💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler

• 👉 Eş üçgenlerde, karşılıklı açılar ve karşılıklı kenarlar birbirine eşittir.
• ✅ \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) eşliği verildiğine göre:
• 1. Açılar Eşittir:
  • \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \implies m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \implies m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
  • Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
  • Dolayısıyla, \( m(\widehat{F}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ \).
• 2. Kenarlar Eşittir:
  • \( |BC| = |EF| \implies |EF| = 8 \) cm.

Sonuç olarak, \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) ve \( |EF| = 8 \) cm'dir.

• 📌 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerliği verildiğine göre, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.
• Öncelikle büyük üçgenin (ABC) kenar uzunluklarını bulalım:
  • \( |AB| = |AD| + |DB| = 6 + 4 = 10 \) cm
  • \( |AC| = |AE| + |EC| = 3 + 5 = 8 \) cm
• Benzerlik oranını bulmak için bilinen karşılıklı kenarları kullanabiliriz:
  • \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)
  • İlk iki oranı kullanarak benzerlik oranını hesaplayalım:
  • \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
  • \( \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \) (Bu oranlar eşit olduğuna göre benzerlik doğrudur.)
• Şimdi \( |DE| \) uzunluğunu bulmak için bu oranı kullanalım.
  Ancak \( |BC| \) uzunluğu verilmediği için doğrudan bu oranla \( |DE| \) bulunamaz.
  Soruda " \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) üçgenleri benzer ise" denildiğine göre, kenar oranlarını doğru eşleştirmeliyiz.
• Eşleştirme genellikle açılara göre yapılır. Eğer \( \angle A \) ortak açı ise:
  • \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \) olmalıdır.
  • Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{6}{10} = \frac{3}{8} \)
  • Ancak \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) iken \( \frac{3}{8} \) eşit değildir. Bu durumda verilen kenar uzunluklarına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerliği bu şekilde kurulamaz.
  • Demek ki benzerlik açılar farklı şekilde eşleşerek oluşmuştur.
    Eğer benzerlik \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) şeklinde doğruysa, kenar oranları şu şekilde olmalıdır:
  • \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AE|}{|AC|} \)
  • Bu durumda \( \frac{6}{10} \) oranı \( \frac{3}{8} \) oranına eşit olmalıdır ki bu yanlıştır.
• Hata Tespiti ve Düzeltme: Soruda verilen kenar uzunlukları ve benzerlik ifadesi çelişmektedir.
  Genellikle bu tip sorularda benzerlik \( \angle A \) ortak açı olacak şekilde kurulur ve kenar oranları \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \) eşitliğini sağlamalıdır.
  Eğer bu eşitlik sağlanmıyorsa, ya benzerlik ifadesi yanlıştır ya da kenar uzunlukları yanlış verilmiştir.
• Varsayım: Soruda kastedilen benzerlik, genellikle "Temel Benzerlik Teoremi" veya "Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerliği" ile kurulan benzerliktir.
  Eğer \( DE \parallel BC \) olsaydı, o zaman \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \) eşitliği sağlanırdı.
  Ancak verilen sayılarla bu eşitlik sağlanmıyor: \( \frac{6}{10} \neq \frac{3}{8} \).
• Soruyu Çözülebilir Hale Getirmek İçin:
  Eğer benzerlik \( \triangle ADE \sim \triangle CBA \) şeklinde olsaydı, o zaman:
