🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz. Bu temel bilgiyi kullanarak C açısının ölçüsünü bulabiliriz.
- 👉 Verilenler:
- A açısının ölçüsü \( = 70^\circ \)
- B açısının ölçüsü \( = 50^\circ \)
- 👉 İstenen: C açısının ölçüsü
- ✅ Çözüm Adımları:
- \[ m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
- Verilen açıları yerine yazalım:
- \[ 70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
- Açıları toplayalım:
- \[ 120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
- C açısının ölçüsünü bulmak için \( 120^\circ \)'yi diğer tarafa atalım:
- \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \]
- \[ m(\widehat{C}) = 60^\circ \]
Üçgenin iç açılarının toplamı formülünü kullanalım:
Buna göre, C açısının ölçüsü \( 60^\circ \)dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A açısının dış açısının ölçüsü \( 110^\circ \)dir. B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Bir üçgende bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu ve bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu hatırlayalım.
- 👉 Verilenler:
- A dış açısının ölçüsü \( = 110^\circ \)
- B açısının ölçüsü \( = 60^\circ \)
- 👉 İstenen: C açısının ölçüsü
- ✅ Çözüm Adımları:
- \[ m(\widehat{A}_{iç}) + m(\widehat{A}_{dış}) = 180^\circ \]
- \[ m(\widehat{A}_{iç}) + 110^\circ = 180^\circ \]
- \[ m(\widehat{A}_{iç}) = 180^\circ - 110^\circ \]
- \[ m(\widehat{A}_{iç}) = 70^\circ \]
- \[ m(\widehat{A}_{iç}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
- \[ 70^\circ + 60^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
- \[ 130^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \]
- \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - 130^\circ \]
- \[ m(\widehat{C}) = 50^\circ \]
- \[ m(\widehat{A}_{dış}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) \]
- \[ 110^\circ = 60^\circ + m(\widehat{C}) \]
- \[ m(\widehat{C}) = 110^\circ - 60^\circ \]
- \[ m(\widehat{C}) = 50^\circ \]
Önce A iç açısının ölçüsünü bulalım:
Şimdi üçgenin iç açılarının toplamını kullanarak C açısını bulalım:
Alternatif olarak, dış açı kuralını kullanabiliriz:
Her iki yöntemle de C açısının ölçüsü \( 50^\circ \)dir. ✅
Örnek 3:
Kenar uzunlukları tam sayı olan bir üçgenin iki kenarı 5 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu kaç farklı tam sayı değeri alabilir? 📏
Çözüm:
Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmak zorundadır.
- 👉 Verilenler:
- Birinci kenar \( a = 5 \) cm
- İkinci kenar \( b = 8 \) cm
- 👉 İstenen: Üçüncü kenar \( c \)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı.
- ✅ Çözüm Adımları:
- \[ |a - b| < c < a + b \]
- Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
- \[ |5 - 8| < c < 5 + 8 \]
- Mutlak değeri ve toplamı hesaplayalım:
- \[ |-3| < c < 13 \]
- \[ 3 < c < 13 \]
- \( c \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} \)
- Adet \( = 12 - 4 + 1 \)
- Adet \( = 9 \)
Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
Bu eşitsizliğe göre, üçüncü kenar \( c \) için alabileceği tam sayı değerleri şunlardır:
Bu değerlerin sayısını bulmak için son değerden ilk değeri çıkarıp 1 ekleriz:
Üçüncü kenarın uzunluğu 9 farklı tam sayı değeri alabilir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \) ve \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \) olduğuna göre, kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. ➡️
Çözüm:
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Bu kuralı kullanarak kenar uzunluklarını sıralayabiliriz.
- 👉 Verilenler:
- A açısının ölçüsü \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \)
- B açısının ölçüsü \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \)
- C açısının ölçüsü \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \)
- 👉 İstenen: Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralaması.
- ✅ Çözüm Adımları:
- En küçük açı: \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \)
- Ortanca açı: \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \)
- En büyük açı: \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \)
- B açısının karşısındaki kenar \( b \) (AC kenarı)
- C açısının karşısındaki kenar \( c \) (AB kenarı)
- A açısının karşısındaki kenar \( a \) (BC kenarı)
- Küçük açı karşısında küçük kenar bulunur: \( m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A}) \)
- Bu durumda kenar sıralaması: \( b < c < a \)
Önce açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
Şimdi bu sıralamaya göre kenarları belirleyelim:
Açı-kenar bağıntısı kuralına göre:
Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı \( b < c < a \) şeklindedir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni eş üçgenlerdir. Eğer \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( |CA| = 8 \) cm ve \( m(\widehat{A}) = 75^\circ \) ise, DEF üçgeninin kenar uzunlukları ve \( m(\widehat{D}) \) açısının ölçüsü nedir? 🤝
Çözüm:
İki üçgenin eş olması demek, karşılıklı kenarlarının ve karşılıklı açılarının ölçülerinin birbirine eşit olması demektir. Eşlik genellikle \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir ve harflerin sıralaması önemlidir.
