( \angle C \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Bu temel kuralı kullanarak \( \angle C \) açısını bulabiliriz.
- Adım 1: Verilen açıları toplayalım: \( \angle A + \angle B = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
- Adım 2: Üçgenin iç açılarının toplamından bu toplamı çıkararak \( \angle C \) açısını bulalım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Örnek 2:
Bir ikizkenar üçgende tepe açısı \( 80^\circ \) ise, taban açılarından biri kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir. Tepe açısı ise diğer iki açıdan farklıdır.
- Adım 1: İkizkenar üçgenin taban açılarının toplamı \( x \) olsun. O zaman iki taban açısı \( x + x = 2x \) olur.
- Adım 2: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, tepe açısı ile taban açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır: \( 80^\circ + 2x = 180^\circ \).
- Adım 3: Denklemi çözelim: \( 2x = 180^\circ - 80^\circ \Rightarrow 2x = 100^\circ \Rightarrow x = 50^\circ \).
Örnek 3:
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri ardışık tek sayılardır. Bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir? 🔢
Çözüm:
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir. Bu üçgenin iç açıları \( x-2 \), \( x \) ve \( x+2 \) olarak ifade edilebilir.
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olacağından, bu açıları toplayıp \( 180^\circ \)e eşitleyelim: \( (x-2) + x + (x+2) = 180^\circ \).
- Adım 2: Denklemi basitleştirelim: \( 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \).
- Adım 3: Açıları bulalım: \( x-2 = 58^\circ \), \( x = 60^\circ \), \( x+2 = 62^\circ \).
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A \) dış açısı \( 110^\circ \) ve \( \angle B \) iç açısı \( 40^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( \angle C \) iç açısı kaç derecedir? 🔄
Çözüm:
Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Ayrıca, bir iç açı ile onunla komşu olan dış açının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Yöntem 1 (Dış Açı Özelliği):
- Adım 1: \( \angle A \) dış açısı \( 110^\circ \) ise, \( \angle A \) iç açısı \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.
- Adım 2: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
- Adım 3: \( 70^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow 110^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 70^\circ \).
- Yöntem 2 (Komşu Olmayan Dış Açı):
- Adım 1: \( \angle A \) dış açısı, \( \angle B \) ve \( \angle C \) iç açılarının toplamına eşittir: \( \angle A_{dış} = \angle B + \angle C \).
- Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım: \( 110^\circ = 40^\circ + \angle C \).
- Adım 3: \( \angle C \) açısını bulalım: \( \angle C = 110^\circ - 40^\circ = 70^\circ \).
Örnek 5:
Bir parkta, bir bankın iki ucundan çıkan ve bir ağaca doğru giden iki yol bulunmaktadır. Bu yolların oluşturduğu açılar ve bankın kendisi bir üçgenin kenarlarını temsil etmektedir. Bankın bir ucundan ağaca doğru giden yol ile bankın kendisi arasındaki açı \( 55^\circ \) ve diğer ucundan ağaca doğru giden yol ile bankın kendisi arasındaki açı \( 65^\circ \)dir. Ağaç tepesinde bu iki yolun birleştiği açının bütünleri (dış açısı) kaç derecedir? 🌳
Çözüm:
Bu soruda, parktaki bank ve yolların oluşturduğu üçgenin iç açılarını bulup, ardından ağaç tepesindeki dış açıyı hesaplayacağız.
- Adım 1: Üçgenin iki iç açısı \( 55^\circ \) ve \( 65^\circ \) olarak verilmiştir. Bu iki açının toplamı: \( 55^\circ + 65^\circ = 120^\circ \).
- Adım 2: Üçgenin üçüncü iç açısını (ağaç tepesindeki iç açıyı) bulalım: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Adım 3: Ağaç tepesindeki dış açı, bu iç açının bütünleridir. Yani \( 180^\circ \)den iç açıyı çıkararak dış açıyı buluruz: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 2x + 10^\circ \), \( \angle B = 3x - 5^\circ \) ve \( \angle C = x + 15^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( x \) değeri kaçtır ve \( \angle B \) kaç derecedir? 🧮
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, verilen açıların toplamını \( 180^\circ \)e eşitleyerek \( x \) değerini bulabiliriz.