  • \( \frac{|AD|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|BA|} = \frac{|AE|}{|CA|} \) olurdu.
  • \( \frac{6}{|CB|} = \frac{|DE|}{10} = \frac{3}{8} \)
  • Buradan \( \frac{|DE|}{10} = \frac{3}{8} \implies 8 \cdot |DE| = 3 \cdot 10 \implies 8 \cdot |DE| = 30 \implies |DE| = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75 \) cm bulunur.
• Önemli Not: Geometri sorularında verilen bilgiler arasında çelişki olmamalıdır.
  Bu soruda verilen kenar uzunlukları ile \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerliği, eğer \( \angle A \) ortak açı kabul edilirse, tutarsızdır.
  Ancak 9. sınıf seviyesinde, benzerlik soruları genellikle bu tutarlılığı sağlayacak şekilde verilir.
  Eğer benzerlik \( \triangle ADE \sim \triangle CBA \) ise, \( |DE| = 3.75 \) cm'dir.
• Biz soruyu verilen benzerlik ifadesini koruyarak, ancak kenar eşleştirmesini doğru yaparak çözmeye çalışalım.
  Eğer benzerlik \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) ise, bu durumda açılar eşleşiyor demektir:
  \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{A}) \) (ortak açı), \( m(\widehat{D}) = m(\widehat{B}) \) ve \( m(\widehat{E}) = m(\widehat{C}) \).
  Bu durumda kenar oranları: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \] \[ \frac{6}{10} = \frac{3}{8} \] Bu oranlar eşit değildir, yani bu üçgenler bu şekilde benzer olamaz.
  Sorunun metninde bir hata olduğu anlaşılmaktadır.
• Varsayımsal Çözüm (Soruyu Düzeltilmiş Kabul Ederek):
  Eğer soru \( |AD|=6, |DB|=4, |AE|=3 \) ve \( |EC|=2 \) olsaydı, o zaman \( |AC|=5 \) olurdu.
  Bu durumda benzerlik oranı \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) ve \( \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{3}{5} \) olurdu.
  Bu durumda \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerliği doğru olurdu.
  Ve \( |DE| \) uzunluğunu bulmak için \( \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{3}{5} \) oranını kullanırdık. Ama \( |BC| \) hala bilinmiyor.
• Tekrar Düşünce: Belki de soruda \( |DE| \) istenmiyor, sadece benzerlik olup olmadığı soruluyor ya da verilen uzunluklar ile \( |DE| \) isteniyorsa, benzerlik kuralına göre kenarların konumları farklıdır.
  Eğer benzerlik \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) şeklinde verilmişse ve \( |AD|=6, |AB|=10, |AE|=3, |AC|=8 \) ise, bu durumda benzerlik oranı \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) ve \( \frac{3}{8} \) olamaz.
  Bu soruyu 9. sınıf müfredatına uygun ve tutarlı hale getirelim.
• Düzeltilmiş Soru Varsayımı: Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir.
  \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm, \( |AE| = 3 \) cm ve \( DE \parallel BC \) dir.
  Buna göre \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
  (Bu Temel Benzerlik Teoremi'ne uygun bir sorudur.)
• Çözüm (Düzeltilmiş Soruya Göre):
  • 👉 \( DE \parallel BC \) olduğundan, Temel Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
  • Bu durumda kenar oranları eşittir: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \)
  • \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) cm.
  • \( |AC| = |AE| + |EC| = 3 + |EC| \).
  • Oranları yerine yazalım: \( \frac{4}{10} = \frac{3}{3 + |EC|} \)
  • Basitleştirelim: \( \frac{2}{5} = \frac{3}{3 + |EC|} \)
  • İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot (3 + |EC|) = 5 \cdot 3 \)
  • \( 6 + 2 \cdot |EC| = 15 \)
  • \( 2 \cdot |EC| = 15 - 6 \)
  • \( 2 \cdot |EC| = 9 \)
  • \( |EC| = \frac{9}{2} = 4.5 \) cm.

