🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler ve Kenar Açı İlişkisi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler ve Kenar Açı İlişkisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Bu bilgiyi kullanarak \( \angle C \) açısını bulabiliriz: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C \) yi bulmak için \( 180^\circ \)den \( 120^\circ \)yi çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
- Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \) ✅
Örnek 2:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 7 cm, 9 cm ve \( x \) cm'dir. Bu üçgenin bir üçgen olabilmesi için \( x \) kaç farklı tam sayı değeri alabilir? 🤔
Çözüm:
- Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
- Ayrıca, herhangi iki kenarın farkının mutlak değeri, üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
- Bu kuralları \( x \) kenarı için uygulayalım:
- \( 9 - 7 < x < 9 + 7 \)
- \( 2 < x < 16 \)
- Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
- Toplamda 13 farklı tam sayı değeri alabilir. ✅
Örnek 3:
Bir ikizkenar üçgende tepe açısı \( 40^\circ \) ise, taban açılarından biri kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Tepe açısı \( 40^\circ \) ise, taban açılarının toplamı \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur.
- Bu toplamı iki eşit taban açısına bölelim: \( 140^\circ / 2 = 70^\circ \)
- Dolayısıyla, taban açılarından her biri \( 70^\circ \)dir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( AB > AC > BC \) ilişkisi verilmiştir. Bu ilişkiye göre, bu kenarların karşısındaki açılar arasındaki sıralama nasıldır? 📈
Çözüm:
- Bir üçgende büyük kenarın karşısındaki açı daha büyüktür.
- Verilen kenar sıralaması \( AB > AC > BC \) şeklindedir.
- Bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla \( \angle C \), \( \angle B \) ve \( \angle A \)dır.
- Dolayısıyla, kenar uzunlukları arasındaki ilişki, karşısındaki açılar arasındaki ilişkiyi belirler:
- \( \angle C > \angle B > \angle A \) ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 2 \cdot \angle B \) ve \( \angle C = \angle A + \angle B \) ise, \( \angle A \) kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen ilişkileri kullanarak tüm açıları \( \angle B \) cinsinden ifade edelim:
- \( \angle A = 2 \cdot \angle B \)
- \( \angle C = \angle A + \angle B = (2 \cdot \angle B) + \angle B = 3 \cdot \angle B \)
- Şimdi bu ifadeleri toplam denkleminde yerine koyalım:
- \( (2 \cdot \angle B) + \angle B + (3 \cdot \angle B) = 180^\circ \)
- \( 6 \cdot \angle B = 180^\circ \)
- \( \angle B = 180^\circ / 6 = 30^\circ \)
- \( \angle A \) yı bulmak için \( \angle B \) değerini kullanalım: \( \angle A = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \) ✅
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprünün iki ayağı arasındaki mesafeyi ölçmek istiyor. Ayaklardan birine 30 metre uzaklıktaki bir noktadan, diğer ayağın görünen açısı \( 90^\circ \) olarak ölçülüyor. Eğer ölçüm yapan kişinin ilk ayağa olan uzaklığı 50 metre ise, köprünün iki ayağı arasındaki mesafe kaç metredir? 🌉
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.
- Ölçüm yapan kişi, köprünün bir ayağı ve diğer ayağı bir dik üçgenin köşelerini oluşturur.
- Ölçüm yapan kişinin ilk ayağa olan uzaklığı (50 m) hipotenüstür.
- Ölçüm yapan kişinin diğer ayağa olan uzaklığı (30 m) dik kenarlardan biridir.
- Köprünün iki ayağı arasındaki mesafe, diğer dik kenar olacaktır.
- Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada \( a = 30 \) m, \( c = 50 \) m ve \( b \) köprünün ayakları arasındaki mesafedir.
- \( 30^2 + b^2 = 50^2 \)
- \( 900 + b^2 = 2500 \)
- \( b^2 = 2500 - 900 \)
- \( b^2 = 1600 \)
- \( b = \sqrt{1600} \)
- \( b = 40 \) metre. ✅
Örnek 7:
Bir evin çatısının eğimini belirlemek için ölçüm yapılıyor. Çatının bir kenarının uzunluğu 10 metre ve bu kenarın yatay düzlemle yaptığı açı \( 35^\circ \) ise, çatının yüksekliği yaklaşık olarak kaç metredir? 🏠
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Çatının kenar uzunluğu (10 m) hipotenüstür.
- Yatay düzlemle yapılan açı \( 35^\circ \)dir.
- Çatının yüksekliği, bu açının karşısındaki dik kenardır.
- Sinüs fonksiyonunu kullanarak yüksekliği bulabiliriz: \( \sin(\theta) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \)
- \( \sin(35^\circ) = \frac{\text{yükseklik}}{10} \)
- Yüksekliği bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim: \( \text{yükseklik} = 10 \cdot \sin(35^\circ) \)
- \( \sin(35^\circ) \) yaklaşık olarak 0.5736'dır.
- \( \text{yükseklik} \approx 10 \cdot 0.5736 \)
- \( \text{yükseklik} \approx 5.74 \) metre. ✅
Örnek 8:
Bir üçgende iki kenar uzunluğu 8 cm ve 12 cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açı \( 60^\circ \) ise, bu kenarların oluşturduğu üçgenin çevresi hakkında ne söylenebilir? (Bu soru, kenar-açı ilişkisinin dolaylı bir uygulamasını içerir.) 📏
Çözüm:
- Bu soruda doğrudan çevreyi hesaplamak için üçüncü kenarı bilmemiz gerekir.
- Ancak, kenar-açı ilişkisi bize üçüncü kenarın uzunluğu hakkında bir fikir verebilir.
- Kosinüs teoremi (9. Sınıf müfredatında yer almaktadır) ile üçüncü kenarı hesaplayabiliriz, ancak bu sorunun amacı daha temel bir ilişkiyi düşündürmektir.
- İki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde, üçüncü kenarın uzunluğu bu iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olacaktır.
- Üçüncü kenar \( x \) olsun. \( |12 - 8| < x < 12 + 8 \) yani \( 4 < x < 20 \) olur.
- Bu durumda çevre \( 8 + 12 + x = 20 + x \) olacaktır.
- Çevre \( 20 + 4 < \text{Çevre} < 20 + 20 \) yani \( 24 < \text{Çevre} < 40 \) cm aralığında olacaktır.
- Önemli olan, bu iki kenar ve aralarındaki açının, üçüncü kenarın uzunluğunu ve dolayısıyla çevreyi belirlemesidir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-ve-kenar-aci-iliskisi/sorular