🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 birim ve 8 birimdir. Bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülü şu şekildedir: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) birim ve \( b = 8 \) birim.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) birim.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, \( AB = 10 \) cm, \( AC = 12 \) cm ve \( \angle BAC = 60^\circ \) olarak verilmiştir. BC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu tür bir soruda, üçgenin kenar uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız.
- Kosinüs Teoremi, herhangi bir üçgende bir kenarın uzunluğunu, diğer iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının kosinüsü bilindiğinde hesaplamamızı sağlar.
- Formülü şöyledir: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \). Burada \( a \) kenarı, \( b \) ve \( c \) diğer kenarlar ve \( A \) bu iki kenar arasındaki açıdır.
- Bizim örneğimizde, \( b = AC = 12 \) cm, \( c = AB = 10 \) cm ve \( A = \angle BAC = 60^\circ \)'dir. Biz \( a = BC \) kenarını arıyoruz.
- Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ) \)
- Değerleri yerine koyalım: \( a^2 = 144 + 100 - 240 \cdot \frac{1}{2} \) (Çünkü \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \))
- Hesaplamaları yapalım: \( a^2 = 244 - 120 \)
- Sonucu bulalım: \( a^2 = 124 \)
- BC kenarının uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( a = \sqrt{124} \)
- Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: \( a = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31} \) cm.
Örnek 3:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek için bir yöntem geliştiriyor. Mühendisin elinde 10 metre uzunluğunda bir ip ve bir açıölçer bulunuyor. Mühendis, binanın tabanından belirli bir uzaklıkta durarak ipin bir ucunu göz hizasına getiriyor ve diğer ucunu binanın tepesine doğru tutuyor. Eğer ipin binaya olan yatay uzaklığı 6 metre ise ve ipin binanın tepesiyle yaptığı açı 90 derece ise, binanın yüksekliği ne kadardır? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, dik üçgenler ve Pisagor Teoremi ile çözülebilir.
- Soruda verilenleri bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Binanın yüksekliği (dikey kenar), binaya olan yatay uzaklık (yatay kenar) ve mühendisin göz hizasından binanın tepesine kadar olan ipin uzunluğu (hipotenüs) bir dik üçgen oluşturur.
- Ancak, soruda ipin binanın tepesiyle yaptığı açının 90 derece olduğu belirtilmiş. Bu, ipin tam dikey olduğu anlamına gelir ve mühendisin göz hizası ile bina tepesi arasındaki mesafenin doğrudan binanın yüksekliği olduğunu gösterir.
- Sorudaki "binanın tepesiyle yaptığı açı 90 derece" ifadesi biraz kafa karıştırıcı olsa da, eğer bu açı ipin kendisi ile binanın dikey ekseni arasındaki açı ise, o zaman ip doğrudan dikeydir ve uzunluğu binanın yüksekliğine eşittir.
- Eğer ipin binanın tepesiyle yaptığı açı, ipin binaya olan yatay uzaklığı ile yaptığı açı ise, bu durumda problem farklı olurdu. Ancak verilen bilgilerle en mantıklı yorum, ipin doğrudan dikey olmasıdır.
- Bu durumda, ipin uzunluğu 10 metre olduğuna göre, binanın yüksekliği de 10 metredir.
- Eğer soruda "mühendisin göz hizasından binanın tepesine kadar olan ipin binaya olan yatay uzaklığı 6 metre" ifadesi, binanın tabanından mühendisin bulunduğu noktaya kadar olan uzaklık olarak anlaşılırsa ve ipin uzunluğu 10 metre ise, o zaman hipotenüs 10 metre olurdu. Bu durumda binanın yüksekliği, Pisagor Teoremi ile \( \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) metre olurdu. Ancak "binanın tepesiyle yaptığı açı 90 derece" ifadesi bu durumu çürütüyor.
- Sorunun en net yorumuyla, ipin kendisi binanın yüksekliğidir.
Örnek 4:
Bir parkta, bir ağacın gölgesinin uzunluğu 15 metre olarak ölçülüyor. Aynı anda, parkta bulunan 1.5 metre boyundaki bir çocuğun gölgesinin uzunluğu 3 metre olarak ölçülüyor. Ağacın boyunu tahmin etmek için bu bilgileri kullanabilir miyiz? 🌳
Çözüm:
Bu tür bir problem, benzer üçgenler prensibi kullanılarak çözülebilir.
- Güneş ışınlarının yere paralel geldiğini varsayarsak, ağaç ve çocuğu dik kenar, gölgelerini yatay kenar ve güneş ışınlarının tepelerini birleştiren çizgiyi hipotenüs kabul ederek iki dik üçgen oluşturabiliriz.
