🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenler Açı Kenar İlişkisi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenler Açı Kenar İlişkisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) ise, en uzun kenar hangisidir? 📐
Çözüm:
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- Verilen açılar \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \).
- Üçüncü açı \( \hat{C} \) şu şekilde bulunur: \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındadır.
- Açılarımız: \( \hat{A} = 50^\circ \), \( \hat{B} = 70^\circ \), \( \hat{C} = 60^\circ \).
- En büyük açı \( \hat{B} = 70^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar (AC kenarı) en uzundur.
Örnek 2:
Bir DEF üçgeninde kenar uzunlukları \( d = 5 \) cm, \( e = 7 \) cm ve \( f = 9 \) cm'dir. Bu üçgenin en küçük açısı hangi köşeye aittir? 🤔
Çözüm:
- Üçgenlerde en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
- Verilen kenar uzunlukları: \( d = 5 \) cm, \( e = 7 \) cm, \( f = 9 \) cm.
- Bu kenar uzunluklarından en kısası \( d = 5 \) cm'dir.
- \( d \) kenarı, E köşesinin karşısındaki kenardır.
Örnek 3:
Bir KLM üçgeninde \( KL = 8 \) cm, \( LM = 10 \) cm ve \( MK = 6 \) cm'dir. Bu üçgenin açılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 📝
Çözüm:
- Üçgenin kenar uzunlukları \( KL = 8 \) cm, \( LM = 10 \) cm, \( MK = 6 \) cm.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \( LM > KL > MK \).
- En uzun kenar \( LM \) (10 cm) olduğundan, bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{K} \) en büyüktür.
- Ortanca kenar \( KL \) (8 cm) olduğundan, bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{M} \) ortanca büyüklüktedir.
- En kısa kenar \( MK \) (6 cm) olduğundan, bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{L} \) en küçüktür.
Örnek 4:
Bir PQR üçgeninde \( \hat{P} = 45^\circ \) ve \( \hat{Q} = 60^\circ \) ise, kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📏
Çözüm:
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- Verilen açılar \( \hat{P} = 45^\circ \) ve \( \hat{Q} = 60^\circ \).
- Üçüncü açı \( \hat{R} \) şu şekilde bulunur: \( \hat{R} = 180^\circ - (\hat{P} + \hat{Q}) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
- Açılarımız: \( \hat{P} = 45^\circ \), \( \hat{Q} = 60^\circ \), \( \hat{R} = 75^\circ \).
- En küçük açı \( \hat{P} = 45^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar (QR kenarı) en kısadır.
- Ortanca açı \( \hat{Q} = 60^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar (PR kenarı) ortanca uzunluktadır.
- En büyük açı \( \hat{R} = 75^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar (PQ kenarı) en uzundur.
Örnek 5:
Bir bisiklet tamircisi, iki farklı bisikletin gidonları arasındaki açıyı ölçmek istiyor. Birinci bisikletin gidonları arasındaki açı \( 110^\circ \), ikinci bisikletin gidonları arasındaki açı ise \( 130^\circ \) olarak ölçülüyor. Hangi bisikletin gidonları arasındaki açı, gidonların birleştiği noktadan gidonların uçlarına kadar olan mesafeleri daha uzun yapmaya daha yatkındır? 🚴
Çözüm:
- Açı kenar ilişkisine göre, bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
- Burada bisiklet gidonlarını bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı olarak düşünebiliriz. Gidonların birleştiği nokta bir köşe, gidonların kendisi ise bu köşeden çıkan iki kenardır.
- İkinci bisikletin gidonları arasındaki açı \( 130^\circ \) olup, birinci bisikletin gidonları arasındaki açı \( 110^\circ \)'den daha büyüktür.
- Daha büyük bir açı, bu açının karşısında yer alan mesafenin daha uzun olmasına neden olur. Bu durumda, gidonların uçları arasındaki mesafe daha uzun olacaktır.
Örnek 6:
Bir restoranda masanın üzerindeki bir örtünün köşeleri sarkıyor. Örtünün bir kenarı \( 120 \) cm, diğer kenarı \( 150 \) cm ve bu iki kenarın oluşturduğu açı \( 90^\circ \) ise, örtünün bu iki kenarının birleştiği noktadan en uzak sarkan köşe, hangi kenarın karşısındadır? 🍽️
Çözüm:
- Bu durumu bir üçgen olarak modelleyebiliriz. Masanın örtüsünün birleştiği köşe bir açıyı, örtünün kenarları ise bu açıyı oluşturan iki kenarı temsil eder.
- Verilen kenarlar \( 120 \) cm ve \( 150 \) cm'dir ve aralarındaki açı \( 90^\circ \)'dir.
- Açı kenar ilişkisine göre, en büyük açı karşısında en uzun kenar bulunur.
- Burada \( 90^\circ \) açısı, diğer iki açıdan daha büyüktür (çünkü diğer iki açı dar açılar olacaktır, toplamları \( 90^\circ \) olacağından).
- Bu \( 90^\circ \) açısının karşısındaki kenar, örtünün bu iki kenarının birleştiği noktadan en uzak olan köşeyi oluşturacaktır.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 7 \) cm, \( BC = 9 \) cm ve \( AC = x \) cm'dir. Bu üçgenin \( \hat{B} \) açısı, \( \hat{A} \) açısından daha büyük olduğuna göre, \( x \) için olası tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. ➕
Çözüm:
- Üçgen eşitsizliğine göre, herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
- \( |AB - BC| < AC < AB + BC \)
- \( |7 - 9| < x < 7 + 9 \)
- \( 2 < x < 16 \)
- Ayrıca, \( \hat{B} > \hat{A} \) olduğu bilgisi verilmiş. Bu, \( \hat{B} \) açısının karşısındaki kenarın (\( AC = x \)) \( \hat{A} \) açısının karşısındaki kenardan (\( BC = 9 \)) daha uzun olması gerektiği anlamına gelir.
- Yani, \( x > 9 \).
- Bu iki koşulu birleştirirsek: \( 9 < x < 16 \).
- \( x \) tam sayı olacağından, olası değerler \( 10, 11, 12, 13, 14, 15 \)'dir.
- Bu değerlerin toplamı: \( 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 75 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenler-aci-kenar-iliskisi/sorular