🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler kenar-kenar benzerliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler kenar-kenar benzerliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir.
Bu iki üçgen kenar-kenar benzerliği açısından nasıldır? 📐
ABC üçgeninin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir.
Bu iki üçgen kenar-kenar benzerliği açısından nasıldır? 📐
Çözüm:
Bu iki üçgenin kenar-kenar benzerliği olup olmadığını anlamak için, bir üçgenin kenar uzunluklarının diğer üçgenin kenar uzunluklarına oranına bakmalıyız.
- Oranları Hesaplama:
- En kısa kenarların oranı: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
- Orta kenarların oranı: \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
- En uzun kenarların oranı: \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
- Sonuç: Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarının oranları sabit bir sayıya eşit olduğundan (\( \frac{1}{2} \)), ABC üçgeni ile DEF üçgeni kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir. 👉 Bu, DEF üçgeninin kenarlarının ABC üçgeninin kenarlarının 2 katı olduğu anlamına gelir.
Örnek 2:
İki üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir.
Üçgen 1: 5 birim, 7 birim, 9 birim.
Üçgen 2: 10 birim, 14 birim, 18 birim.
Bu iki üçgen arasında kenar-kenar benzerliği var mıdır? Varsa benzerlik oranını bulunuz. 🤔
Üçgen 1: 5 birim, 7 birim, 9 birim.
Üçgen 2: 10 birim, 14 birim, 18 birim.
Bu iki üçgen arasında kenar-kenar benzerliği var mıdır? Varsa benzerlik oranını bulunuz. 🤔
Çözüm:
İki üçgenin kenar-kenar benzerliği için, karşılıklı kenarların oranlarının eşit olması gerekir.
- Kenar Uzunluklarını Eşleştirme: Küçükten büyüğe doğru kenarları eşleştirelim:
- Üçgen 1'in en kısa kenarı 5, Üçgen 2'nin en kısa kenarı 10. Oran: \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
- Üçgen 1'in orta kenarı 7, Üçgen 2'nin orta kenarı 14. Oran: \( \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
- Üçgen 1'in en uzun kenarı 9, Üçgen 2'nin en uzun kenarı 18. Oran: \( \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
- Sonuç: Tüm kenarların oranları \( \frac{1}{2} \) olarak bulunduğu için, bu iki üçgen kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir. ✅ Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir.
Örnek 3:
ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( AC = 10 \) cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları \( DE = 9 \) cm, \( EF = 12 \) cm ve \( DF = 15 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını kenar-kenar benzerliği ile açıklayınız ve benzerlik oranını belirtiniz. 📏
DEF üçgeninin kenar uzunlukları \( DE = 9 \) cm, \( EF = 12 \) cm ve \( DF = 15 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını kenar-kenar benzerliği ile açıklayınız ve benzerlik oranını belirtiniz. 📏
Çözüm:
Benzerlik olup olmadığını kontrol etmek için, karşılıklı kenarların oranlarını incelemeliyiz.
- Kenar Oranlarını Hesaplama: Üçgenlerin kenarlarını küçükten büyüğe sıralayarak oranlayalım:
- \( \frac{AB}{DE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{BC}{EF} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{AC}{DF} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
- Değerlendirme: Tüm kenarların oranları \( \frac{2}{3} \) olarak bulunduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir. 💡 Benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.
Örnek 4:
Birbirine benzeyen iki üçgen düşünelim.
Büyük üçgenin kenar uzunlukları 12, 16 ve 20 birimdir.
Küçük üçgenin en kısa kenarı 3 birimdir.
Küçük üçgenin diğer iki kenar uzunluğunu bulunuz. 🧐
Büyük üçgenin kenar uzunlukları 12, 16 ve 20 birimdir.
Küçük üçgenin en kısa kenarı 3 birimdir.
Küçük üçgenin diğer iki kenar uzunluğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
İki üçgen benzer olduğundan, kenar uzunlukları orantılıdır. Önce büyük üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulalım.
- Büyük Üçgenin Kenar Oranları: Kenarları küçükten büyüğe sıralayalım: 12, 16, 20.
- Küçük Üçgenin Kenarlarını Bulma: Küçük üçgenin en kısa kenarı 3 birim olarak verilmiş. Bu, büyük üçgenin en kısa kenarı olan 12'nin \( \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) katıdır.
- Orta kenar: \( 16 \times \frac{1}{4} = 4 \) birim
- En uzun kenar: \( 20 \times \frac{1}{4} = 5 \) birim
- Sonuç: Küçük üçgenin kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 birimdir. ✅ Bu, iki üçgenin kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzer olduğunu gösterir.
Bu sayılar 4 ile çarpıldığında elde edilir: \( 4 \times 3 = 12 \), \( 4 \times 4 = 16 \), \( 4 \times 5 = 20 \). Yani kenarlar 3, 4, 5 oranına sahiptir.
Bu durumda, küçük üçgenin diğer kenarları da büyük üçgenin diğer kenarlarının \( \frac{1}{4} \) katı olacaktır.