- 👉 Verilenler:
- \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)
- \( |AB| = 7 \) cm
- \( |BC| = 10 \) cm
- \( |CA| = 8 \) cm
- \( m(\widehat{A}) = 75^\circ \)
- 👉 İstenen: \( |DE| \), \( |EF| \), \( |FD| \) ve \( m(\widehat{D}) \).
- ✅ Çözüm Adımları:
- Kenar Uzunlukları:
- \( |AB| \) kenarı, \( |DE| \) kenarına eştir. Yani, \( |DE| = |AB| = 7 \) cm.
- \( |BC| \) kenarı, \( |EF| \) kenarına eştir. Yani, \( |EF| = |BC| = 10 \) cm.
- \( |CA| \) kenarı, \( |FD| \) kenarına eştir. Yani, \( |FD| = |CA| = 8 \) cm.
- Açı Ölçüleri:
- \( m(\widehat{A}) \) açısı, \( m(\widehat{D}) \) açısına eştir. Yani, \( m(\widehat{D}) = m(\widehat{A}) = 75^\circ \).
- Benzer şekilde, \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) ve \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \) olacaktır.
Eşlik tanımına göre, karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir:
Sonuç olarak, DEF üçgeninin kenar uzunlukları \( |DE|=7 \) cm, \( |EF|=10 \) cm, \( |FD|=8 \) cm ve \( m(\widehat{D}) = 75^\circ \)dir. ✅
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprü inşaatı için taslak çizim yaparken, iki eş üçgen şeklinde destek elemanları kullanmayı planlamaktadır. Bu destek elemanlarından birinin (ABC üçgeni) kenar uzunlukları 6 metre, 8 metre ve 10 metredir. Mühendis, ikinci destek elemanının (DEF üçgeni) de aynı sağlamlıkta ve boyutta olmasını istemektedir. Eğer birinci destek elemanındaki 6 metrelik kenarın karşısındaki açı \( 37^\circ \) ise, ikinci destek elemanındaki 8 metrelik kenarın karşısındaki açı kaç derece olur? 🌉 (Not: Açı değerleri yaklaşık olarak verilmiştir.)
Çözüm:
Yeni nesil sorularda problem çözme ve bilgiyi uygulama becerisi ön plandadır. Burada eş üçgenlerin özelliklerini kullanarak soruyu çözeceğiz.
- 👉 Verilenler:
- İki üçgen eşittir: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları: 6 m, 8 m, 10 m.
- 6 metrelik kenarın karşısındaki açı \( 37^\circ \).
- 👉 İstenen: DEF üçgenindeki 8 metrelik kenarın karşısındaki açı.
- ✅ Çözüm Adımları:
- Eş üçgenlerde, karşılıklı kenarların uzunlukları ve karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- ABC üçgeninde 6 metrelik kenarın karşısındaki açı \( 37^\circ \) ise, bu açıyı örneğin \( m(\widehat{A}) = 37^\circ \) olarak kabul edelim. Bu durumda \( |BC| = 6 \) m olur.
- DEF üçgeni ABC üçgenine eş olduğu için, DEF üçgeninde de 6 metrelik kenarın karşısındaki açı \( 37^\circ \) olacaktır.
- Aynı şekilde, 8 metrelik kenarın karşısındaki açı da, ABC üçgenindeki 8 metrelik kenarın karşısındaki açı ile aynı olacaktır.
- 10 metrelik kenarın karşısındaki açı da, ABC üçgenindeki 10 metrelik kenarın karşısındaki açı ile aynı olacaktır.
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6, 8, 10 metre olduğundan, bu bir dik üçgendir! (Çünkü \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \)).
- En uzun kenar olan 10 metrenin karşısındaki açı \( 90^\circ \)dir.
- 6 metrelik kenarın karşısındaki açı \( 37^\circ \) olarak verilmiş.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, 8 metrelik kenarın karşısındaki açıyı bulabiliriz:
- \[ m(\text{8m karşısındaki açı}) = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ \]
- \[ m(\text{8m karşısındaki açı}) = 90^\circ - 37^\circ \]
- \[ m(\text{8m karşısındaki açı}) = 53^\circ \]
- DEF üçgeni ABC üçgenine eş olduğundan, DEF üçgenindeki 8 metrelik kenarın karşısındaki açı da ABC üçgenindeki 8 metrelik kenarın karşısındaki açıya eşit olmalıdır.
