🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı Kenar İlişkisi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı Kenar İlişkisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 50^\circ \) ise, üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin üçüncü açısını bulmamız ve ardından açılar ile kenarlar arasındaki ilişkiyi kullanmamız gerekir.
-
1. Adım: C açısını bulun. 💡
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 70^\circ + 50^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 60^\circ \) ✅ -
2. Adım: Açıları sıralayın. 📌
Şimdi üçgenin tüm açılarını küçükten büyüğe sıralayalım:
\( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \)
Yani, \( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A}) \) -
3. Adım: Kenarları sıralayın. 👉
Üçgenlerde büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Bu kurala göre:
\( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar \( b \), \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar \( c \), \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar \( a \) olduğundan:
\( b < c < a \) olacaktır.
Kenarların sıralaması küçükten büyüğe: b, c, a
Örnek 2:
Bir XYZ üçgeninde \( |XY| = 8 \) cm, \( |YZ| = 10 \) cm ve \( |XZ| = 6 \) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin iç açılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 📏
Çözüm:
Üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde, açıları sıralamak için "büyük kenar karşısında büyük açı bulunur" kuralını kullanırız.
-
1. Adım: Kenarları sıralayın. 💡
Verilen kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım:
\( 10 \text{ cm} > 8 \text{ cm} > 6 \text{ cm} \)
Yani, \( |YZ| > |XY| > |XZ| \) -
2. Adım: Açıları belirleyin. 📌
Hangi kenarın hangi açının karşısında olduğunu belirleyelim:
- \( |YZ| \) kenarı, \( \hat{X} \) açısının karşısındadır.
- \( |XY| \) kenarı, \( \hat{Z} \) açısının karşısındadır.
- \( |XZ| \) kenarı, \( \hat{Y} \) açısının karşısındadır.
-
3. Adım: Açıları sıralayın. 👉
Büyük kenar karşısında büyük açı bulunduğundan:
\( |YZ| > |XY| > |XZ| \) ise,
\( m(\hat{X}) > m(\hat{Z}) > m(\hat{Y}) \) olacaktır.
Açıların sıralaması büyükten küçüğe: \( m(\hat{X}), m(\hat{Z}), m(\hat{Y}) \)
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 80^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 40^\circ \) dir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
a) \( a < b < c \)
b) \( b < a < c \)
c) \( c < b < a \)
d) \( b < c < a \)
e) \( a < c < b \)
a) \( a < b < c \)
b) \( b < a < c \)
c) \( c < b < a \)
d) \( b < c < a \)
e) \( a < c < b \)
Çözüm:
Bu soruda yine açı-kenar ilişkisini kullanacağız. İlk olarak üçüncü açıyı bulup sonra sıralama yapacağız.
-
1. Adım: C açısını bulun. 💡
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 80^\circ + 40^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 60^\circ \) ✅ -
2. Adım: Açıları sıralayın. 📌
Açıları küçükten büyüğe sıralayalım:
\( 40^\circ < 60^\circ < 80^\circ \)
Yani, \( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A}) \) -
3. Adım: Kenarları sıralayın. 👉
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre:
\( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar \( b \), \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar \( c \), \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar \( a \) olduğundan:
\( b < c < a \) olacaktır.
Doğru seçenek d) \( b < c < a \) şıkkıdır.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 65^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 55^\circ \) dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları \( a, b, c \) olduğuna göre, \( a-b+c \) ifadesinin işareti nedir?
Çözüm:
Bu soruda kenar uzunluklarının tam değerlerini bilmesek de, sıralamalarını bilerek farklarının işaretini belirleyebiliriz.
-
1. Adım: C açısını bulun. 💡
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 65^\circ + 55^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 60^\circ \) ✅ -
2. Adım: Açıları sıralayın. 📌
Açıları küçükten büyüğe sıralayalım:
\( 55^\circ < 60^\circ < 65^\circ \)
Yani, \( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A}) \) -
3. Adım: Kenarları sıralayın. 👉
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre:
\( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar \( b \), \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar \( c \), \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar \( a \) olduğundan:
\( b < c < a \) olacaktır.
Bu sıralamadan, \( a \) en büyük, \( b \) en küçük kenardır. -
4. Adım: İfadeyi değerlendirin. 🤔
İfade \( a-b+c \) şeklindedir.
\( a > b \) olduğu için \( a-b \) pozitif bir değerdir. (Örn: \( 5-2 = 3 \))
\( c \) de pozitif bir kenar uzunluğu olduğundan, pozitif bir sayıya pozitif bir sayı eklediğimizde sonuç pozitif olacaktır.