Örnek 5:
Bir mimar, tasarladığı bir binanın maketini yapmaktadır. Maketin taban üçgeni ile gerçek binanın taban üçgeni arasında kenar-kenar benzerliği bulunmaktadır.
Maketin taban üçgeninin kenar uzunlukları 15 cm, 20 cm ve 25 cm'dir.
Gerçek binanın taban üçgeninin en kısa kenarı 30 metre (3000 cm) olduğuna göre, gerçek binanın taban üçgeninin diğer iki kenar uzunluğunu bulunuz. 🏗️
Maketin taban üçgeninin kenar uzunlukları 15 cm, 20 cm ve 25 cm'dir.
Gerçek binanın taban üçgeninin en kısa kenarı 30 metre (3000 cm) olduğuna göre, gerçek binanın taban üçgeninin diğer iki kenar uzunluğunu bulunuz. 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, maket üçgeni ile gerçek bina üçgeni arasında kenar-kenar benzerliği olduğu bilgisi verilmiş.
- Benzerlik Oranını Bulma: Maket üçgeninin kenarları: 15 cm, 20 cm, 25 cm.
- Gerçek Bina Kenarlarını Hesaplama: Benzerlik oranı 200 olduğuna göre, gerçek bina üçgeninin diğer kenarları, maket üçgeninin karşılık gelen kenarlarının 200 katı olacaktır.
- Orta kenar: \( 20 \text{ cm} \times 200 = 4000 \text{ cm} \)
- En uzun kenar: \( 25 \text{ cm} \times 200 = 5000 \text{ cm} \)
- Sonuç: Gerçek binanın taban üçgeninin diğer iki kenar uzunluğu 4000 cm ve 5000 cm'dir. Bu da 40 metre ve 50 metreye eşittir. ✅ Bu, kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik ilkesiyle çözülmüştür.
Gerçek bina üçgeninin en kısa kenarı: 3000 cm.
Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. En kısa kenarları oranlayalım:
\( \text{Benzerlik Oranı} = \frac{\text{Gerçek Bina Kenarı}}{\text{Maket Kenarı}} = \frac{3000 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = 200 \)
Örnek 6:
Bir fotoğrafçının, bir manzarayı küçülterek bir kartpostal üzerine basmak istediğini düşünelim. Kartpostalın üzerindeki üçgen şeklindeki bir dağın fotoğrafı, gerçek dağın üçgen şeklindeki bir bölümü ile kenar-kenar benzerliği göstermektedir.
Gerçek dağın tabanının uzunluğu 500 metre ve yüksekliği 300 metredir.
Kartpostal üzerindeki fotoğrafın taban uzunluğu 10 cm olduğuna göre, fotoğrafın yüksekliğini bulunuz. 🏞️
Gerçek dağın tabanının uzunluğu 500 metre ve yüksekliği 300 metredir.
Kartpostal üzerindeki fotoğrafın taban uzunluğu 10 cm olduğuna göre, fotoğrafın yüksekliğini bulunuz. 🏞️
Çözüm:
Bu durumda, gerçek dağ ile kartpostal fotoğrafı arasında kenar-kenar benzerliği vardır.
- Oranları Belirleme: Gerçek dağın kenar uzunlukları: Taban = 500 m, Yükseklik = 300 m.
- Benzerlik Oranını Hesaplama: Kartpostalın tabanı ile gerçek dağın tabanını oranlayarak benzerlik oranını bulalım:
- Fotoğrafın Yüksekliğini Bulma: Bu benzerlik oranı, kartpostal üzerindeki tüm uzunlukların gerçek uzunlukların \( \frac{1}{5000} \) katı olduğunu gösterir.
- Sonuç: Kartpostal üzerindeki fotoğrafın yüksekliği 6 cm olmalıdır. ✅ Bu, kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik ilkesinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır.
Kartpostal fotoğrafının taban uzunluğu = 10 cm.
Öncelikle birimleri eşitleyelim. Gerçek dağın kenarlarını santimetreye çevirelim:
Taban = \( 500 \text{ m} \times 100 \text{ cm/m} = 50000 \text{ cm} \)
Yükseklik = \( 300 \text{ m} \times 100 \text{ cm/m} = 30000 \text{ cm} \)
\( \text{Benzerlik Oranı} = \frac{\text{Kartpostal Tabanı}}{\text{Gerçek Dağ Tabanı}} = \frac{10 \text{ cm}}{50000 \text{ cm}} = \frac{1}{5000} \)
Fotoğrafın yüksekliği = \( \text{Gerçek Dağ Yüksekliği} \times \text{Benzerlik Oranı} \)
Fotoğrafın yüksekliği = \( 30000 \text{ cm} \times \frac{1}{5000} = 6 \text{ cm} \)
Örnek 7:
ABC üçgeninde \( AB = x \) cm, \( BC = y \) cm, \( AC = z \) cm'dir.
