🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm ve \(c = 9\) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulunuz. 💡
Çözüm:
Üçgenlerde kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru bir orantı vardır. Yani, en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür ve en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
- Verilen kenar uzunlukları: \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm, \(c = 9\) cm.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \(9 > 7 > 5\).
- Bu sıralamaya göre kenarların isimlerini yazalım: \(c > b > a\).
- Dolayısıyla, kenar uzunlukları arasındaki sıralama c > b > a'dır.
Örnek 2:
Bir üçgende verilmeyen bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır. Bu kurala "Üçgen Eşitsizliği" denir. Bir ABC üçgeninde \(AB = 8\) birim ve \(BC = 12\) birim ise, \(AC\) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. 🤔
Çözüm:
Üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak \(AC\) kenarının alabileceği değerleri bulalım. \(AC\) kenarının uzunluğuna \(x\) diyelim.
- Üçgen eşitsizliğine göre: \(|BC - AB| < AC < BC + AB\)
- Değerleri yerine koyalım: \(|12 - 8| < x < 12 + 8\)
- Basitleştirelim: \(4 < x < 20\)
- Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar 5, 6, 7, ..., 19'dur.
- Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi formülünü kullanabiliriz veya doğrudan toplayabiliriz. Ancak burada bizden toplamı değil, alabileceği değerleri bulmamız isteniyor.
- Eğer bizden alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı istenseydi: \(19 - 5 + 1 = 15\) tane tam sayı değeri alabilir.
- Eğer bizden alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı istenseydi: \(\frac{15}{2} \times (5 + 19) = \frac{15}{2} \times 24 = 15 \times 12 = 180\) olurdu.
- Soruda "alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" sorulduğu için cevap 180'dir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \(AB = 6\) cm, \(BC = 10\) cm ve \(AC = x\) cm'dir. Buna göre \(x\) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 🧐
A) \(x\) sadece 8 olabilir.
B) \(x\) 4 ile 16 arasında herhangi bir tam sayı olabilir.
C) \(x\) 6 ile 10 arasında herhangi bir tam sayı olabilir.
D) \(x\) 4 ile 16 arasında olabilir.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. Bir üçgende bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Verilen kenarlar: \(AB = 6\), \(BC = 10\), \(AC = x\).
- Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
- Farkı hesaplayalım: \(|BC - AB| = |10 - 6| = 4\).
- Toplamı hesaplayalım: \(BC + AB = 10 + 6 = 16\).
- Eşitsizlik şöyle olur: \(4 < x < 16\).
- Bu eşitsizlik, \(x\)'in 4'ten büyük ve 16'dan küçük herhangi bir değer olabileceğini gösterir.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) \(x\) sadece 8 olabilir. (Yanlış, birçok farklı değer alabilir.)
- B) \(x\) 4 ile 16 arasında herhangi bir tam sayı olabilir. (Bu ifade doğru olsa da, seçenek D daha genel ve doğrudur çünkü \(x\) tam sayı olmak zorunda değildir, reel sayı da olabilir.)
- C) \(x\) 6 ile 10 arasında herhangi bir tam sayı olabilir. (Yanlış, 4'ten büyük ve 16'dan küçük olmalıdır.)
- D) \(x\) 4 ile 16 arasında olabilir. (Doğru. Bu ifade, \(x\)'in 4 ile 16 arasındaki tüm reel sayı değerlerini kapsar.)
- Dolayısıyla en doğru cevap D seçeneğidir.
Örnek 4:
Bir teknisyen, bir binanın dış cephesine monte edilecek bir reklam panosunun üçgen şeklindeki destek ayaklarını tasarlamaktadır. Destek ayaklarının uzunlukları \(x\), \(x+2\) ve \(x+5\) birimdir. Bu destek ayaklarının bir üçgen oluşturabilmesi için \(x\)'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(a, b, c\) ise, üçgen eşitsizliği gereği şu şartlar sağlanmalıdır: \(|a-b| < c < a+b\), \(|a-c| < b < a+c\), \(|b-c| < a < b+c\). Bu üç şarttan en kısıtlayıcı olanı, en uzun kenarın diğer iki kenarın toplamından küçük olmasıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: \(x\), \(x+2\), \(x+5\).