- Adım 1: Açıları toplayıp \( 180^\circ \)e eşitleyelim: \( (2x + 10^\circ) + (3x - 5^\circ) + (x + 15^\circ) = 180^\circ \).
- Adım 2: \( x \) terimlerini ve sabit terimleri gruplandıralım: \( (2x + 3x + x) + (10^\circ - 5^\circ + 15^\circ) = 180^\circ \).
- Adım 3: Denklemi basitleştirelim: \( 6x + 20^\circ = 180^\circ \).
- Adım 4: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim: \( 6x = 180^\circ - 20^\circ \Rightarrow 6x = 160^\circ \Rightarrow x = \frac{160^\circ}{6} = \frac{80^\circ}{3} \).
- Adım 5: \( \angle B \) açısını hesaplayalım: \( \angle B = 3x - 5^\circ = 3 \left( \frac{80^\circ}{3} \right) - 5^\circ = 80^\circ - 5^\circ = 75^\circ \).
Örnek 7:
Bir evin çatısının ön cephesinde oluşan üçgen şeklindeki boşluğun (çatı penceresi hariç) iki açısı \( 40^\circ \) ve \( 70^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu çatı boşluğunun en üst noktasındaki açının bütünleri (çatı eğimiyle ilgili bir ölçü) kaç derecedir? 🏠
Çözüm:
Bu senaryo, bir üçgenin iç açıları ve dış açıları arasındaki ilişkiyi anlamak için iyi bir örnektir.
- Adım 1: Çatı boşluğunun iç açılarından ikisi \( 40^\circ \) ve \( 70^\circ \) olarak verilmiş. Bu iki açının toplamı \( 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ \) olur.
- Adım 2: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, çatı boşluğunun en üst noktasındaki iç açıyı bulmak için \( 180^\circ \)den \( 110^\circ \)ü çıkarırız: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
- Adım 3: Soruda istenen, bu iç açının bütünleridir. Yani, \( 180^\circ \)den iç açıyı çıkararak dış açıyı buluruz: \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A \) açısı, \( \angle B \) açısının 2 katı ve \( \angle C \) açısı ise \( \angle B \) açısının 3 katıdır. Buna göre \( \angle A \) kaç derecedir? 📏
Çözüm:
Bu soruda, açıların birbirine oranları verilmiş. Bu oranları kullanarak açıları bulacağız.
- Adım 1: \( \angle B \) açısına \( x \) diyelim.
- Adım 2: Soruda verilen bilgilere göre: \( \angle A = 2x \) ve \( \angle C = 3x \).
- Adım 3: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, bu açıları toplayıp \( 180^\circ \)e eşitleyelim: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
- Adım 4: Yerine koyalım: \( 2x + x + 3x = 180^\circ \).
- Adım 5: Denklemi çözelim: \( 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ \).
- Adım 6: \( \angle A \) açısını hesaplayalım: \( \angle A = 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \).
Örnek 9:
Bir yol ayrımında, üç farklı yolun kesiştiği bir nokta bulunmaktadır. Bu yol ayrımını bir üçgenin köşeleri olarak düşünelim. Bu üçgenin iki iç açısı \( 75^\circ \) ve \( 45^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu iki yolun kesiştiği noktadaki (üçgenin üçüncü köşesi) dış açının ölçüsü kaç derecedir? 🛣️
Çözüm:
Bu problem, bir üçgenin iç açıları ile dış açıları arasındaki ilişkiyi günlük bir senaryo üzerinden anlatmaktadır.
- Adım 1: Yol ayrımını oluşturan üçgenin iki iç açısı \( 75^\circ \) ve \( 45^\circ \) olarak verilmiş. Bu iki açının toplamı \( 75^\circ + 45^\circ = 120^\circ \) eder.
- Adım 2: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, üçüncü iç açıyı (yol ayrımındaki köşe) bulmak için \( 180^\circ \)den \( 120^\circ \)ü çıkarırız: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Adım 3: Soruda bizden bu üçüncü köşedeki dış açının ölçüsü isteniyor. Bir iç açının bütünleri dış açıyı verir. Dolayısıyla, \( 180^\circ \)den iç açıyı çıkarırız: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-aci-ve-iliskileri/sorular