1. Eş Üçgenlerin Özellikleri:
2. ABC Üçgenindeki Açılar ve Kenarlar:
3. DEF Üçgenindeki Karşılıklar:
4. ABC Üçgenindeki Açıyı Bulma:
5. DEF Üçgenindeki Açıyı Belirleme:
Buna göre, ikinci destek elemanındaki 8 metrelik kenarın karşısındaki açı \( 53^\circ \) olur. ✅
Örnek 7:
Bir bahçıvan, bahçesine üçgen şeklinde bir çiçek yatağı yapmak istiyor. Elinde 4 metre, 7 metre ve \( x \) metre uzunluğunda üç farklı çubuk var. Bu çubukları kullanarak bir üçgen oluşturabilmesi için \( x \) çubuğunun uzunluğu hangi tam sayı değerlerini alabilir? Çiçek yatağının tek parça olmasını istiyor. 🌺
Çözüm:
Bu günlük hayat problemi, üçgen eşitsizliği prensibinin doğrudan bir uygulamasıdır. Üçgen oluşturabilmek için kenar uzunlukları belirli şartları sağlamalıdır.
- 👉 Verilenler:
- Çubuk uzunlukları: 4 metre, 7 metre ve \( x \) metre.
- 👉 İstenen: \( x \) çubuğunun alabileceği tam sayı değerleri.
- ✅ Çözüm Adımları:
- \[ |7 - 4| < x < 7 + 4 \]
- Mutlak değeri ve toplamı hesaplayalım:
- \[ |3| < x < 11 \]
- \[ 3 < x < 11 \]
- \( x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
Üçgen eşitsizliği kuralını hatırlayalım: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
Bu eşitsizliğe göre, \( x \) çubuğunun uzunluğu 3 metreden büyük ve 11 metreden küçük olmalıdır. \( x \) tam sayı bir değer alacağı için:
Bahçıvanın çiçek yatağı için kullanacağı \( x \) çubuğunun uzunluğu 4, 5, 6, 7, 8, 9 veya 10 metre olabilir. Bu da toplamda 7 farklı tam sayı değeri demektir. ✅
Örnek 8:
Bir ABCD dörtgeninde, AC köşegeni çizilmiştir. Eğer \( |AB| = |AD| \), \( m(\widehat{BAC}) = 30^\circ \), \( m(\widehat{CAD}) = 40^\circ \) ve \( m(\widehat{ACD}) = 70^\circ \) ise, \( m(\widehat{ABC}) \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐 (Şekli zihninde canlandırman önemlidir.)
Çözüm:
Bu problem, ikizkenar üçgen özelliklerini ve üçgenin iç açıları toplamını birleştirerek çözülür.
- 👉 Verilenler:
- ABCD dörtgeni ve AC köşegeni.
- \( |AB| = |AD| \) (Bu, ABD üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir.)
- \( m(\widehat{BAC}) = 30^\circ \)
- \( m(\widehat{CAD}) = 40^\circ \)
- \( m(\widehat{ACD}) = 70^\circ \)
- 👉 İstenen: \( m(\widehat{ABC}) \) açısının ölçüsü.
- ✅ Çözüm Adımları:
- \( m(\widehat{CAD}) = 40^\circ \) ve \( m(\widehat{ACD}) = 70^\circ \) olarak verilmiş.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{ADC}) \) açısını bulalım:
- \[ m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{ACD})) \]
- \[ m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) \]
- \[ m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - 110^\circ \]
- \[ m(\widehat{ADC}) = 70^\circ \]
- Görüyoruz ki \( m(\widehat{ADC}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{ACD}) = 70^\circ \)dir. Bu durumda ADC üçgeni ikizkenar bir üçgendir ve eşit açılar karşısındaki kenarlar da eşittir: \( |AD| = |AC| \).
- Soruda \( |AB| = |AD| \) verilmişti.
- Az önce \( |AD| = |AC| \) bulduk.
- Bu iki bilgiyi birleştirirsek, \( |AB| = |AC| \) sonucuna ulaşırız.
- Yani, ABC üçgeni de ikizkenar bir üçgendir.
- İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Bu durumda, \( |AB| \) kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{ACB}) \) ile \( |AC| \) kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{ABC}) \) birbirine eşittir.
- \( m(\widehat{BAC}) = 30^\circ \) olarak verilmiş.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \[ m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{BAC}) = 180^\circ \]
- \[ m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ABC}) + 30^\circ = 180^\circ \] (Çünkü \( m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ABC}) \))
- \[ 2 \cdot m(\widehat{ABC}) + 30^\circ = 180^\circ \]
- \[ 2 \cdot m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 30^\circ \]
- \[ 2 \cdot m(\widehat{ABC}) = 150^\circ \]
- \[ m(\widehat{ABC}) = \frac{150^\circ}{2} \]
- \[ m(\widehat{ABC}) = 75^\circ \]
1. ADC üçgenini inceleyelim:
2. ABC üçgenini inceleyelim:
\( m(\widehat{ABC}) \) açısının ölçüsü \( 75^\circ \)dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler/sorular