- Burada en uzun kenar \(x+5\)'tir.
- Üçgen eşitsizliğinin en önemli kısmını uygulayalım: En uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
- Yani: \(x+5 < x + (x+2)\)
- Bu eşitsizliği çözelim:
- \(x+5 < 2x + 2\)
- \(5 - 2 < 2x - x\)
- \(3 < x\)
- Bu eşitsizlik bize \(x\)'in 3'ten büyük olması gerektiğini söyler.
- Ayrıca, tüm kenar uzunlukları pozitif olmalıdır.
- \(x > 0\)
- \(x+2 > 0 \implies x > -2\)
- \(x+5 > 0 \implies x > -5\)
- Bu şartların hepsi bir arada düşünüldüğünde, \(x > 3\) olması yeterlidir.
- Soruda \(x\)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri sorulmaktadır.
- \(x > 3\) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı 4'tür.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \(AB = 7\) cm ve \(AC = 12\) cm'dir. Buna göre \(BC\) kenarının uzunluğu \(x\) için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? 📏
Çözüm:
Bu soruda da üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. Bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
- Verilen kenarlar: \(AB = 7\) cm, \(AC = 12\) cm.
- Bulmamız gereken kenar: \(BC = x\) cm.
- Üçgen eşitsizliğini \(x\) kenarı için uygulayalım:
- Kenarların farkını hesaplayalım: \(|AC - AB| = |12 - 7| = 5\) cm.
- Kenarların toplamını hesaplayalım: \(AC + AB = 12 + 7 = 19\) cm.
- Bu durumda \(x\) için eşitsizlik şöyle olur: \(5 < x < 19\).
- Yani, \(BC\) kenarının uzunluğu 5 cm'den büyük ve 19 cm'den küçüktür.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \(AB = 5\) cm, \(BC = 8\) cm ve \(AC = 10\) cm'dir. Bu üçgenin kenarları arasındaki açıların ölçülerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 📈
Çözüm:
Üçgenlerde kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru bir orantı vardır. Yani, en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür ve en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
- Verilen kenar uzunlukları: \(AB = 5\) cm, \(BC = 8\) cm, \(AC = 10\) cm.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \(10 > 8 > 5\).
- Kenarların isimlerini yazalım: \(AC > BC > AB\).
- Şimdi bu kenarların karşısındaki açıları belirleyelim:
- \(AC\) kenarının karşısındaki açı \(B\) açısıdır.
- \(BC\) kenarının karşısındaki açı \(A\) açısıdır.
- \(AB\) kenarının karşısındaki açı \(C\) açısıdır.
- Kenar uzunlukları sıralamasına göre açıların ölçülerini sıralayalım:
- \(AC\) en uzun kenar olduğu için karşısındaki \(B\) açısı en büyüktür.
- \(BC\) orta uzunlukta olduğu için karşısındaki \(A\) açısı ortancadır.
- \(AB\) en kısa kenar olduğu için karşısındaki \(C\) açısı en küçüktür.
- Dolayısıyla, açıların ölçüleri arasındaki sıralama \(B > A > C\) şeklindedir.
Örnek 7:
Bir marangoz, bahçesine koymak için üçgen şeklinde bir saksı altlığı tasarlıyor. Saksı altlığının kenar uzunluklarını 15 cm, 20 cm ve \(x\) cm olarak belirliyor. Marangozun bu altlığı sağlam bir şekilde yapabilmesi için \(x\) kenarının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu problemde de üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: 15 cm, 20 cm, \(x\) cm.
- Üçgen eşitsizliğine göre, \(x\) kenarı için şu şart geçerlidir:
- Diğer iki kenarın toplamı: \(15 + 20 = 35\) cm.