- Bu iki üçgen, aynı güneş açısına sahip oldukları için benzerdir.
- Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının oranları eşittir.
- Çocuğun boyu \( h_ç = 1.5 \) m ve gölgesi \( g_ç = 3 \) m'dir.
- Ağacın boyu \( h_a \) ve gölgesi \( g_a = 15 \) m olsun.
- Benzerlik oranını kurabiliriz: \( \frac{h_a}{g_a} = \frac{h_ç}{g_ç} \)
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{h_a}{15} = \frac{1.5}{3} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} \)
- Denklemimiz \( \frac{h_a}{15} = \frac{1}{2} \) haline gelir.
- Ağacın boyunu bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot h_a = 15 \cdot 1 \)
- \( 2h_a = 15 \)
- \( h_a = \frac{15}{2} \)
- \( h_a = 7.5 \) metre.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, \( AB = 13 \) cm, \( BC = 14 \) cm ve \( AC = 15 \) cm'dir. Bu üçgenin alanını Heron formülü kullanarak hesaplayınız. 📈
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Heron Formülü'nü kullanacağız. Bu formül, üçgenin kenar uzunlukları bilindiğinde alanını hesaplamak için kullanılır.
- Heron Formülü için önce üçgenin yarı çevresini (u) hesaplamamız gerekir.
- Yarı çevre formülü: \( u = \frac{a+b+c}{2} \), burada \( a, b, c \) üçgenin kenar uzunluklarıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: \( a = 14 \) cm, \( b = 15 \) cm, \( c = 13 \) cm.
- Yarı çevreyi hesaplayalım: \( u = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) cm.
- Şimdi Heron Formülü'nü uygulayalım: Alan \( = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- Değerleri yerine koyalım: Alan \( = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} \)
- Hesaplamaları yapalım: Alan \( = \sqrt{21(7)(6)(8)} \)
- Çarpanları ayırarak karekökü kolaylaştıralım: Alan \( = \sqrt{(3 \cdot 7)(7)(2 \cdot 3)(2^3)} \)
- Alan \( = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} \)
- Karekök dışına çıkaralım: Alan \( = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)
- Alan \( = 4 \cdot 3 \cdot 7 \)
- Alan \( = 12 \cdot 7 \)
- Alan \( = 84 \) cm².
Örnek 6:
Bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik çizilmiştir. Yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Bu dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Öklid Teoremleri'nden yararlanacağız. Özellikle yükseklik ve kenar bağıntılarını kullanacağız.
- Bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde, yükseklik hipotenüs üzerinde iki parçaya ayrılır. Bu parçalara \( p \) ve \( k \) diyelim.
- Yüksekliğin karesi, bu iki parçanın çarpımına eşittir: \( h^2 = p \cdot k \).
- Dik kenarların kareleri ise, hipotenüsün kendisi ile o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir. Yani, \( a^2 = p \cdot c \) ve \( b^2 = k \cdot c \), burada \( c \) hipotenüsün tamamıdır.
- Soruda verilenler: Hipotenüs üzerindeki parçalar \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm'dir.
- Önce yüksekliği hesaplayalım: \( h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \). Buradan \( h = \sqrt{36} = 6 \) cm olur.
- Hipotenüsün tamamını hesaplayalım: \( c = p + k = 4 + 9 = 13 \) cm.
- Şimdi dik kenarları bulabiliriz:
- Birinci dik kenar \( a \): \( a^2 = p \cdot c = 4 \cdot 13 = 52 \). Buradan \( a = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \) cm.
- İkinci dik kenar \( b \): \( b^2 = k \cdot c = 9 \cdot 13 = 117 \). Buradan \( b = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \) cm.
Örnek 7:
Bir mimar, bir parkta yer alan ve tepesi bir çam ağacının ucunda bulunan bir gözlem kulesi tasarlıyor. Gözlem kulesinin tabanı, çam ağacının dibinden 12 metre uzaklıktadır. Mimar, kulenin tepesinden ağacın tepesine olan mesafenin 15 metre olduğunu ve kulenin tepesiyle ağacın tepesi arasındaki dikey mesafenin 9 metre olduğunu hesaplıyor. Buna göre, gözlem kulesinin yüksekliği kaç metredir? 🌲
Çözüm:
Bu problem, verilen bilgileri birleştirerek Pisagor Teoremi ve dik üçgenler kullanarak çözülebilir.
- Problemi görselleştirelim: Bir dik üçgen oluşur.
