🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler ve benzerlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler ve benzerlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, \( \text{m}(\angle A) = 50^\circ \) ve \( \text{m}(\angle B) = 70^\circ \) ise, \( \text{m}(\angle C) \) kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) olmalıdır. 📌
- Verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \).
- Üçgenin iç açılarının toplamı formülü: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \).
- Toplamı hesaplayalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \).
- \( \angle C \) 'yi bulmak için \( 180^\circ \) 'den \( 120^\circ \) çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \).
- Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \). ✅
Örnek 2:
İki üçgenin benzer olabilmesi için hangi koşullar gereklidir? Açıklayınız. 🤔
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için iki temel koşul vardır:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: Eğer iki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, bu iki üçgen benzerdir. Bu durumda üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olur.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: Eğer iki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ise ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu iki üçgen benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: Eğer iki üçgenin karşılıklı tüm kenarları orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
Örnek 3:
Bir parkta bulunan iki direğin boyları farklıdır. Güneşli bir günde, kısa direğin gölgesi 2 metre, uzun direğin gölgesi ise 5 metredir. Kısa direğin boyu 3 metre olduğuna göre, uzun direğin boyu kaç metredir? ☀️
Çözüm:
Bu problemde benzerlik prensibini kullanacağız. Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için, direkler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur. 📐
- Benzerlik oranını kurmak için direk boylarını gölge boylarına oranlayabiliriz.
- Kısa direğin boyu \( = 3 \) m, gölgesi \( = 2 \) m.
- Uzun direğin boyu \( = x \) m, gölgesi \( = 5 \) m.
- Benzerlik oranı: \( \frac{\text{Kısa Direk Boyu}}{\text{Kısa Direk Gölgesi}} = \frac{\text{Uzun Direk Boyu}}{\text{Uzun Direk Gölgesi}} \).
- Denklem: \( \frac{3}{2} = \frac{x}{5} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times x = 3 \times 5 \).
- \( 2x = 15 \).
- \( x \) 'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{15}{2} \).
- Sonuç: Uzun direğin boyu \( 7.5 \) metredir. ✅
Örnek 4:
Bir haritanın ölçeği 1:100.000 olarak verilmiştir. Haritada iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak ölçülmüştür. Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Harita ölçeği, haritada gösterilen bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını ifade eder. 📏
- Ölçek 1:100.000 demektir. Yani haritadaki 1 birim, gerçekte 100.000 birime karşılık gelir.
- Haritadaki mesafe 5 cm'dir.
- Gerçek mesafeyi bulmak için haritadaki mesafeyi ölçekle çarparız: Gerçek Mesafe = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Faktörü.
- Gerçek Mesafe (cm) = \( 5 \text{ cm} \times 100.000 = 500.000 \text{ cm} \).
- Bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor. 1 km = 100.000 cm olduğunu biliyoruz.
- Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{500.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \).
- Sonuç: Gerçek mesafe 5 kilometredir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( AC = 10 \) cm'dir. Bu üçgene benzer bir DEF üçgeninde \( DE = 9 \) cm olduğuna göre, \( EF \) ve \( DF \) kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması için kenar uzunlukları orantılı olmalıdır. KKK benzerlik kuralını kullanacağız. 📌
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( AB = 6 \), \( BC = 8 \), \( AC = 10 \).
- DEF üçgeninde verilen kenar: \( DE = 9 \).
- Benzerlik oranını bulmak için bilinen kenarların oranını alırız: \( \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \). Bu oran, DEF üçgeninin kenarlarının ABC üçgeninin kenarlarına oranını verir.
- Şimdi diğer kenarların uzunluklarını bulalım:
- \( \frac{EF}{BC} = \frac{3}{2} \implies \frac{EF}{8} = \frac{3}{2} \implies 2 \times EF = 8 \times 3 \implies 2 \times EF = 24 \implies EF = 12 \) cm.
- \( \frac{DF}{AC} = \frac{3}{2} \implies \frac{DF}{10} = \frac{3}{2} \implies 2 \times DF = 10 \times 3 \implies 2 \times DF = 30 \implies DF = 15 \) cm.
- Sonuç: \( EF = 12 \) cm ve \( DF = 15 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
İki eşkenar üçgenin benzer olup olmadığını açıklayınız. 📐
Çözüm:
Evet, iki eşkenar üçgen her zaman benzerdir. 💡
- Eşkenar üçgenlerin tanımı gereği tüm iç açıları \( 60^\circ \) 'dir.
- Dolayısıyla, iki eşkenar üçgenin de tüm açıları birbirine eşittir.
- Bu durum, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralını sağlar. İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğunda, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olur ve üçgenler benzer kabul edilir.
- Ayrıca, eşkenar üçgenlerin kenar uzunlukları da orantılıdır (herhangi bir pozitif oranda olabilirler). Bu da Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralını sağlar.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A \) 'nın açıortayı \( AD \) kenarını \( D \) noktasında kesiyor. Eğer \( AB = 12 \) cm, \( AC = 18 \) cm ve \( BD = 4 \) cm ise, \( DC \) uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde Üçgende Açıortay Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, açıortayın karşısındaki kenarı kestiği noktada oluşan parçaların oranının, açıortayın çıktığı köşelere ait kenarların oranına eşit olduğunu belirtir. 📌
- Üçgende Açıortay Teoremi'ne göre: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( AB = 12 \text{ cm} \), \( AC = 18 \text{ cm} \), \( BD = 4 \text{ cm} \).
- Denklem: \( \frac{12}{18} = \frac{4}{DC} \).
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \).
- Denklem şimdi şu şekildedir: \( \frac{2}{3} = \frac{4}{DC} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times DC = 3 \times 4 \).
- \( 2 \times DC = 12 \).
- \( DC \) 'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( DC = \frac{12}{2} \).
- Sonuç: \( DC = 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 8:
Bir fotoğraf çerçevesinin boyutları 10 cm'ye 15 cm'dir. Bu fotoğrafın daha büyük bir çerçeveye konulması isteniyor ve yeni çerçevenin kısa kenarı 15 cm olacak şekilde ayarlanması planlanıyor. Yeni çerçevenin uzun kenarı kaç cm olmalıdır ki, fotoğraf ve çerçeve benzer olsun? 🖼️
Çözüm:
Fotoğrafın ve çerçevenin benzer olması, kenar uzunluklarının orantılı olması anlamına gelir. 📏
- Orijinal fotoğraf çerçevesinin boyutları: Kısa kenar \( = 10 \) cm, Uzun kenar \( = 15 \) cm.
- Oran: \( \frac{\text{Uzun Kenar}}{\text{Kısa Kenar}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \).
- Yeni çerçevenin kısa kenarı \( = 15 \) cm olarak belirlenmiş.
- Yeni çerçevenin uzun kenarına \( x \) diyelim.
- Benzerlik oranı korunmalıdır: \( \frac{x}{15} = \frac{3}{2} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times x = 3 \times 15 \).
- \( 2x = 45 \).
- \( x \) 'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = \frac{45}{2} \).
- Sonuç: Yeni çerçevenin uzun kenarı \( 22.5 \) cm olmalıdır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-ve-benzerlikler/sorular