- Bu durumda \(x\) kenarı için eşitsizlik şöyle olur: \(x < 35\).
- Ayrıca, \(x\) kenarı diğer iki kenarın farkından da büyük olmalıdır: \(|20 - 15| < x \implies 5 < x\).
- Yani, \(x\) değeri 5 ile 35 arasındadır: \(5 < x < 35\).
- Soruda bizden \(x\) kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri istenmektedir.
- \(x < 35\) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı 34'tür.
Örnek 8:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri bulunmaktadır. A ve B şehirleri arasındaki mesafe 120 km, B ve C şehirleri arasındaki mesafe 150 km'dir. Buna göre, A ve C şehirleri arasındaki mesafe (AC) için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle yanlıştır? 🗺️
Çözüm:
Bu problem, şehirler arasındaki mesafeleri üçgenin kenar uzunlukları olarak kabul ederek üçgen eşitsizliği ile çözülür.
- A, B ve C şehirleri bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir.
- Kenar uzunlukları: \(AB = 120\) km, \(BC = 150\) km, \(AC = x\) km (bulmamız gereken mesafe).
- Üçgen eşitsizliğini \(AC = x\) için uygulayalım:
- Farkını hesaplayalım: \(|BC - AB| = |150 - 120| = 30\) km.
- Toplamını hesaplayalım: \(BC + AB = 150 + 120 = 270\) km.
- Bu durumda \(x\) için eşitsizlik şöyle olur: \(30 < x < 270\).
- Yani, A ve C şehirleri arasındaki mesafe 30 km'den büyük ve 270 km'den küçüktür.
- Şimdi seçenekleri inceleyerek bu eşitsizliği sağlamayan değeri bulalım. (Seçenekler soruda verilmediği için genel bir çıkarım yapalım.)
- Eğer bir seçenek 30 km veya daha az ise, kesinlikle yanlıştır.
- Eğer bir seçenek 270 km veya daha fazla ise, kesinlikle yanlıştır.
- Örneğin, eğer seçenekler şöyle olsaydı:
- a) 100 km (Doğru, çünkü \(30 < 100 < 270\))
- b) 250 km (Doğru, çünkü \(30 < 250 < 270\))
- c) 20 km (Yanlış, çünkü \(20 < 30\))
- d) 300 km (Yanlış, çünkü \(300 > 270\))
- Bu durumda hem c hem de d seçenekleri yanlış olurdu. Ancak soruda "kesinlikle yanlıştır" denildiği için, eşitsizliğin dışındaki herhangi bir değer kesinlikle yanlıştır.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \(a, b, c\) kenar uzunlukları sırasıyla \(BC, AC, AB\) kenarlarını temsil etmektedir. Eğer \(a = 10\) cm, \(b = 15\) cm ve \(c = 20\) cm ise, bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasındaki sıralamayı bulunuz. 🔠
Çözüm:
Üçgenlerde kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru bir orantı vardır. En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür, en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
- Verilen kenar uzunlukları: \(a = 10\) cm, \(b = 15\) cm, \(c = 20\) cm.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \(c > b > a\).
- Bu kenarların karşısındaki açıları belirleyelim:
- \(a\) kenarının karşısındaki açı \(A\) açısıdır.
- \(b\) kenarının karşısındaki açı \(B\) açısıdır.
- \(c\) kenarının karşısındaki açı \(C\) açısıdır.
- Kenar uzunlukları sıralamasına göre açıların ölçülerini sıralayalım:
- \(c\) en uzun kenar olduğu için karşısındaki \(C\) açısı en büyüktür.
- \(b\) orta uzunlukta olduğu için karşısındaki \(B\) açısı ortancadır.
- \(a\) en kısa kenar olduğu için karşısındaki \(A\) açısı en küçüktür.
- Dolayısıyla, açıların ölçüleri arasındaki sıralama \(C > B > A\) şeklindedir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-kenar-bagintilari/sorular