📄 9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Açı Kenar İlişkisi Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

İlk olarak, üçgenin üçüncü açısı olan \(m(\hat{C})\) açısının ölçüsünü bulmalıyız. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
\(m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ\)
\(65^\circ + 40^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ\)
\(105^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ\)
\(m(\hat{C}) = 180^\circ - 105^\circ\)
\(m(\hat{C}) = 75^\circ\)
Şimdi üçgenin açılarını sıralayalım:
\(m(\hat{B}) = 40^\circ\)
\(m(\hat{A}) = 65^\circ\)
\(m(\hat{C}) = 75^\circ\)
Görüldüğü gibi \(m(\hat{B}) < m(\hat{A}) < m(\hat{C})\) şeklindedir.
Üçgenlerde açı-kenar ilişkisine göre, büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında kısa kenar bulunur.
Bu durumda, kenar uzunlukları arasındaki sıralama da açılarla aynı olacaktır:
\(b < a < c\)
Yani, en kısa kenar \(b\) (B açısının karşısındaki kenar), orta uzunluktaki kenar \(a\) (A açısının karşısındaki kenar) ve en uzun kenar \(c\) (C açısının karşısındaki kenar) olacaktır.

💡 Çözüm Adımları:

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmak zorundadır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
Verilen kenar uzunlukları 6 cm ve 10 cm olduğuna göre, üçüncü kenar \(x\) için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz:
\(|10 - 6| < x < 10 + 6\)
\(4 < x < 16\)
Bu eşitsizliğe göre, \(x\) sayısının alabileceği tam sayı değerleri 4'ten büyük ve 16'dan küçük olmalıdır.
Bu tam sayılar: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15'tir.
Toplamda 11 farklı tam sayı değeri alabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle, üçgenin üçüncü açısının ölçüsünü bulmalıyız. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
Üçüncü açı \(= 180^\circ - (55^\circ + 80^\circ)\)
Üçüncü açı \(= 180^\circ - 135^\circ\)
Üçüncü açı \(= 45^\circ\)
Şimdi üçgenin açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\(45^\circ < 55^\circ < 80^\circ\)
Üçgenlerde açı-kenar ilişkisine göre, büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında kısa kenar bulunur.
Bu durumda, en küçük açı \(45^\circ\) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar üçgenin en kısa kenarıdır.
En büyük açı \(80^\circ\) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar üçgenin en uzun kenarıdır.
\(55^\circ\)'lik açının karşısındaki kenar ise orta uzunluktaki kenardır.
Kenarları \(a, b, c\) olarak adlandırırsak ve açıları \(m(\hat{A})=45^\circ\), \(m(\hat{B})=55^\circ\), \(m(\hat{C})=80^\circ\) kabul edersek, kenar sıralaması \(a < b < c\) şeklinde olacaktır.