💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenin yardımcı elemanları Çözümlü Örnekler

Üçgende iç açıortay teoremine göre, açıortayın ayırdığı parçaların oranı, bu parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.

• Teorem formülü: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BN|}{|NC|} \)
• Verilen değerleri formülde yerine yerleştirelim: \( \frac{6}{9} = \frac{4}{x} \)
• Kesirleri sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{4}{x} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times x = 3 \times 4 \)
• \( 2x = 12 \)
• \( x = 6 \) cm olarak bulunur. ✅

Üçgende ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.

• Bağıntı: \( |AG| = 2 \times |GD| \)
• Denklemi kuralım: \( x + 8 = 2 \times (x - 2) \)
• Parantezi dağıtalım: \( x + 8 = 2x - 4 \)
• Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \( 8 + 4 = 2x - x \)
• \( x = 12 \) bulunur.
• Şimdi uzunlukları hesaplayalım:
  \( |AG| = 12 + 8 = 20 \) cm
  \( |GD| = 12 - 2 = 10 \) cm
• Toplam uzunluk: \( |AD| = 20 + 10 = 30 \) cm olur. 🎯

Üçgende iki iç açıortay arasında kalan açıyı bulmak için özel bir formülümüz vardır.

• İç açıortayların kesişmesiyle oluşan açı: \( m(BIC) = 90^\circ + \frac{m(BAC)}{2} \)
• Öncelikle A açısını bulalım:
  \( m(BAC) + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ \)
  \( m(BAC) + 120^\circ = 180^\circ \)
  \( m(BAC) = 60^\circ \)
• Şimdi formülü uygulayalım:
  \( x = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} \)
• \( x = 90^\circ + 30^\circ \)
• \( x = 120^\circ \) bulunur. 💡

Bu durum, ikizkenar üçgenin en temel ve önemli özelliklerinden biri olan "YAKİ" (Yükseklik, Açıortay, Kenarortay, İkizkenar) kuralı ile açıklanır.

• İkizkenar Üçgen: İki kenarı eşit olan üçgendir.
• Kural: İkizkenar bir üçgende, eşit olmayan kenara (tabana) indirilen yükseklik, aynı zamanda hem açıortay hem de kenarortaydır.
• Bu nedenle mimarın yerleştirdiği sütun, tabanı iki eş parçaya böler (kenarortay), tepe açısını iki eş parçaya böler (açıortay) ve tabana dik iner (yükseklik). 🏠

Üçgenlerde kenar orta dikmelerin kesim noktası, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

• Dar açılı üçgenlerde bu nokta üçgenin iç bölgesindedir.
• Geniş açılı üçgenlerde üçgenin dış bölgesindedir.
• Dik üçgenlerde ise kenar orta dikmelerin kesim noktası, her zaman hipotenüsün tam orta noktasıdır. 📍
• Bu soruda A açısı dik olduğuna göre, hipotenüs [BC] kenarıdır. Dolayısıyla kesim noktası [BC] kenarının orta noktasıdır.

Ağırlık merkezi ve benzerlik ilişkisini kullanarak soruyu çözelim.

• G ağırlık merkezi olduğu için \( |AG| = 2k \) ve \( |GD| = k \) diyebiliriz.
• Bu durumda \( |AD| = 3k \) olur.
• [KL] // [BC] olduğu için AKL üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (Temel Benzerlik Teoremi).
• Benzerlik oranı: \( \frac{|AG|}{|AD|} = \frac{|KL|}{|BC|} \)
• Değerleri yerine koyalım: \( \frac{2k}{3k} = \frac{12}{|BC|} \)
• \( \frac{2}{3} = \frac{12}{|BC|} \)
• \( 2 \times |BC| = 3 \times 12 \)
• \( 2 \times |BC| = 36 \)
• \( |BC| = 18 \) cm bulunur. 📏

Soruda kütüphanenin köşelere (okullara) olan uzaklığının eşit olması istenmektedir.

• Bir üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olan nokta, o üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.
• Çevrel çemberin merkezi ise üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktadır.
• Eğer plancı kütüphaneyi kenar orta dikmelerin kesim noktasına yaparsa, kütüphane her üç okula da eşit mesafede olacaktır. 📚

Diklik merkezinin konumu bize üçgenin türü hakkında bilgi verir.

• Diklik merkezi bir köşe (C köşesi) üzerinde ise, bu üçgen C açısı \( 90^\circ \) olan bir dik üçgendir.
• Bu durumda AC ve BC kenarları dik kenarlardır.
• En uzun kenar hipotenüstür (AB kenarı).
• Pisagor teoremini uygulayalım: \( |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 \)
• \( |AB|^2 = 5^2 + 12^2 \)
• \( |AB|^2 = 25 + 144 \)
• \( |AB|^2 = 169 \)
• \( |AB| = 13 \) cm bulunur. (5-12-13 özel üçgeni) 📐