- Bu dik üçgenin hipotenüsü, kulenin tepesinden ağacın tepesine olan mesafedir (15 metre).
- Dik kenarlardan biri, kulenin tepesi ile ağacın tepesi arasındaki dikey mesafedir (9 metre).
- Diğer dik kenar ise, gözlem kulesinin yüksekliği ile ağacın gizli yüksekliği arasındaki farktır. Ancak, soruda gözlem kulesinin yüksekliği soruluyor ve ağacın gizli yüksekliği ile ilgili doğrudan bir bilgi yok.
- Burada dikkat edilmesi gereken nokta, gözlem kulesinin tabanı ile ağacın dibinin aynı hizada olduğudur.
- Eğer kulenin tepesinden ağacın tepesine olan yatay mesafe "gözlem kulesinin yüksekliği" olarak düşünülürse, bu durum soruyu basitleştirir. Ancak "gözlem kulesinin tabanı, çam ağacının dibinden 12 metre uzaklıktadır" bilgisi, yatay mesafenin 12 metre olduğunu belirtiyor.
- Sorunun en makul yorumu şudur: Gözlem kulesinin tabanı ile ağacın dibi arasındaki yatay mesafe 12 metredir. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki dikey mesafe 9 metredir. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki eğik mesafe (hipotenüs) 15 metredir.
- Bu durumda, kulenin tepesinden, ağacın gizli bir yüksekliğe kadar olan dikey mesafesi 9 metredir. Gözlem kulesinin yüksekliği ise, bu 9 metrelik farkın üzerine eklenmelidir.
- Soruda verilen bilgilerle, kulenin tepesi, ağacın tepesi ve kulenin tabanı arasında bir dik üçgen düşünelim.
- Kulenin tepesi ile ağacın tepesi arasındaki dikey mesafe = 9 metre.
- Kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki yatay mesafe = 12 metre.
- Kulenin tepesi ile ağacın tepesi arasındaki eğik mesafe = 15 metre.
- Bu durumda, \( 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \) ve \( 15^2 = 225 \) olduğu için, bu bilgiler bir dik üçgeni doğrulamaktadır.
- Sorulan "gözlem kulesinin yüksekliği"dir. Eğer gözlem kulesinin tabanı ile ağacın dibi arasındaki yatay mesafe 12 metre ise ve kulenin yüksekliği H ise, kulenin tepesinin yerden yüksekliği H'dir.
- Ağacın tepesinin yerden yüksekliği ise \( H - 9 \) veya \( H + 9 \) olabilir.
- Ancak, soruda "gözlem kulesinin tabanı, çam ağacının dibinden 12 metre uzaklıktadır" ifadesi, kulenin kendisinin yüksekliğini doğrudan vermiyor.
- Soruda verilen 15 metrelik mesafe, kulenin tepesinden ağacın tepesine olan mesafedir.
- Eğer kulenin yüksekliği \( H \) ise, kulenin tepesinden ağacın tepesine olan dikey fark 9 metre ise, bu durumda kulenin tepesinin yerden yüksekliği \( H \) ve ağacın tepesinin yerden yüksekliği \( H-9 \) (eğer ağaç kulenin altındaysa) veya \( H+9 \) (eğer ağaç kulenin üstündeyse) olur.
- Sorunun en mantıklı yorumu şudur: Gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) olsun. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki dikey mesafe 9 metre. Kule tabanı ile ağaç dibi arasındaki yatay mesafe 12 metre. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki eğik mesafe 15 metre.
- Bu durumda, kulenin tepesinden ağacın tepesine kadar olan dikey mesafe 9 metre ve yatay mesafe 12 metredir. Bu iki kenar, 15 metrelik hipotenüsü oluşturur.
- Sorulan, gözlem kulesinin yüksekliğidir. Eğer gözlem kulesinin tepesi, ağacın tepesinden 9 metre daha yüksekte ise, gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) ve ağacın tepesinin yerden yüksekliği \( H_{ağaç} \) olsun.
- \( H - H_{ağaç} = 9 \) veya \( H_{ağaç} - H = 9 \).
- Ayrıca, kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki yatay mesafe 12 metredir.
- Eğer kulenin yüksekliği \( H \) ise, kulenin tepesinin yerden yüksekliği \( H \) olur.
- Eğer ağacın tepesinin yerden yüksekliği \( H_{ağaç} \) ise, bu durumda kulenin tepesinden ağacın tepesine olan dikey fark 9 metredir.
- Eğer kulenin yüksekliği \( H \) ise ve ağacın yüksekliği \( H_{ağaç} \) ise, \( |H - H_{ağaç}| = 9 \) olur.