Not: İlk haliyle verilen soru, benzerlik oranları açısından tutarsızdı. Bu düzeltilmiş hali, 9. sınıf müfredatına ve benzerlik kurallarına uygundur.

• 1. Açıları Karşılaştıralım:
  • \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \)
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 80^\circ \)
  • Üçgenlerin üçüncü açılarını bulalım:
    • \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
    • \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
  • Görüldüğü gibi, üçgenlerin karşılıklı tüm açıları birbirine eşittir. Bu durumda \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerliği vardır (AAA Benzerliği).
• 2. Kenar Oranlarını Bulalım (Benzerlik Oranı):
  • Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranını verir.
  • Karşılıklı kenarlar, eşit açıların karşısındaki kenarlardır.
  • \( m(\widehat{C}) \) ve \( m(\widehat{F}) \) ( \( 40^\circ \) ) karşısındaki kenarlar: \( |AB| \) ve \( |DE| \)
  • \( m(\widehat{A}) \) ve \( m(\widehat{D}) \) ( \( 60^\circ \) ) karşısındaki kenarlar: \( |BC| \) ve \( |EF| \)
  • \( m(\widehat{B}) \) ve \( m(\widehat{E}) \) ( \( 80^\circ \) ) karşısındaki kenarlar: \( |AC| \) ve \( |DF| \)
  • Benzerlik oranı \( k \) olsun: \[ k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] \[ k = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]
  • Her iki kenar çifti için benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) olarak bulunmuştur.

Sonuç olarak, bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir.

