🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler Ve Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler Ve Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. 📐
Eğer \( m(\widehat{BAC}) = 80^\circ \) ise, \( m(\widehat{BAD}) \) kaç derecedir?
Eğer \( m(\widehat{BAC}) = 80^\circ \) ise, \( m(\widehat{BAD}) \) kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için açıortayın tanımını hatırlayalım:
- 📌 Bir açının açıortayı, o açıyı iki eş parçaya bölen ışındır.
- 👉 Yani, \( \widehat{BAC} \) açısının açıortayı AD ise, \( m(\widehat{BAD}) \) ve \( m(\widehat{DAC}) \) açıları birbirine eşit olmalıdır.
- ✅ Bize verilen bilgiye göre \( m(\widehat{BAC}) = 80^\circ \) dir.
- 💡 Bu durumda, \( m(\widehat{BAD}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2} \) formülünü kullanırız.
- Hesaplama:
- \( m(\widehat{BAD}) = \frac{80^\circ}{2} \)
- \( m(\widehat{BAD}) = 40^\circ \)
- Sonuç olarak, \( m(\widehat{BAD}) \) 40 derecedir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde açılar \( m(\widehat{A}) = 55^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 65^\circ \) olarak verilmiştir. 📏
Buna göre, \( m(\widehat{C}) \) açısı kaç derecedir?
Buna göre, \( m(\widehat{C}) \) açısı kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenin iç açılar toplamı kuralını hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz:
- 📌 Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir.
- 👉 Yani, \( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) eşitliğini kullanacağız.
- ✅ Bize verilen açılar \( m(\widehat{A}) = 55^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 65^\circ \) dir.
- 💡 Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
- \( 55^\circ + 65^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \)
- Sonuç olarak, \( m(\widehat{C}) \) açısı 60 derecedir. ✅
Örnek 3:
Kenar uzunlukları 7 cm ve 12 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu tam sayı olarak en az kaç cm olabilir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Üçgen Eşitsizliği kuralını uygulamamız gerekir:
- 📌 Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- 👉 Yani, kenarlar \( a, b, c \) ise \( |a-b| < c < a+b \) kuralı geçerlidir.
- ✅ Bize verilen kenar uzunlukları \( a = 7 \) cm ve \( b = 12 \) cm olsun. Üçüncü kenara \( c \) diyelim.
- 💡 Şimdi eşitsizliği kuralım:
- \( |12 - 7| < c < 12 + 7 \)
- \( 5 < c < 19 \)
- Bu eşitsizliğe göre, üçüncü kenarın uzunluğu 5 cm'den büyük, 19 cm'den küçük olmalıdır.
- Soruda üçüncü kenarın tam sayı olarak en az kaç cm olabileceği soruluyor.
- 5'ten büyük en küçük tam sayı 6'dır.
- Sonuç olarak, üçüncü kenarın uzunluğu tam sayı olarak en az 6 cm olabilir. ✅
Örnek 4:
Dik kenar uzunlukları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız:
- 📌 Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
- 👉 Yani, dik kenarlar \( a \) ve \( b \), hipotenüs \( c \) ise \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülü geçerlidir.
- ✅ Bize verilen dik kenar uzunlukları \( a = 9 \) cm ve \( b = 12 \) cm'dir. Hipotenüsü \( c \) ile gösterelim.
- 💡 Şimdi formülü uygulayalım:
- \( 9^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 81 + 144 = c^2 \)
- \( 225 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini buluruz:
- \( c = \sqrt{225} \)
- \( c = 15 \)
- Sonuç olarak, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 15 cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. Eğer \( |AB| = |DE| = 6 \) cm, \( |BC| = |EF| = 8 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \) ise, bu üçgenler eş midir? Eş ise hangi eşlik kuralına göre eştir? 🧐
Çözüm:
İki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için eşlik kurallarını incelememiz gerekir:
- 📌 Üçgenlerde başlıca eşlik kuralları şunlardır: Kenar-Açı-Kenar (KAK), Açı-Kenar-Açı (AKA), Kenar-Kenar-Kenar (KKK).