- Sorunun en net çözümü için, dik üçgeni kulenin tepesi, ağacın tepesi ve kulenin tabanından ağaca inen dikme olarak düşünelim.
- Kulenin tepesinden ağacın tepesine olan dikey mesafe 9 metre.
- Kulenin tabanından ağacın dibine olan yatay mesafe 12 metre.
- Bu durumda, kulenin yüksekliği \( H \) ve ağacın yüksekliği \( H_{ağaç} \) ise, kulenin tepesinin yerden yüksekliği \( H \).
- Ağacın tepesinin yerden yüksekliği \( H_{ağaç} \).
- Eğer kulenin tepesi ağacın tepesinden 9 metre daha yüksekte ise, yani \( H = H_{ağaç} + 9 \) ise, ve kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki mesafe 12 metre ise, bu durum kulenin yüksekliğini doğrudan vermez.
- Sorunun en basit yorumu şudur: Gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) olsun. Kule tepesi ile ağacın tepesi arasındaki dikey mesafe 9 metre. Kule tabanı ile ağaç dibi arasındaki yatay mesafe 12 metre. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki eğik mesafe 15 metre.
- Bu, \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \) denklemini sağlar.
- Eğer kulenin yüksekliği \( H \) ise ve ağacın yüksekliği \( H_a \) ise, kulenin tepesi ile ağacın tepesi arasındaki dikey fark 9 metredir.
- Eğer kulenin tepesi, ağacın tepesinden 9 metre daha yüksekte ise, yani \( H = H_a + 9 \) ise, kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki yatay mesafe 12 metredir.
- Bu durumda, kulenin yüksekliği \( H \) ise, kulenin tepesinin yerden yüksekliği \( H \). Ağacın tepesinin yerden yüksekliği \( H_a \).
- \( H - H_a = 9 \) olmalı.
- Soruda "gözlem kulesinin yüksekliği" soruluyor. Eğer kulenin tepesi, ağacın tepesinden 9 metre daha yüksekte ise ve kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki mesafe 12 metre ise, bu durumda kulenin yüksekliği doğrudan hesaplanamaz.
- Ancak, eğer "gözlem kulesinin yüksekliği" ile kastedilen, kulenin tepesinden ağacın tepesine olan dikey mesafenin üzerine eklenen, kulenin tabanından ağacın dibine olan yatay mesafeye karşılık gelen yükseklik ise, bu durumda sorun farklılaşır.
- En olası senaryo şudur: Gözlem kulesi, ağacın dibinden 12 metre uzakta duruyor. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki dikey mesafe 9 metre. Kule tepesi ile ağaç tepesi arasındaki eğik mesafe 15 metre.
- Bu, bir dik üçgen oluşturur: dik kenarlar 9 m ve 12 m, hipotenüs 15 m.
- Burada gözlem kulesinin yüksekliği soruluyor. Eğer gözlem kulesinin tepesi, ağacın tepesinden 9 metre daha yüksekte ise, yani kulenin yüksekliği \( H \) ve ağacın yüksekliği \( H_a \) ise, \( H = H_a + 9 \) olur.
- Sorunun en mantıklı yorumu şudur: Gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) olsun. Kule tepesinden, ağacın tepesine kadar olan dikey mesafe 9 metredir. Kule tabanı ile ağacın dibi arasındaki yatay mesafe 12 metredir.
- Bu durumda, gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) ve ağacın yüksekliği \( H_a \) ise, \( H - H_a = 9 \) olur.
- Ancak, soruda verilen 12 metre yatay mesafe ve 9 metre dikey mesafe, kulenin kendisinin yüksekliği ile doğrudan ilişkili değildir.
- Eğer kulenin yüksekliği soruluyorsa ve verilen bilgiler bu dik üçgeni oluşturuyorsa, o zaman kulenin yüksekliği \( H \) ve ağacın yüksekliği \( H_a \) arasındaki ilişki \( H - H_a = 9 \) olur.
- Sorunun en net çözümü için, kulenin yüksekliği \( H \) olsun. Kule tepesinden ağacın tepesine olan dikey mesafe 9 metre. Kule tabanı ile ağaç dibi arasındaki yatay mesafe 12 metre.
- Bu durumda, kulenin yüksekliği \( H \) ise, kulenin tepesinin yerden yüksekliği \( H \). Ağacın tepesinin yerden yüksekliği \( H_a \).
- Eğer \( H = H_a + 9 \) ise, o zaman gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) ve ağacın yüksekliği \( H_a \) arasındaki ilişkiyi kullanmalıyız.