• 1. Üçgenleri Tanımlayalım:
  • Büyük üçgen: \( \triangle ABC \)
  • Küçük üçgen: \( \triangle DEC \) (veya \( \triangle EDC \))
• 2. Ortak Açıyı Belirleyelim:
  • Soruda \( m(\widehat{C}) \) açısının her iki üçgen için de ortak olduğu belirtilmiştir. Bu, KAK benzerliği için bir açının eşit olduğunu gösterir.
• 3. Kenar Oranlarını Kontrol Edelim:
  • Ortak açı C'nin kolları üzerindeki kenarları oranlamalıyız.
  • Büyük üçgenin C açısının kolları: \( |AC| \) ve \( |BC| \)
  • Küçük üçgenin C açısının kolları: \( |DC| \) ve \( |EC| \)
  • Kenar uzunluklarını hesaplayalım:
    • \( |AC| = |AD| + |DC| = 3 + 5 = 8 \) cm
    • \( |BC| = |BE| + |EC| = 4 + 6 = 10 \) cm
  • Şimdi bu kenarların oranlarını kontrol edelim.
    Küçük üçgenin kenarlarını büyük üçgenin kenarlarına oranlayalım: \[ \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{5}{8} \] \[ \frac{|EC|}{|BC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
  • Gördüğümüz gibi, \( \frac{5}{8} \neq \frac{3}{5} \). Bu durumda \( \triangle DEC \) ile \( \triangle ABC \) üçgenleri bu sıraya göre benzer değildir.
  • Ancak, belki de benzerlik eşleşmesi farklıdır.
    Eğer benzerlik \( \triangle ABC \sim \triangle EDC \) şeklinde ise, o zaman:
    • Ortak açı \( \widehat{C} \)
    • Kenar oranları: \( \frac{|AC|}{|EC|} = \frac{|BC|}{|DC|} \) olmalıdır.
    • \( \frac{|AC|}{|EC|} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
    • \( \frac{|BC|}{|DC|} = \frac{10}{5} = 2 \)
  • Yine oranlar eşit değildir (\( \frac{4}{3} \neq 2 \)).
• Sorunun Düzeltilmesi Gerekliliği: Verilen kenar uzunlukları ile bu iki üçgen arasında (KAK benzerliği veya başka bir benzerlik kuralına göre) bir benzerlik ilişkisi kurulamamaktadır.
  Bu tür sorularda genellikle bir benzerlik ilişkisinin var olduğu varsayılır ve kenar uzunlukları bu ilişkiyi sağlayacak şekilde verilir.
• Varsayımsal Çözüm (Soruyu Düzeltilmiş Kabul Ederek):
  Eğer \( |AD|=3, |DC|=5 \) ve \( |BE|=2, |EC|=8 \) olsaydı.
  O zaman \( |AC|=8 \) ve \( |BC|=10 \).
  Küçük üçgen \( \triangle EDC \), büyük üçgen \( \triangle ABC \).
  Ortak açı \( \widehat{C} \).
  Kenar oranları:
  • \( \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
  • \( \frac{|EC|}{|AC|} = \frac{8}{8} = 1 \)
• Yine tutarsızlık var.
• Tekrar Düzeltme Varsayımı: Bir ABC üçgeninde, D noktası AC kenarı üzerinde ve E noktası BC kenarı üzerindedir.
  \( |AD| = 3 \) cm, \( |DC| = 6 \) cm, \( |BE| = 5 \) cm, \( |EC| = 10 \) cm'dir.
  Eğer \( m(\widehat{C}) \) açısı her iki üçgen için de ortak ise,
  \( |AB| \) uzunluğunu \( |DE| \) uzunluğuna oranını bulunuz.
• Çözüm (Düzeltilmiş Soruya Göre):
  • Kenar uzunlukları:
    • \( |AC| = |AD| + |DC| = 3 + 6 = 9 \) cm
    • \( |BC| = |BE| + |EC| = 5 + 10 = 15 \) cm
  • Ortak açı \( \widehat{C} \).
  • Kenar oranlarını kontrol edelim:
    • \( \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
    • \( \frac{|EC|}{|AC|} = \frac{10}{9} \)
  • Yine tutarsızlık var. Bu durum, sorunun orijinal metninde verilen sayılarla KAK benzerliğinin bu şekilde kurulamadığını gösteriyor.
  • En Olası Senaryo (ve 9. Sınıf Müfredatına En Uygun Yaklaşım):
    Soruda "Eğer \( m(\widehat{C}) \) açısı her iki üçgen için de ortak ise" denildiğinde kastedilen, \( \triangle DEC \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerinin \( \widehat{C} \) açısı etrafında benzer olmasıdır.
    Bu durumda benzerlik \( \triangle DEC \sim \triangle ABC \) veya \( \triangle CDE \sim \triangle CAB \) şeklinde olur.
    Kenar oranları \( \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|EC|}{|BC|} \) olmalıdır.
  • Orijinal Verilerle Çözüm Denemesi (Farz Edelim Benzerlik Var):
    • \( |AC| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm.
    • Küçük üçgen \( \triangle DEC \), kenarları \( |DC|=5 \), \( |EC|=6 \).
    • Eğer \( \triangle DEC \sim \triangle ABC \) ise, benzerlik oranı \( k \) şu şekilde olmalıdır: \[ k = \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{5}{8} \] \[ k = \frac{|EC|}{|BC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
    • Görüldüğü gibi \( \frac{5}{8} \neq \frac{3}{5} \). Yani bu üçgenler benzer değildir.
  • Bu sorunun 9. sınıf müfredatına uygun ve çözülebilir olması için, ya benzerlik oranı verilmeli ya da kenarlar benzerliği sağlayacak şekilde ayarlanmalıdır.
  • Soruyu Çözülebilir Hale Getirmek İçin Düzeltme:
    Bir ABC üçgeninde, D noktası AC kenarı üzerinde ve E noktası BC kenarı üzerindedir.
    \( |CD| = 3 \) cm, \( |CA| = 6 \) cm, \( |CE| = 4 \) cm, \( |CB| = 8 \) cm'dir.
    Buna göre \( \frac{|AB|}{|DE|} \) oranını bulunuz.
  • Çözüm (Yukarıdaki Düzeltilmiş Soruya Göre):
    • Ortak açı \( \widehat{C} \).
    • Kenar oranlarını kontrol edelim:
      • \( \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
      • \( \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
    • Oranlar eşit ve aradaki açı (C açısı) ortak olduğu için Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği kuralına göre \( \triangle CDE \sim \triangle CAB \) benzerliği vardır.
    • Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)'dir.
    • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı benzerlik oranına eşittir. \[ \frac{|DE|}{|AB|} = k = \frac{1}{2} \]
    • Bize \( \frac{|AB|}{|DE|} \) oranı sorulduğu için bu oranın tersini almalıyız: \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{1}{k} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

  Sonuç olarak, düzeltilmiş soruya göre \( \frac{|AB|}{|DE|} \) oranı \( 2 \)'dir.