Dolayısıyla, \( a-b+c \) ifadesinin işareti pozitiftir.
Örnek 5:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm ve 9 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, üçüncü kenarın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🔢
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği kuralını uygulamamızı gerektirir. Üçgen eşitsizliği, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğunun, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olması gerektiğini söyler.
-
1. Adım: Üçgen eşitsizliği kuralını yazın. 💡
Kenar uzunlukları \( x, y, z \) olan bir üçgende:
\( |x-y| < z < x+y \) olmalıdır. -
2. Adım: Bilinen değerleri yerine koyun. 📌
Verilen kenarlar 5 cm ve 9 cm olsun, üçüncü kenar \( z \) olsun.
\( |9-5| < z < 9+5 \)
\( 4 < z < 14 \) -
3. Adım: Tam sayı değerlerini bulun. 👉
\( z \) bir tam sayı olduğuna göre, 4'ten büyük ve 14'ten küçük tam sayılar şunlardır:
\( 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \) -
4. Adım: Farklı değer sayısını hesaplayın. ✅
Üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı:
\( 13 - 5 + 1 = 9 \) tanedir.
Üçüncü kenarın alabileceği 9 farklı tam sayı değeri vardır.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) ve \( m(\hat{C}) = 90^\circ \) dir. Eğer \( |AC| = 6 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm ise, \( |AB| \) kenarının uzunluğu için ne söylenebilir? 🧐
Çözüm:
Bu soru hem açı-kenar ilişkisini hem de dik üçgen özelliğini birleştiriyor.
-
1. Adım: Üçgenin türünü ve bilinen kenarları belirleyin. 💡
\( m(\hat{C}) = 90^\circ \) olduğu için bu bir dik üçgendir. Dik üçgende en büyük açı \( 90^\circ \) olan açıdır. Karşısındaki kenar ise hipotenüstür. Yani, \( |AB| \) hipotenüstür ve üçgenin en uzun kenarıdır. Bilinen kenarlar: \( |AC| = 6 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm. -
2. Adım: Hipotenüs uzunluğunu bulun (Pisagor Teoremi). 📌
Dik üçgende Pisagor teoremi uygulanabilir:
\( |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 \)
\( 6^2 + 8^2 = |AB|^2 \)
\( 36 + 64 = |AB|^2 \)
\( 100 = |AB|^2 \)
\( |AB| = \sqrt{100} \)
\( |AB| = 10 \) cm ✅ -
3. Adım: Açı-kenar ilişkisini kontrol edin. 👉
Soruda \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) bilgisi verilmiş. Bu, \( \hat{A} \) açısının karşısındaki kenar \( |BC| \) nin, \( \hat{B} \) açısının karşısındaki kenar \( |AC| \) den daha büyük olması gerektiği anlamına gelir.
Yani \( |BC| > |AC| \) olmalı.
Verilen değerler: \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm.
\( 8 > 6 \) olduğu için bu koşul sağlanmaktadır. -
4. Adım: Sonucu belirtin. 🤔
Verilen tüm koşullar altında, \( |AB| \) kenarının uzunluğu 10 cm'dir.
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, üçgen şeklindeki bir arsanın etrafına çit çekmek istiyor. Arsanın iki kenarının uzunlukları 12 metre ve 20 metre olarak ölçülmüştür. Üçüncü kenarın uzunluğu bir tam sayı olmak zorundadır ve bu kenarın uzunluğu, arsanın en küçük açısının karşısındaki kenar değildir. Buna göre, üçüncü kenarın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde hem üçgen eşitsizliğini hem de açı-kenar ilişkisini birlikte kullanacağız.
-
1. Adım: Üçgen eşitsizliğini uygulayın. 💡
İki kenar 12 m ve 20 m. Üçüncü kenar \( x \) olsun.
Üçgen eşitsizliğine göre:
\( |20-12| < x < 20+12 \)
\( 8 < x < 32 \) -
2. Adım: En küçük açının karşısındaki kenar olma durumunu değerlendirin. 📌
Soruda "bu kenarın uzunluğu, arsanın en küçük açısının karşısındaki kenar değildir" deniyor.
Bir üçgende en küçük açının karşısında en küçük kenar bulunur.