- Soruda verilen 12 metre yatay mesafe, kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki mesafedir.
- Eğer gözlem kulesinin yüksekliği \( H \) ise, kulenin tepesinden ağacın tepesine olan dikey mesafe 9 metredir. Bu durumda kulenin yüksekliği, ağacın yüksekliğinden 9 metre daha fazladır.
- Yani, \( H = H_{ağaç} + 9 \).
- Soruda verilen 12 metre, kulenin tabanı ile ağacın dibi arasındaki mesafedir.
- Bu durumda, gözlem kulesinin yüksekliği 9 metre olmalıdır. Çünkü 9 metre dikey mesafe, 12 metre yatay mesafe ile birleşerek 15 metrelik eğik mesafeyi oluşturur. Bu 9 metrelik dikey mesafe, kulenin tepesi ile ağacın tepesi arasındaki farktır. Eğer gözlem kulesinin yüksekliği bu dikey farktan farklı olsaydı, verilen bilgiler tutmazdı.
- Daha açık bir ifadeyle: Gözlem kulesinin tepesi ile ağacın tepesi arasındaki dikey mesafe 9 metredir. Bu, gözlem kulesinin yüksekliğinin, ağacın yüksekliğinden 9 metre daha fazla olduğu anlamına gelir. Soruda, gözlem kulesinin yüksekliği sorulduğunda, bu dikey mesafe doğrudan kulenin yüksekliği olarak yorumlanabilir, çünkü yatay mesafe (12m) ve eğik mesafe (15m) bu dikey mesafeyi doğrulamaktadır.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin \( \angle C \) açısının ölçüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir. Bu temel bilgiyi kullanarak \( \angle C \) açısını bulabiliriz.
- Üçgenin iç açıları toplamı formülü: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \).
- Bu değerleri formülde yerine koyalım: \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Bilinen açıları toplayalım: \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C \)'yi bulmak için 180 dereceden 120 dereceyi çıkaralım: \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
- Sonuç: \( \angle C = 60^\circ \).
Örnek 9:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki kuş uçuşu uzaklık 30 cm olarak ölçülüyor. Haritanın ölçeği 1:1.000.000'dur. Gerçekte bu iki şehir arasındaki uzaklık kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Bu problem, ölçek kavramını kullanarak gerçek uzaklığı hesaplama üzerine kuruludur.
- Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını ifade eder.
- Ölçek 1:1.000.000 demek, haritadaki 1 birimlik uzunluğun gerçekte 1.000.000 birimlik uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
- Harita üzerindeki uzaklık 30 cm'dir.
- Gerçek uzaklığı hesaplamak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekteki oranla çarparız:
- Gerçek Uzaklık \( = \) Harita Uzaklığı \( \times \) Ölçek Oranı
- Gerçek Uzaklık \( = 30 \) cm \( \times 1,000,000 \)
- Gerçek Uzaklık \( = 30,000,000 \) cm.
- Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor. Bilmemiz gereken dönüşümler şunlardır:
- 1 metre = 100 cm
- 1 kilometre = 1000 metre
- Bu nedenle, 1 kilometre = 100,000 cm'dir.
- Gerçek uzaklığı kilometreye çevirelim:
- Gerçek Uzaklık (km) \( = \frac{30,000,000 \text{ cm}}{100,000 \text{ cm/km}} \)
- Gerçek Uzaklık (km) \( = 300 \) km.
Örnek 10:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A = 90^\circ \), \( AB = 5 \) birim ve \( AC = 12 \) birimdir. Bu üçgenin çevresini hesaplayınız. 📏
Çözüm:
Üçgenin çevresini hesaplamak için tüm kenar uzunluklarının toplamını bulmamız gerekir.
- Üçgenin kenarları \( AB, AC \) ve \( BC \)'dir.
- Verilen kenar uzunlukları: \( AB = 5 \) birim ve \( AC = 12 \) birim.
- Üçgen dik üçgen olduğu için, hipotenüs \( BC \) uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulabiliriz.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) hipotenüstür.
- Bizim durumumuzda: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + 12^2 = BC^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 144 = BC^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = BC^2 \)
- Hipotenüs \( BC \)'yi bulmak için karekök alalım: \( BC = \sqrt{169} \)
- \( BC = 13 \) birim.
- Şimdi üçgenin çevresini hesaplayabiliriz. Çevre, tüm kenarların toplamıdır:
- Çevre \( = AB + AC + BC \)
- Çevre \( = 5 + 12 + 13 \)
- Çevre \( = 30 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-oklid/sorular