• 1. Durumu Geometrik Olarak Modelleme:
  • Mühendisin yerden göz hizasına kadar olan yüksekliği ile aynaya olan uzaklığı bir dik üçgen oluşturur.
  • Binanın yüksekliği ile aynaya olan uzaklığı da başka bir dik üçgen oluşturur.
  • Aynadan yansıyan ışığın geliş açısı ile yansıma açısının eşit olması, bu iki dik üçgenin açılarının eşit olduğu anlamına gelir (Açı-Açı-Açı benzerliği).
  • Çünkü, aynaya düşen ışın ile yer arasındaki açı (gelen açı) ve aynadan yansıyan ışın ile yer arasındaki açı (yansıyan açı) eşittir. Dik açılar da vardır. Dolayısıyla üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.
• 2. Verilen Değerleri Belirleyelim:
  • Mühendisin göz yüksekliği (küçük üçgenin dikey kenarı) \( h_m = 1.6 \) m.
  • Mühendisin aynaya uzaklığı (küçük üçgenin yatay kenarı) \( d_m = 5 \) m.
  • Binanın aynaya uzaklığı (büyük üçgenin yatay kenarı) \( d_b = 40 \) m.
  • Binanın yüksekliği (büyük üçgenin dikey kenarı) \( h_b = ? \)
• 3. Benzerlik Oranını Kullanarak Çözüm:
  • İki dik üçgen benzer olduğu için, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.
  • Yatay kenarların oranı dikey kenarların oranına eşit olmalıdır: \[ \frac{\text{Mühendisin Aynaya Uzaklığı}}{\text{Binanın Aynaya Uzaklığı}} = \frac{\text{Mühendisin Göz Yüksekliği}}{\text{Binanın Yüksekliği}} \] \[ \frac{d_m}{d_b} = \frac{h_m}{h_b} \]
  • Değerleri yerine koyalım: \[ \frac{5}{40} = \frac{1.6}{h_b} \]
  • Oranı basitleştirelim: \[ \frac{1}{8} = \frac{1.6}{h_b} \]
  • İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot h_b = 8 \cdot 1.6 \] \[ h_b = 12.8 \]

Sonuç olarak, binanın yüksekliği \( 12.8 \) metredir. 🏗️

• 1. Ölçek Kavramını Anlayalım:
  • Ölçek, haritadaki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranıdır.
  • \( \text{Ölçek} = \frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \)
  • Verilen ölçek \( 1:500.000 \) demek, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 500.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
• 2. Verilen Değerleri Belirleyelim:
  • Harita uzunluğu \( = 6 \) cm.
  • Ölçek \( = \frac{1}{500.000} \).
  • Gerçek uzaklık \( = ? \)
• 3. Gerçek Uzaklığı Hesaplayalım:
  • Formülü kullanarak gerçek uzaklığı bulalım: \[ \frac{1}{500.000} = \frac{6 \text{ cm}}{\text{Gerçek Uzaklık}} \]
  • İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot \text{Gerçek Uzaklık} = 6 \cdot 500.000 \] \[ \text{Gerçek Uzaklık} = 3.000.000 \text{ cm} \]
• 4. Birim Dönüşümü Yapalım:
  • Gerçek uzaklık genellikle kilometre cinsinden ifade edilir.
  • Birim dönüşümlerini hatırlayalım:
    • \( 1 \) m \( = 100 \) cm
    • \( 1 \) km \( = 1000 \) m
    • Yani, \( 1 \) km \( = 1000 \cdot 100 = 100.000 \) cm.
  • Gerçek uzaklığı santimetreden kilometreye çevirelim: \[ \text{Gerçek Uzaklık (km)} = \frac{3.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \] \[ \text{Gerçek Uzaklık (km)} = 30 \text{ km} \]

Sonuç olarak, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık \( 30 \) kilometredir. 🛤️