Eğer üçüncü kenar \( x \) en küçük kenar olsaydı, \( x \) in 12'den küçük olması gerekirdi. Ancak üçgen eşitsizliğine göre \( x > 8 \) ve \( x \) en küçük kenar olamazdı çünkü 12 ve 20 zaten 8'den büyük.
Bu ifade aslında \( x \) in, üçgenin en küçük kenarı olamayacağını belirtiyor. Yani \( x \) kenarı, 12 metreden daha küçük olamaz. Daha açık ifadeyle, üçgenin en küçük kenarı ya 12 metredir ya da \( x \) metredir. Eğer \( x \) en küçük kenar olsaydı, \( x < 12 \) olmalıydı. Ancak \( x \) en küçük açının karşısındaki kenar olmadığına göre, \( x \) en küçük kenar değildir. Bu durumda \( x \) kenarı 12 metreden küçük olamaz. Yani \( x \ge 12 \) olmalıdır. (Not: Eğer \( x \) en küçük olsaydı, açısı da en küçük olurdu.) -
3. Adım: Koşulları birleştirin. 👉
Üçgen eşitsizliğinden \( 8 < x < 32 \) bulduk.
Ek koşuldan \( x \ge 12 \) olmalıdır.
Bu iki koşulu birleştirirsek:
\( 12 \le x < 32 \) -
4. Adım: En büyük tam sayı değerini bulun. ✅
\( x \) in alabileceği en büyük tam sayı değeri 32'den küçük en büyük tam sayı olan 31 metredir.
Örnek 8:
Bir parkta çocuklar için iki farklı kaydırak bulunmaktadır. Birinci kaydırağın zemine yaptığı açı \( 40^\circ \), ikinci kaydırağın zemine yaptığı açı ise \( 55^\circ \) dir. Her iki kaydırağın da merdivenleri eşit uzunluktadır. Buna göre, hangi kaydırağın zemindeki kapladığı alan (yatay uzunluğu) daha fazladır? Açıklayınız. 🏞️
Çözüm:
Bu günlük hayat örneği, üçgenlerde açı-kenar ilişkisinin pratik bir uygulamasını gösterir. Kaydırakları birer dik üçgen olarak düşünebiliriz.
-
1. Adım: Durumu üçgenlerle modelleyin. 💡
Her bir kaydırak ve zemini, bir dik üçgenin hipotenüsü ve bir dik kenarı olarak düşünülebilir.
Kaydırağın kendisi hipotenüs (merdiven), zemine yaptığı açı bilinen açıdır.
Zemindeki kapladığı alan ise açının komşu dik kenarıdır. Kaydırakların merdivenleri (hipotenüsleri) eşit uzunluktadır. Diyelim ki bu uzunluk \( L \) olsun. -
2. Adım: Üçgenlerin açılarını belirleyin. 📌
Birinci Kaydırak:
Zemine yaptığı açı \( 40^\circ \). Dik üçgen olduğu için diğer açı \( 90^\circ \).
Üçüncü açı (kaydırağın tepesindeki açı) \( 180^\circ - (90^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
Açılar: \( 40^\circ, 50^\circ, 90^\circ \).
İkinci Kaydırak:
Zemine yaptığı açı \( 55^\circ \). Dik üçgen olduğu için diğer açı \( 90^\circ \).
Üçüncü açı (kaydırağın tepesindeki açı) \( 180^\circ - (90^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \).
Açılar: \( 35^\circ, 55^\circ, 90^\circ \). -
3. Adım: Açı-kenar ilişkisini uygulayın. 👉
Her iki üçgende de hipotenüsler (merdivenler) eşit uzunluktadır.
Bizim aradığımız, zemindeki kapladığı alan (yatay uzunluk), yani \( 40^\circ \) ve \( 55^\circ \) açılarının komşu kenarlarıdır.
Bu durumda, merdiven uzunluğu sabitken, zemine yapılan açı küçüldükçe, zemindeki yatay uzunluk artar.
Bunun nedeni, dik üçgende hipotenüs sabitken, bir açının küçülmesiyle o açının komşu kenarının uzamasıdır (veya karşısındaki kenarın kısalmasıdır). -
4. Adım: Karşılaştırma yapın. ✅
Birinci kaydırağın zemine yaptığı açı \( 40^\circ \) iken, ikinci kaydırağın zemine yaptığı açı \( 55^\circ \) dir.
\( 40^\circ < 55^\circ \) olduğu için, birinci kaydırağın zemindeki yatay uzunluğu daha fazladır.
Yani, birinci kaydırak zeminde daha fazla yer kaplar.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenlerde-aci-kenar-i-liskisi/sorular