DEF üçgeninde \( DE = 3x \) cm, \( EF = 3y \) cm, \( DF = 3z \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında kenar-kenar benzerliği olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını belirtiniz. ✍️
DEF üçgeninde \( DE = 3x \) cm, \( EF = 3y \) cm, \( DF = 3z \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında kenar-kenar benzerliği olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını belirtiniz. ✍️
Çözüm:
İki üçgenin benzerliğini göstermek için, karşılıklı kenarların oranlarının sabit olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
- Kenar Oranlarının Hesaplanması: ABC üçgeninin kenarları \( x, y, z \) olsun.
- \( \frac{AB}{DE} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \)
- \( \frac{BC}{EF} = \frac{y}{3y} = \frac{1}{3} \)
- \( \frac{AC}{DF} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3} \)
- Sonuç: Tüm karşılıklı kenarların oranları \( \frac{1}{3} \) olarak sabit çıktığı için, ABC üçgeni ile DEF üçgeni kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir. 💡 Benzerlik oranı \( \frac{1}{3} \)'tür.
DEF üçgeninin kenarları ise \( 3x, 3y, 3z \) olarak verilmiş.
Karşılıklı kenarları oranlayalım:
Örnek 8:
Birbirine benzeyen iki üçgen, PQR ve STU olsun.
PQR üçgeninin kenar uzunlukları \( PQ = 8 \) birim, \( QR = 12 \) birim ve \( PR = 16 \) birimdir.
STU üçgeninin kenar uzunluklarından \( ST = 6 \) birimdir.
STU üçgeninin diğer iki kenar uzunluğunu bulunuz. 🔍
PQR üçgeninin kenar uzunlukları \( PQ = 8 \) birim, \( QR = 12 \) birim ve \( PR = 16 \) birimdir.
STU üçgeninin kenar uzunluklarından \( ST = 6 \) birimdir.
STU üçgeninin diğer iki kenar uzunluğunu bulunuz. 🔍
Çözüm:
İki üçgenin benzer olması, kenar uzunluklarının orantılı olması anlamına gelir. Öncelikle PQR üçgeninin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
- PQR Üçgeninin Kenar Oranları: Kenarları küçükten büyüğe sıralayalım: 8, 12, 16.
- STU Üçgeninin Kenarlarını Bulma: STU üçgeninin en kısa kenarı \( ST = 6 \) birim olarak verilmiş. Bu, PQR üçgeninin en kısa kenarı olan 8'in \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) katıdır.
- \( QR \) kenarına karşılık gelen STU kenarı: \( 12 \times \frac{3}{4} = 9 \) birim
- \( PR \) kenarına karşılık gelen STU kenarı: \( 16 \times \frac{3}{4} = 12 \) birim
- Sonuç: STU üçgeninin diğer kenar uzunlukları 9 birim ve 12 birimdir. ✅ Bu, kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre çözülmüştür.
Bu sayılar 4 ile çarpıldığında elde edilir: \( 4 \times 2 = 8 \), \( 4 \times 3 = 12 \), \( 4 \times 4 = 16 \). Yani kenarlar 2, 3, 4 oranına sahiptir.
Bu durumda, STU üçgeninin diğer kenarları da PQR üçgeninin diğer kenarlarının \( \frac{3}{4} \) katı olacaktır.
Örnek 9:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki mesafeyi gösteren bir üçgen çizilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir.
Haritanın ölçeği 1:100.000'dir. Yani haritadaki 1 cm, gerçekte 100.000 cm'ye karşılık gelmektedir.
Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafelerin en az ve en çok kaç kilometre olduğunu bulunuz. 🗺️
Haritanın ölçeği 1:100.000'dir. Yani haritadaki 1 cm, gerçekte 100.000 cm'ye karşılık gelmektedir.
Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafelerin en az ve en çok kaç kilometre olduğunu bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu soruda, haritadaki üçgen ile gerçek şehirler arasındaki mesafeyi temsil eden üçgen arasında kenar-kenar benzerliği bulunmaktadır.
- Ölçek ve Birim Dönüşümü: Haritanın ölçeği 1:100.000'dir. Bu, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 100.000 cm'ye eşit olduğu anlamına gelir.
- Gerçek Mesafeleri Hesaplama: Haritadaki üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir. Bu kenarların gerçek mesafelerini bulmak için ölçeği kullanacağız.
- En kısa gerçek mesafe: \( 5 \text{ cm} \times 100.000 = 500.000 \text{ cm} = 5 \text{ km} \)
- Orta gerçek mesafe: \( 7 \text{ cm} \times 100.000 = 700.000 \text{ cm} = 7 \text{ km} \)
- En uzun gerçek mesafe: \( 9 \text{ cm} \times 100.000 = 900.000 \text{ cm} = 9 \text{ km} \)
- Sonuç: Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeler 5 km, 7 km ve 9 km'dir. Bu, kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik ilkesinin harita ölçeklendirmesindeki bir uygulamasıdır. ✅ En az mesafe 5 km, en çok mesafe ise 9 km'dir.
Gerçek mesafeyi kilometre olarak bulmak için, önce cm'yi metreye, sonra metreyi kilometreye çevirelim.
100.000 cm = 1000 metre = 1 kilometre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-kenar-kenar-benzerligi/sorular