• 1. Teoremi Uygulayalım:
  • \( DE \parallel BC \) olduğunda, Temel Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ADE \) üçgeni ile \( \triangle ABC \) üçgeni benzerdir.
    Yani \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
• 2. Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:
  • \( |AD| = 4 \) cm
  • \( |DB| = 6 \) cm
  • \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) cm (Bu, büyük üçgenin bir kenarıdır.)
  • \( |DE| = 5 \) cm
  • \( |BC| = ? \)
• 3. Benzerlik Oranını Hesaplayalım:
  • Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranı benzerlik oranına eşittir. \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
  • Verilen değerleri yerine koyalım: \[ \frac{4}{10} = \frac{5}{|BC|} \]
  • Oranı basitleştirelim: \[ \frac{2}{5} = \frac{5}{|BC|} \]
  • İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \cdot |BC| = 5 \cdot 5 \] \[ 2 \cdot |BC| = 25 \] \[ |BC| = \frac{25}{2} \] \[ |BC| = 12.5 \]

Sonuç olarak, \( |BC| \) uzunluğu \( 12.5 \) cm'dir.

• 👉 Eş üçgenlerde, karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir.
• ✅ \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) eşliği verildiğine göre, karşılıklı kenarlar aynı sırada eşleşir:
• 1. Birinci ve İkinci Köşeler: \( |AB| \) kenarı \( |KL| \) kenarına eşittir.
  • \( |AB| = |KL| \implies |KL| = 7 \) cm.
• 2. İkinci ve Üçüncü Köşeler: \( |BC| \) kenarı \( |LM| \) kenarına eşittir.
  • \( |BC| = |LM| \implies |LM| = 9 \) cm.
• 3. Birinci ve Üçüncü Köşeler: \( |AC| \) kenarı \( |KM| \) kenarına eşittir.
  • \( |AC| = |KM| \implies |KM| = 12 \) cm.

Sonuç olarak, \( |KL| = 7 \) cm, \( |LM| = 9 \) cm ve \( |KM| = 12 \) cm'dir.

• 1. İlk Benzerlik İlişkisini Bulalım:
  • \( DE \parallel AC \) olduğu verilmiştir. Bu durumda \( \triangle BDE \) üçgeni ile \( \triangle BAC \) üçgeni benzerdir.
    Yani \( \triangle BDE \sim \triangle BAC \).
  • Bu benzerlikten kenar oranlarını yazabiliriz: \[ \frac{|BD|}{|BA|} = \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|AC|} \]
  • Verilenleri yerine koyalım:
    • \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm olduğundan \( |BA| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) cm.
    • \( |BC| = 15 \) cm.
  • İlk oranı kullanarak \( |BE| \) ile ilgili bir denklem oluşturalım: \[ \frac{6}{10} = \frac{|BE|}{15} \]
  • Oranı basitleştirelim: \[ \frac{3}{5} = \frac{|BE|}{15} \]
  • İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 5 \cdot |BE| = 3 \cdot 15 \] \[ 5 \cdot |BE| = 45 \] \[ |BE| = \frac{45}{5} \] \[ |BE| = 9 \]
• 2. İkinci Benzerlik İlişkisini Kontrol Edelim (Gerekli Olmayabilir):
  • Soruda \( EF \parallel AB \) bilgisi de verilmiş. Bu bilgi, çözüm için ikinci bir benzerlik ilişkisi kurmamızı sağlar.
    Ancak \( |BE| \) uzunluğunu bulmak için ilk benzerlik ilişkisi yeterli oldu.
    Bu ek bilgi, sorunun sağlamasını yapmak veya başka bir kenarı bulmak için kullanılabilir.
  • Örneğin, \( EF \parallel AB \) olduğundan \( \triangle CFE \sim \triangle CAB \) benzerliği de vardır. \[ \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{|CF|}{|CA|} = \frac{|EF|}{|AB|} \] Burada \( |CE| = |BC| - |BE| = 15 - 9 = 6 \) cm. \[ \frac{6}{15} = \frac{|CF|}{|CA|} = \frac{|EF|}{|AB|} \] \[ \frac{2}{5} = \frac{|CF|}{|CA|} = \frac{|EF|}{|10|} \] Buradan \( |EF| = 4 \) cm bulunur.
  • Bu, sorunun tutarlı olduğunu gösterir, ancak \( |BE| \) için ilk adım yeterlidir.

Sonuç olarak, \( |BE| \) uzunluğu \( 9 \) cm'dir.