- 👉 Bize verilen bilgilere bakalım:
- Kenar: \( |AB| = |DE| = 6 \) cm (Birinci kenar eşitliği)
- Açı: \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \) (Bu iki kenar arasındaki açı eşitliği)
- Kenar: \( |BC| = |EF| = 8 \) cm (İkinci kenar eşitliği)
- 💡 Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları birbirine eşittir.
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı doğrudan karşılamaktadır.
- Sonuç olarak, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir ve bu eşlik KAK Eşlik Kuralı'na göre sağlanmıştır. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. ↔️ D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 8 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde paralel doğrular ve üçgenler olduğu için Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi) veya Benzerlik kullanabiliriz:
- 📌 DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (AA benzerliği).
- 👉 Bu benzerlikten dolayı kenarlar arasında bir oran vardır: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \).
- Alternatif olarak, Temel Orantı Teoremi der ki: Bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarları orantılı parçalara ayırır.
- Yani, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) eşitliğini kullanabiliriz.
- ✅ Bize verilen değerler: \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 8 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm'dir.
- 💡 Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
- \( \frac{4}{8} = \frac{5}{|EC|} \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{5}{|EC|} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( |EC| \) değerini bulalım:
- \( 1 \times |EC| = 2 \times 5 \)
- \( |EC| = 10 \)
- Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 7:
Bir ABC üçgeni şeklindeki kağıt, B köşesi AC kenarı üzerine gelecek şekilde katlanıyor. 📄 Katlama çizgisi AD olduğuna göre, katlama sonrası B noktasının yeni yeri B' olsun. Eğer \( m(\widehat{BAC}) = 70^\circ \) ise, \( m(\widehat{BAD}) \) açısı kaç derecedir? ✂️
Çözüm:
Bu bir katlama problemi olup, katlama işlemi geometri bilgilerimizle çözülür:
- 📌 Kağıt katlandığında, katlama çizgisi (AD) bir simetri ekseni görevi görür.
- 👉 Bu simetri özelliği nedeniyle, katlama öncesi ve sonrası oluşan şekiller (üçgenler) eş olur.
- Yani, \( \triangle ABD \) üçgeni ile \( \triangle AB'D \) üçgeni eştir.
- 💡 Eşlikten dolayı, katlama çizgisi AD aynı zamanda \( \widehat{BAB'} \) açısının açıortayı olur.
- ✅ Bize verilen bilgiye göre \( m(\widehat{BAC}) = 70^\circ \) dir.
- Katlama çizgisi AD, \( \widehat{BAC} \) açısını iki eş parçaya ayırır.
- Hesaplama:
- \( m(\widehat{BAD}) = \frac{m(\widehat{BAC})}{2} \)
- \( m(\widehat{BAD}) = \frac{70^\circ}{2} \)
- \( m(\widehat{BAD}) = 35^\circ \)
- Sonuç olarak, \( m(\widehat{BAD}) \) açısı 35 derecedir. ✅
Örnek 8:
1.6 metre boyundaki bir öğrencinin gölgesinin uzunluğu 2 metredir. ☀️ Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölgesinin uzunluğu 15 metredir. Bu bilgilere göre ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu tür gölge problemleri, benzer üçgenler prensibiyle çözülür:
- 📌 Güneş ışınları yeryüzüne paralel geldiği için, hem öğrenci hem de ağaç ile gölgeleri arasında oluşan dik üçgenler benzerdir.
- 👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir (benzerlik oranı).
- Yani, \( \frac{\text{Öğrencinin Boyu}}{\text{Öğrencinin Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \) eşitliğini kullanabiliriz.
- ✅ Bize verilen değerler:
- Öğrencinin Boyu = 1.6 metre
- Öğrencinin Gölgesi = 2 metre
- Ağacın Gölgesi = 15 metre
- Ağacın Boyu = \( x \) (bilinmeyen)
- 💡 Şimdi bu değerleri orantıda yerine koyalım:
- \( \frac{1.6}{2} = \frac{x}{15} \)
- Denklemi çözelim:
- \( 2 \times x = 1.6 \times 15 \)
- \( 2x = 24 \)
- \( x = \frac{24}{2} \)
- \( x = 12 \)
- Sonuç olarak, ağacın boyu 12 metredir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-ve-eslik-benzerlik/sorular