🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler: Öklid, Tales ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler: Öklid, Tales ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm olduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Dik kenarlarımız a = 6 cm ve b = 8 cm olsun.
- Hipotenüsümüz c olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Hipotenüs uzunluğu: \( c = 10 \) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 10 cm, AC kenarı 12 cm ve BC kenarı 14 cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: AB = 10 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm
- Çevre formülü: Çevre = AB + AC + BC
- Değerleri toplayalım: Çevre = 10 + 12 + 14
- Sonuç: Çevre = 36 cm
Örnek 3:
Şekildeki gibi, bir duvarın dibinden 5 metre uzağa yerleştirilmiş 13 metre uzunluğundaki bir merdiven, duvarda kaç metre yükseğe çıkar? (Merdiven, duvar ve yer arasındaki ilişki dik kabul edilecektir.) 🪜
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor Teoremi ile çözülebilir.
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) = 13 metre
- Duvarın dibinden merdivenin uzaklığı (bir dik kenar) = 5 metre
- Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik (diğer dik kenar) = ? (buna 'h' diyelim)
- Pisagor Teoremi: \( 5^2 + h^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + h^2 = 169 \)
- \( h^2 \) değerini bulmak için 25'i karşıya atalım: \( h^2 = 169 - 25 \)
- \( h^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = \sqrt{144} \)
- Merdivenin ulaştığı yükseklik: \( h = 12 \) metre
Örnek 4:
İki paralel doğruya bir kesen çizildiğinde oluşan yöndeş açılar ile ilgili bir soru: Birbirini kesen iki düzlemde bulunan iki paralel doğru ve bu doğruları kesen bir dördüncü doğru düşünün. Paralel doğrulardan üsttekinin dördüncü doğruyla yaptığı açılardan biri 70 derece ise, alttaki paralel doğrunun dördüncü doğruyla yaptığı iç ters açı kaç derecedir? ↩️
Çözüm:
Bu soruda Tales Teoremi'nin temel prensiplerinden biri olan paralel doğrular ve kesenler arasındaki açılar ilişkisi kullanılır. Yöndeş açılar eşittir ve iç ters açılar da eşittir.
- Verilen bilgi: Üstteki paralel doğru ile kesenin yaptığı açı 70 derece.
- Bu açı ile yöndeş olan açı da 70 derecedir (diğer paralel doğrunun üzerinde, aynı yöne bakan açı).
- Sorulan açı, bu 70 derecelik açının iç tersidir.
- İç ters açılar birbirine eşittir.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, düz bir zemine dik olarak yerleştirilmiş 8 metre yüksekliğindeki bir duvarın üzerine, duvardan 6 metre uzaktaki bir noktaya çelik bir destek çubuğu yerleştirecektir. Bu destek çubuğunun uzunluğu kaç metre olmalıdır? (Duvar ve zemin dik açı oluşturmaktadır.) 🏗️
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen modellemesi gerektirir.
- Duvarın yüksekliği (bir dik kenar) = 8 metre
- Duvarın dibinden çelik destek çubuğunun yerleştirileceği noktanın uzaklığı (diğer dik kenar) = 6 metre
- Çelik destek çubuğunun uzunluğu (hipotenüs) = ? (buna 'x' diyelim)
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( 8^2 + 6^2 = x^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 36 = x^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = x^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{100} \)
- Destek çubuğunun uzunluğu: \( x = 10 \) metre
Örnek 6:
Bir parkta, eş parçalara ayrılmış bir alanı temsil eden bir üçgen düşünün. Bu üçgenin bir kenarı 15 metre, bu kenara ait yükseklik ise 10 metredir. Eğer bu alanı iki eşit parçaya bölen bir çizgi çizilirse, bu çizginin uzunluğu hakkında ne söylenebilir? (Bu çizgi, kenarın ortasından karşı köşeye uzanmaktadır.) 🏞️
Çözüm:
Bu soru, kenarortay kavramını ve üçgenin alanını dolaylı olarak ele alır.
- Üçgenin tabanı = 15 metre
- Bu tabana ait yükseklik = 10 metre
- Üçgenin Alanı = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Alanı hesaplayalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 15 \times 10 = 75 \) metrekare
- Alan iki eşit parçaya bölündüğünde, her bir parçanın alanı \( \frac{75}{2} = 37.5 \) metrekare olur.
- Kenarortay, bir kenarı iki eşit parçaya böler. Bu durumda 15 metrelik kenar 7.5 metre ve 7.5 metre olarak ikiye ayrılır.
- Kenarortayın uzunluğu, karşı köşeden bu orta noktaya olan mesafedir.
- Burada kenarortayın tam uzunluğunu bulmak için ek bilgi (diğer kenarların uzunluğu) gerekir. Ancak kenarortayın çizildiği kenarın uzunluğu 15 metre ise ve bu kenar ikiye bölünüyorsa, kenarortay bu 15 metrelik kenarın orta noktasından başlar.
- Eğer soru, kenarortayın çizildiği kenarın uzunluğunu soruyorsa, bu bilgi zaten verilmiştir (15 metre). Eğer sorulan, kenarortayın kendisinin uzunluğu ise, bu bilgi tek başına yeterli değildir. Ancak genellikle bu tür sorularda, kenarortayın birleştiği kenarın uzunluğu kastedilir.
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasının bir köşesine dik olarak yerleştirdiği 12 metrelik bir direğe, tarlanın kenarından 5 metre uzaktaki bir noktaya gergin bir ip bağlamak istiyor. Bu ipin uzunluğu kaç metre olmalıdır? (Direk ve tarla kenarı dik açı oluşturmaktadır.) 🌾
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor Teoremi ile çözülebilir.
- Direğin yüksekliği (bir dik kenar) = 12 metre
- Direğin dibinden ipin bağlanacağı noktanın uzaklığı (diğer dik kenar) = 5 metre
- İpin uzunluğu (hipotenüs) = ? (buna 'L' diyelim)
- Pisagor Teoremi: \( 12^2 + 5^2 = L^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = L^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = L^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( L = \sqrt{169} \)
- İpin uzunluğu: \( L = 13 \) metre
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) ve B açısı \( 30^\circ \) ise, C açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Verilen açılar: A = \( 90^\circ \), B = \( 30^\circ \)
- Üçgenin iç açıları toplamı formülü: \( A + B + C = 180^\circ \)
- Bilinen değerleri yerine koyalım: \( 90^\circ + 30^\circ + C = 180^\circ \)
- Toplamı bulalım: \( 120^\circ + C = 180^\circ \)
- C açısını bulmak için 120'yi karşıya atalım: \( C = 180^\circ - 120^\circ \)
- C açısı: \( C = 60^\circ \)
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde DE paraleldir BC'ye. AD = 4 cm, DB = 2 cm ve AE = 6 cm olduğuna göre, EC kaç cm'dir? (D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir.) ↔️
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin (Benzerlik teoreminin özel bir durumu) bir uygulamasıdır. Paralel doğrular, kesen doğrular üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
- Verilenler: DE || BC, AD = 4 cm, DB = 2 cm, AE = 6 cm
- Tales Teoremi'ne göre, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) olmalıdır.
- Bilinen değerleri formülde yerine koyalım: \( \frac{4}{2} = \frac{6}{EC} \)
- Denklemi basitleştirelim: \( 2 = \frac{6}{EC} \)
- EC'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya her iki tarafı EC ile çarpıp sonra 2'ye bölebiliriz: \( 2 \times EC = 6 \)
- EC'yi hesaplayalım: \( EC = \frac{6}{2} \)
- EC = 3 cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-oklid-tales-ve-pisagor-teoremleri/sorular